数字逻辑与数字集成电路 （第 2 版） 清华大学计算机系列教材 王尔乾 杨士强 巴林风 编著

数 字 逻 辑 (2002 级本科生课程 ) 清华大学计算机系 杨士强 赵有建

引言 “ 数字逻辑 ” 课程的地位 “ 数字逻辑 ” 课程的地位 数字与逻辑 数字与逻辑 数字与模拟 数字与模拟 数字逻辑领域的前沿问题 数字逻辑领域的前沿问题 课程的主要内容 课程的主要内容 如何学好这门课 如何学好这门课

CC2001(Computing Curricula) 计算机学科人才的专业能力要求： 计算机学科人才的专业能力要求： – 计算思维能力 — 抽象思维能力和逻辑思维能力 – 算法设计与分析能力 – 程序设计能力 – 计算机系统的认知、分析、设计和应用能力 为实现上述要求设置的四大系列课程： 为实现上述要求设置的四大系列课程： – 公共基础系列，基础理论系列，软件技术系列， 硬件技术系列

“ 数字逻辑 ” 是计算机硬件技术系列的基础 计算机系统结构 计算机组成原理 数字逻辑 计算机系统的 软硬件功能分配 计算机系统的 逻辑实现 计算机组成的 物理实现

数字与逻辑 (Digital & Logic) 逻辑：研究思维的规律性；关于思维形式及其规律的科学； 研究概念、判断和推理以及相互联系的规律、规则，以帮 助人们正确地思维和认识客观真理。 学习工作时时处处离不开 “ 逻辑 ” ：讲话要有逻辑性、写论文 逻辑层次要清晰；逻辑推理能力、逻辑判断能力 …… 数理逻辑：研究推理、计算等逻辑问题，又称符号逻辑， 是离散数学的重要内容，是计算机科学的基础。 数字逻辑：用二进制为基础的数字化技术解决逻辑问题。

数字与逻辑 (Digital & Logic) 逻辑代数：应用代数方法研究逻辑问题，又 称布尔代数，开关代数（还有开关理论，开 关电路等），是逻辑化简的主要工具。 逻辑代数：应用代数方法研究逻辑问题，又 称布尔代数，开关代数（还有开关理论，开 关电路等），是逻辑化简的主要工具。 数字逻辑电路的设计、分析，要借助于逻辑 代数这一数学工具。逻辑代数中二值运算的 公式、运算及定律要应用到数字逻辑电路。 数字逻辑电路的设计、分析，要借助于逻辑 代数这一数学工具。逻辑代数中二值运算的 公式、运算及定律要应用到数字逻辑电路。 实现逻辑功能可用的数字电路： 实现逻辑功能可用的数字电路： 1 、数字集成电路 2 、可编程逻辑器件 (PLD)

数字与模拟 (Digital & Analog) （离散与连续） digit 原意泛指 “ 数目的文字 ” 。在计算机领域， digital 与其它词一起使用，主要用于区别 “ 模拟 ” ，指 将连续变化的模拟量用二进制数表达和处理。 digit 原意泛指 “ 数目的文字 ” 。在计算机领域， digital 与其它词一起使用，主要用于区别 “ 模拟 ” ，指 将连续变化的模拟量用二进制数表达和处理。 现实世界中存在模拟与数字两大系统，电子数字计算 机是最典型的数字系统。 现实世界中存在模拟与数字两大系统，电子数字计算 机是最典型的数字系统。 模拟量经采样、量化可转换为数字量。数字量更便于 加工、处理、传输、存储等，可靠，抗干扰能力强。 模拟量经采样、量化可转换为数字量。数字量更便于 加工、处理、传输、存储等，可靠，抗干扰能力强。 数字集成电路是实现数字量处理和运算的功能单元。 数字集成电路是实现数字量处理和运算的功能单元。

+V -V 电压  时间 +V -V 电压  时间 +V -V 电压  时间 (a) 模拟表示 (b) 离散表示 (c) 脉冲表示

无所不在的 “ 数字化 ” 技术 以二进制为代表的数字化技术已经渗透到人 们日常生活的各个领域，改变了人们的工作 和生活方式。现代数字化技术的核心就是计 算机和网络，计算机和网络已经溶入到各个 领域，各个方面，无所不在，无所不能。 以二进制为代表的数字化技术已经渗透到人 们日常生活的各个领域，改变了人们的工作 和生活方式。现代数字化技术的核心就是计 算机和网络，计算机和网络已经溶入到各个 领域，各个方面，无所不在，无所不能。 Digital X 举例：数字电视，数字电话，数码 相机，数字化仪表，数字化医疗设备，数字 图书馆，数字博物馆，数字化地球，数字化 城市，西部数字鸿沟 …… Digital X 举例：数字电视，数字电话，数码 相机，数字化仪表，数字化医疗设备，数字 图书馆，数字博物馆，数字化地球，数字化 城市，西部数字鸿沟 ……

