本章讨论有限自由度结构系统，在给定载荷和初始条件激励下的系统动力响应计算方法。 第 六 章 第六章 离散系统的动力响应 离散系统的动力响应 引言： 本章讨论有限自由度结构系统，在给定载荷和初始条件激励下的系统动力响应计算方法。 第 六 章 这些方法可以分为两类： 振型叠加法（以模态为变换基底） Ritz向量直接叠加法 坐标变换法： （以Ritz向量作为空间变换基底）

直接积分法： 线性加速度法 Newmark法 Wilson-θ法 Houbolt法 中心差分法 二循环迭代法 龙贝库塔法 隐式方法 显式方法 离散系统的动力响应 第 六 章

在隐式直接法中： 瞬时的差分方程与运动方程相耦合，需要求解这些方程组才能计算出各瞬时的位移量。 离散系统的动力响应 第 六 章 在显式直接积分法中： 动力响应的诸量直接用已求得的位移、速度与加速度的数值表示出。

§6-1质量矩阵[M]和阻尼矩阵[C]的形成方法 引言：[M]和[C]在结构静力分析（有限元方法）中没有讨论，但在结构动力分析中的广义特征问题及二次特征问题中出现[M]，[C]。 本节介绍[M]和[C]的形成方法。 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 的形成方法 一、质量矩阵[M]的形成 离散系统动力分析的数学模型： 其中：总质量阵[M]和总刚度阵[K]都是由单元阵集合而成的。集合的方法也相同，对于单元质量阵[Me]的形成一般采用两种方法。

即：把单元内对某节点有贡献的长度、面积、体积的质量看成是集中质量，加在该结点上，形成单元质量矩阵-----称作集中质量矩阵。— 对角阵。 1、集中质量矩阵 （用的较多，缺点：特征向量精度稍差 优点：特征值精度好。） 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 的形成方法 即：把单元内对某节点有贡献的长度、面积、体积的质量看成是集中质量，加在该结点上，形成单元质量矩阵-----称作集中质量矩阵。— 对角阵。 例如：对于空间梁单元， 如仅考虑移动质量， 而略去转动惯量， 则它的单元质量阵为：

空间梁单元（i， j），每个节点有6个自由度，三个移动，三个转动。 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 的形成方法 对角阵 空间梁单元（i， j），每个节点有6个自由度，三个移动，三个转动。 可见：[Me]—对角阵； 则： [M]—系统质量阵也是对角阵， 可以是正定的，半正定的；

说明：①由于[M]是对角阵，存储量大大减少（只存 对角元素），计算方便，因此用的较多。 ②采用“集中质量阵”的结果使特征值精度 好, 而特征向量精度差。 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 的形成方法 ∵有限元方法：相当于给系统加约束，结果使系统“过刚”；而“集中质量”法：使“m稍大”，因此，二者大致抵消，则λi 精度好！ ③ 当[M]具有r个零对角元时，就有r个无限大特征值 ！ r重根对应的特征向量不是唯一的，可取为单位向量 ！其中 中“元素1”的位置与 [M] 中零对角元位置对应！

即：与单元刚度矩阵[Ke]采用相同插值函数[N]形成的单元质量矩阵[Me]称作一致质量矩阵。 2、一致质量矩阵 即：与单元刚度矩阵[Ke]采用相同插值函数[N]形成的单元质量矩阵[Me]称作一致质量矩阵。 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 的形成方法 采用这种单元质量矩阵[Me] 形成系统质量阵[M] ，一般[M]是对称正定的矩阵，且是带状矩阵， 即 [M]中元素集中在对角线附近的某一带宽内。 且与[K]具有同等带宽。 说明：实践证明两种方法形成的[M]，精度基本一致，差别不大！由于“集中质量阵”计算简单，存储量小，所以在实际中用的较多。

