Facultad de Ciencias Exactas Químicas y Naturales Universidad Nacional de Misiones Cátedra: Fundamentos de Transferencia de Calor Área: Convección Ing. Sandra Hase ECUACIONES BÁSICAS

TEMA 5 : TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN I  Ecuaciones básicas:  de continuidad  Grupos adimensionales  Ecuaciones para la capa límite  de cantidad de movimiento  de energía

Grupos dimensionales Los problemas de transferencia de calor de interés práctico son bastante complejos y resolverlos a través de la solución exacta de las ecuaciones de continuidad, momentum y energía se vuele imposible Esto sólo se puede hacer para casos sencillos. Los problemas de la vida ingenieril se estudian experimentalmente y los resultados se representan en forma de ecuaciones empíricas, que se expresan con grupos adimensionales Los números adimensionales tienen la ventaja de que combinan muchas variables, formando unos pocos parámetros adimensionales Así se reduce el número de variables a estudiar

Ejemplo: Si el problema original comprende seis (6) parámetros: L. v, T , T S, el problema sin dimensiones comprende dos (2) parámetros: Re, Pr. Veamos cuales son los grupos adimensionales apropiados para tratar la transferencia de calor por convección forzada Para ello adimensionalizaremos las ecuaciones diferenciales que rigen este proceso físico. Para el caso de :  Flujo estable  Bidimensional (2D)  Incompresible  Propiedades constantes  Fuerzas corporales despreciables

Considerando que el movimiento del fluido es en la dirección x, las ecuaciones que rigen la transferencia de masa, momentum y energía (en coordenadas rectangulares) son:

Para adimensionalizar estas ecuaciones, consideramos las siguientes magnitudes características: L : longitud característica ( de tal manera que L >> longitud de la placa) : por ejemplo la u  : Velocidad de referencia (u  puede ser la velocidad de corriente libre sobre una placa ) T  : Temperatura de referencia ( puede ser la temperatura de corriente libre)  T : Diferencia de temperatura de referencia ( por ejemplo T  - TS en una placa)

Obtenemos así las llamadas variables adimensionales:

Al introducir estas variables en las ecuaciones de continuidad, momentum y energía, se obtienen los grupos adimensionales. 1.Adimensionalización de la ecuación de continuidad.

2.Adimensionalización de la ecuación de momentum en x Sacando factor comúnDividiendo todo por

En forma análoga:

Donde Re: número de Reynolds Dividiendo todo por : Este término puede caracterizarse por

u  : velocidad de la corriente libre para placa plana L : longitud característica que depende de la configuración geométrica : Tiene unidades de m 2 /s idéntica a la difusividad térmica, y se puede concebir como difusividad viscosa o difusividad para la cantidad de movimiento

Para números de Re pequeños, las fuerzas viscosas son suficientemente grandes en relación a las fuerzas viscosas y por tanto estas como para vencer a las de inercia y mantiene el fluido “en línea”: El flujo es laminar Para números de Re grandes, las fuerzas de inercia (proporcionales a y a u  ) son grandes en relación a las fuerzas viscosas y por tanto estas últimas no pueden impedir las fluctuaciones aleatorias y rápidas del fluido: El flujo es turbulento

3.Adimensionalización de la ecuación de energía Dividiendo todos los términos por Pr: Número de Prandtl Ec: Número de Eckert

Lo cual significa que el perfil de temperatura depende de Re, Pr y del Ec Número de Prandtl da idea de la velocidad de cambio del perfil de temperatura da idea de la velocidad de cambio del perfil de velocidad el número de Pr nos describe el espesor relativo de las capas límites de velocidad y térmica

Pr<< 1 ; para metales líquidos ( a ) El calor difunde mucho más rápido en los metales líquidos Pr  1 ; para gases (incluido el aire) Indica que la cantidad de momentum como el calor se disipan a través del fluido a la misma velocidad Pr >> 1 ; para aceites ( hasta 10 5 ) El calor difunde con mucha lentitud en relación a la cantidad de momentum Como consecuencia la capa límite térmica es mucho más gruesa para los metales líquidos y mucho más delgada para los aceites, con relación a la capa límite de velocidad.