数字逻辑领域的前沿技术 多值逻辑模糊逻辑计算机辅助逻辑设计集成电路设计自动化可编程逻辑设计数字系统与模拟系统的混合设计数字电路的故障诊断与可靠性，等等

软件固化的设计方法 计算机系统演变过程 系统的设计过程： 第一步：软件算法模拟；第二步：硬件固化 第一步：软件算法模拟；第二步：硬件固化硬件系统的发展： on system on board on chip on system on board on chip专用与通用结合，逐步由专用到通用软件：灵活，可任意修改，但速度慢硬件：速度快，不可任意修改 软件与硬件在逻辑功能上是统一的，在硬件设计中逐步 引进软件可编程的思想， “ 以存代算的思想，各种可 编程逻辑器件（ PLD ）为硬件设计带来方便。

课程主要内容 CC2002 “ 数字逻辑 ” 课程大纲 CC2002 “ 数字逻辑 ” 课程大纲 – 数制与码制 – 逻辑代数 – 逻辑电路表示 – 组合电路分析与设计 – 时序电路分析与设计 – 逻辑门阵列 组合逻辑 组合逻辑 时序逻辑（同步时序） 时序逻辑（同步时序） 可编程逻辑（ PROM ， PAL ， GAL 等） 可编程逻辑（ PROM ， PAL ， GAL 等） 5 次实验，最后一次综合实验 5 次实验，最后一次综合实验

学习数字逻辑电路的分析、设计和实现 通过计算机系统中用到的典型逻辑电路的 设计、分析，达到： 1 、掌握逻辑设计和分析的基本方法 2 、实现逻辑设计中应当注意的问题 3 、熟悉计算机系统中常用 IC 器件的性 能及设计方法 BACK

与 “ 数字逻辑 ” 相关的课程 数字电路（电子系课程） 数字电路（电子系课程） 数字电子技术（自动化系课程） 数字电子技术（自动化系课程） 数字技术与系统 数字技术与系统 数字逻辑重点是结合计算机设计中的逻辑问题和常用的集 成电路特性，为 “ 计算机原理 ” 课程学习打下基础。 数字逻辑可以认为是 “ 数字逻辑电路 ” ， “ 数字逻辑设计 ” ， “ 数字逻辑系统 ” 等的简称。 英文参考书关键词： ” Digital Logic ”, “ Logic Design ”, “ Digital Design ”, ” Digital Logic Design ”, “ Digital Circuit Design ” ， ” Digital Logic Circuit Design ”, “ Logic and Computer Design ” ， ” Design of Logic Systems ”, ……

如何学好这门课 1. 计算机学科是实践性极强的学科，重视实践 环节，多动手 2. 掌握研究型的学习方法，学会独立思考，掌 握 “ 知识发现过程中大师们的思维过程 ” 3. 熟练掌握典型电路的分析方法和设计方法 4. 作业和实验独立完成 成绩比例： 20 （平时实验）＋ 20 （实验考试）＋ 60 （期末考试）

让我们共同走进数字化世界，开创 更加美好的数字化生活！ 加强交流，教学相长 ! 预祝同学们取得优异成绩！

第 1 章 逻辑代数及 逻辑函数化简 （数制与编码一章自学） 1.1 逻辑代数的基本运算与公式 1.2 公式法化简逻辑函数 1.3 逻辑函数的标准形式 1.4 图解法 ( 卡诺图 ) 化简 （重点） 1.5 表格法化简 (Q-M 法 ) 1.6 逻辑函数的实现

1.1 逻辑代数的基本运算与公式 逻辑代数：二进制运算的基础。 应用代数方法研究逻辑问题。由英国数学家 布尔 (Boole) 和德. 摩根于 1847 年提出，又叫 布尔代数，开关代数。 应用代数方法研究逻辑问题。由英国数学家 布尔 (Boole) 和德. 摩根于 1847 年提出，又叫 布尔代数，开关代数。逻辑函数的表示：真值表，表达式，逻辑门 逻辑函数的生成：逻辑问题的描述，由文字叙 述的设计要求，抽象为逻辑表达式的过程。 然后才能化简、实现，逻辑设计的第一步。 逻辑代数的基本运算：与、或、非 (1) “ 与 ” 运算，逻辑乘 (1) “ 与 ” 运算，逻辑乘 (2) “ 或 ” 运算，逻辑加 (2) “ 或 ” 运算，逻辑加 (3) “ 非 ” 运算，取反 (3) “ 非 ” 运算，取反