建立阻尼矩阵的目的,是为了近似地估计系统振动时阻尼所损耗的能量。（即：当系统考虑阻尼时用到）在建立阻尼矩阵时，一般都以下面3点假设为基础： 二、阻尼矩阵[C]的形成 建立阻尼矩阵的目的,是为了近似地估计系统振动时阻尼所损耗的能量。（即：当系统考虑阻尼时用到）在建立阻尼矩阵时，一般都以下面3点假设为基础： （1）线性阻尼假设（1877年Rayleigh提出的） 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 的形成方法 即阻尼力表示为 [C]—阻尼矩阵

（2）假设：阻尼矩阵是比例阻尼矩阵 （可使系统方程解耦，求解响应方便！） 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 即 i=1、2……n 的形成方法 即 i=1、2……n [Φ]—特征向量矩阵 注意：如果采用非比例阻尼，则方程不能 解耦，成为二次特征问题。

根据以上3点假设，在建立阻尼阵[C]时可采用以下两种方法： 法一：Rayleigh阻尼矩阵 即：假设[C]是[M]和[K]的线性组合，即 i=1、2…n实际仅用低阶！ （3）第 i 阶模态阻尼比 可用试验方法 确定，或者由经验给出。 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 的形成方法 根据以上3点假设，在建立阻尼阵[C]时可采用以下两种方法： 法一：Rayleigh阻尼矩阵 即：假设[C]是[M]和[K]的线性组合，即 代入比例阻尼假设条件中，即：

展开上式，再利用特征向量正交条件： 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 得 由试验确定； 展开， 固有频率。 的形成方法 得 由试验确定； 展开， 固有频率。 在这n个方程中，仅需要确定两个未知数：α、β，因此仅需两个方程，也即只需要知道两阶固有频率和模态阻尼比，即可确定α、β， 从而确定 [C]= α[M]+ β[K]。

可见：这种建立阻尼矩阵的方法比较方便，但仅仅考虑了二阶模态阻尼。 一般采用对计算响应贡献最大的二阶： 假设已知 w , w , 则 1 2 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 的形成方法 可见：这种建立阻尼矩阵的方法比较方便，但仅仅考虑了二阶模态阻尼。 —前二阶固有频率。 —前二阶模态阻尼比。

若考虑对响应贡献大（例如：m阶）的所有各阶模态阻尼，则方程组： 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 的形成方法 可见：方程数目＞未知量个数（只有2个）， 从而上述m个方程成为矛盾方程，这时应“采用最小二乘法”求解。----参考高等代数。 法二：考虑多阶模态阻尼比的方法 由假设（2）

令： 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 的形成方法 两边左乘 右乘 则 由特征向量正交条件 有：

它也是在“假设比例阻尼矩阵”条件下推出的。 则 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 的形成方法 这是考虑了n 阶模态阻尼比的阻尼矩阵。 它也是在“假设比例阻尼矩阵”条件下推出的。 可见：方法二考虑了所有对响应有贡献的模态。 因此精度较好。缺点是：要用到所有特征向量 因此计算复杂。而方法一只用到二阶模态阻尼， 不用特征向量，计算简单，但精度略差。 实际使用时，一般仅仅需要考虑对响应有贡献的若干阶模态阻尼。即考虑最低的m阶。

在求有阻尼振动系统“响应”时，按以上方法考虑阻尼阵[C]，可使系统方程解耦，变成单自由度振动问题，从而方便求响应。 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 的形成方法 即 -----本书方法求出。 ------由实验确定。 —— 在求有阻尼振动系统“响应”时，按以上方法考虑阻尼阵[C]，可使系统方程解耦，变成单自由度振动问题，从而方便求响应。

小结 一、质量矩阵[M]的形成 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 1、集中质量矩阵——常采用 2、一致质量矩阵 的形成方法 1、集中质量矩阵——常采用 2、一致质量矩阵 二、阻尼矩阵[C]的形成 法一：Rayleigh阻尼矩阵 法二：考虑多阶模态阻尼比的方法 --常用