逻辑代数的基本运算 A B F 真值表 F=AB A B F 信息论的创始人香侬 (Shannon) 在 1940 年首先建立了 用电子线路来实现布尔代数表达式， 0 ， 1 分别代表电 路的开、关状态或高、低电平；命题为真，线路建立 连结；命题为假，线路断开连结。 与非门 （ A 、 B 是输入， F 是输出）

真值表，表达式，逻辑门 A B F 真值表 F=AB A B F (NAND——NOT-AND) 实现 “ 与非 ” 逻辑 (NAND——NOT-AND) 例： 与非门 （ A 、 B 是输入， F 是输出）

真值表，表达式，逻辑门 A B F + 实现 “ 或非 ” 逻辑(NOR——NOT-OR) 真值表 A B F

真值表，表达式，逻辑门 A B F + 实现 “ 或非 ” 逻辑(NOR——NOT-OR) 真值表 A B F

基本公式 互补律 1 律 0 律 BACK

基本公式（续） 交换律结合律分配律

基本公式（续） 吸收律 反演律 反演律 ( 德 · 摩根定律 )

基本公式（续） 包含律推论：对合律重叠律

如何验证公式的正确性 真值表 真值表 利用基本定理化简公式 利用基本定理化简公式例：真值表验证摩根定律 1000 A＋BA＋BA＋BA＋B1110 A＋BA＋BA＋BA＋B1110 A B A B

如何验证公式的正确性 真值表 真值表 利用基本定理化简公式 利用基本定理化简公式 AB+AC+BC=AB+AC ( ? ) （包含律） 证明： AB+AC+BC =AB(C+C)+AC(B+B)+BC(A+A) =AB(C+C)+AC(B+B)+BC(A+A) =ABC+ ABC+ ABC+ ABC+ ABC+ ABC =ABC+ ABC+ ABC+ ABC+ ABC+ ABC =ABC+ ABC+ ABC+ ABC =ABC+ ABC+ ABC+ ABC =AB+AC =AB+AC

1.2 公式法化简逻辑函数 逻辑函数化简的目的 : 省器件！用最少的门实现 相同的逻辑功能，每个门的输入也最少。 主要掌握与或表达式的化简： (1) 乘积的个数最少 ( 用门电路实现，所用与门 的个数最少 ) (2) 在满足 (1) 的条件下，乘积项中的变量最少 ( 与门的输入端最少 ) 最简的目标不同，达到的效果也不同。如果功 耗最小或者可靠性最高是目标，化简的结果 完全不同！ BACK

与或表达式化简 例：例：例：例： 展开： 结合： 互补律： 互补律：

与或表达式化简（续） 例： 反演律 : B+C=BC 吸收律： A ＋ AB ＝ AB

与或表达式化简（续） 包含 配项 展开 合并 例：

与或表达式化简（续） 续上页 吸收律 D+DC ＝ D ＋ C 分配 反演 D ＋ C ＝ DC 吸收律： BACK

1.3 逻辑函数的标准形式 逻辑函数可以表示为最小项之和的形式 （与或表达式）或者最大项之积的形式 （或与表达式） 应用最多的是最小项之和的形式，也叫最 小项标准式。 最小项也是卡诺图化简的基础。 BACK

最小项 (MinTerm) 逻辑函数有 n 个变量，由它们组成的具有 n 个变量的乘积项中，每个变量以原变 量或反变量的形式出现且仅出现一次， 这个乘积项为最小项。 N 个变量有 2 n 个 最小项。 例如： n=3 ，对 A 、 B 、 C ，有 8 个最小项

最小项 ( 续 ) 对任意最小项，只有一组变量取值使 它的值为 1 ，其他取值使该最小项为 0 对任意最小项，只有一组变量取值使 它的值为 1 ，其他取值使该最小项为 0 为方便起见，将最小项表示为 m i 为方便起见，将最小项表示为 m i n=3 的 8 个最小项为：

最小项 ( 续 ) 任何逻辑函数均可表示为唯一的一组最小项 之和的形式，称为标准的与或表达式 任何逻辑函数均可表示为唯一的一组最小项 之和的形式，称为标准的与或表达式 某一最小项不是包含在 F 的原函数中，就是包 含在 F 的反函数中 某一最小项不是包含在 F 的原函数中，就是包 含在 F 的反函数中 例： 例： BACK

最大项 (MaxTerm) n 个变量组成的或项，每个变量以原变量或反 变量的形式出现且仅出现一次，则称这个或 项为最大项 n 个变量组成的或项，每个变量以原变量或反 变量的形式出现且仅出现一次，则称这个或 项为最大项 例如： n=3 的最大项为

最大项 ( 续 ) 对任意一个最大项，只有一组变量取值使它 的值为 0 ，而变量的其他取值使该项为 1 对任意一个最大项，只有一组变量取值使它 的值为 0 ，而变量的其他取值使该项为 1 将最大项记作 M i 将最大项记作 M i 任何一个逻辑函数均可表示为唯一的一组最 大项之积，称为标准的或与表达式 任何一个逻辑函数均可表示为唯一的一组最 大项之积，称为标准的或与表达式 n 个变量全体最大项之积必为 “ 0 ” n 个变量全体最大项之积必为 “ 0 ” 某个最大项不是含在 F 的原函数中，就是在 F 的反函数中 某个最大项不是含在 F 的原函数中，就是在 F 的反函数中

最大项 ( 续 ) 例如： BACK

1.4 图解法 ( 卡诺图 ) 化简逻辑函数 卡诺图 (Karnaugh Map): 逻辑函数的图示 表示，把最小项填入卡诺图，利用相邻 最小项的互补性，消去一个变量，实现 化简。 卡诺图的构成 (1) 、由矩形或正方形组成的图形 (2) 、将矩形分成若干小方块，每个小 方块对应一个最小项 BACK

2 变量卡诺图 ( Karnaugh Map) 2 变量卡诺图 2 变量卡诺图 1 整体为 1 左、右部分表示 上、下部分表示

2 变量卡诺图 ( Karnaugh Map) 2 变量卡诺图可由代表 4 个最小项的四个小方格组成 m1m1 m2m2 m3m3 m0m0 A B 改画成 2 变量卡诺图

3 变量 Karnaugh Map 3 变量卡诺图由 8 个最小项组成，对应图中 8 个小方格 B A C m1m1 m0m0 m3m3 m2m2 m5m5 m4m4 m7m7 m6m6 注意：表中最小项编码按 00 － 01―11 － 10 循环码顺序排列， 而不是 00 － 01 － 10 － 11 （二进制计数的顺序）

什么是循环码 相邻两个编码之间只有一位数不同，而且首尾两个 编码之间也只有一位数不同，这种编码叫循环码。 2 位循环码：  00  01  11  10  2 位循环码：  00  01  11  10  3 位循环码：  000  001  011  010  3 位循环码：  000  001  011  010   110  111  101  100   110  111  101  100  特点：每次只变一位，相邻两数间只有一位不同； 用在卡诺图上，可以消去最小项的多余变量。 循环码是无权码，而且不是唯一的编码，如： 01 ， 00 ， 10 ， 11 同样具有 2 位循环码的性质。

4 变量 Karnaugh Map B A D C m1m1 m0m0 m3m3 m2m2 m5m5 m4m4 m7m7 m6m6 m 13 m 12 m 15 m 14 m9m9 m8m8 m 11 m 10

卡诺图化简的步骤 1 按照循环码规律指定卡诺图变量取值； 2 在函数最小项对应的小方块填 “ 1 ” ，其他方块 填 “ 0 ” ； 3 合并相邻填 “ 1 ” 的小方块，两个方块合并消去 一个变量（一维块）； 4 个方块合并消去两个 变量（二维块）； 4 合并过程中先找大圈合并，圈越大消去的变 量越多； 5 使每一最小项至少被合并包含过一次；每个 合并的圈中，至少要有一个 “ 1 ” 没有被圈过， 否则这个圈就是多余的。

“ 与或 ” 式化简：例 1 将表达式 F=AB+AC 填入卡诺图 B A C

“ 与或 ” 式化简：例 2 B A D C

“ 与或 ” 式化简：例 2 （续） B A D C

“ 与或 ” 式化简：例 2 （续） B A D C

“ 与或 ” 式化简：例 2 （续） B A D C

“ 与或 ” 式化简：例 2 （续） B A D C

“ 与或 ” 式化简：例 2 （续） B A D C

“ 与或 ” 式化简：例 3 B A D C

“ 与或 ” 式化简：例 4 B A D C