Para un tipo de configuración geométrica dada, las soluciones de los problemas con el mismo número de Re y Pr son semejantes y dichos números sirven como PARÁMETROPS DE SEMEJANZA. Dos fenómenos físicos son SEMEJANTES si tienen las mismas formas adimensionales de las ecuaciones diferenciales que las rigen y de condiciones de frontera

Número de Eckert La distribución de temperatura o transferencia de calor por convección forzada depende de 3 (tres) números adimensionales : T (x,y) = f(Re, Pr, Ec)

4.Adimensionalización del coeficiente convectivo de transferencia de calor Como la transferencia de calor por convección en la frontera del sólido, es por conducción Donde q : es el flujo de calor por unidad de área Adimensionalizando esta ecuación Nu : Número de Nusselt : Es el coeficiente adimensional de transferencia de calor por convección.

Según es el gradiente de temperatura adimensional en la superficie. Para comprender el significado del Nu consideremos una capa de fluido de espesor L y una diferencia de temperatura T  -T S. La transferencia de calor a través de la capa de fluido será por convección cuando el fluido esté en movimiento y por conducción cuando esté en reposo Por lo tanto el Nu representa el mejoramiento de la transferencia de calor a través de una capa de fluido como resultado de la convección en relación con la conducción a través de la misma capa. Cuanto mayor sea Nu, más eficaz es la convección. Un Nu = 1 para una capa de fluido representa transferencia de calor a través de ésta por conducción pura.

Nu = forma adimensional de h y depende del perfil de temperatura Nu= f (Re, Pr, Ec) A menudo los datos experimentales para la transferencia de calor se representan con precisión razonable mediante una simple relación de la ley de las potencias en la forma donde m, n y C dependen de la configuración geométrica. Si el fluido es aire, Pr = 1 Si la velocidad del fluido es moderada, se desprecia el término disipativo por viscosidad

APROXIMACIÓN DE CAPA LIMITE Las dificultades matemáticas que se presentan en la solución de las ecuaciones de movimiento y energía, han estimulado al desarrollo de conceptos que conduzcan a la simplificación de estas ecuaciones Así nace el concepto de capa límite, propuesto originalmente por Prandtl y que ha demostrado ser el de mayor éxito para lograr las simplificaciones de las ecuaciones de movimiento y energía y se ha aplicado a una gran variedad de casos prácticos

Para introducir el concepto de capa límite, consideremos el flujo sobre una placa plana  Las partículas que hacen contacto con la superficie, se suponen a velocidad cero  Aumentando la distancia y desde la superficie, la componente de la velocidad del fluido debe aumentar hasta que se aproxime al valor de la corriente libre  Estas partículas actúan retardando el movimiento de las partículas en la capa adyacente, lo cual a su vez retarda el movimiento de partículas en la capa siguiente y así hasta una distancia y = desde la superficie, en que este efecto se torna despreciable. Este retardo en el movimiento del fluido está asociado al esfuerzo de corte que actúa en planos paralelos a la velocidad el fluido.  A la cantidad se llama espesor de la capa límite y se define como el valor de y para el cual Cuando y = de tal manera que : se refiere a condiciones fuera de la capa limite. En la zona de corriente libre  Se define como perfil de velocidad de la capa límite a la variación de u con y a través de la capa límite.

La capa límite separa al flujo de fluidos sobre la placa plana en dos regiones distintas:  Capa límite: Una fina capa de fluido en la cual los gradientes de velocidad y los esfuerzos de corte son grandes  Corriente libre, flujo potencial o flujo externo; región externa a la capa límite en la cual los gradientes de velocidad y esfuerzos de corte son despreciables.  A medida que aumenta x, distancia medida en la dirección del flujo, desde el extremo de la placa (borde de ataque) los efectos de viscosidad penetran en la corriente libre y la capa límite crece.  Esta capa límite se llama : capa límite de velocidad o hidrodinámica y se desarrolla en cualquier lugar donde haya un flujo de fluidos sobre una superficie.  Es de fundamental importancia para los problemas que involucran transporte por convección.  Para el ingeniero, en la mecánica de fluidos, es importante su relación con los esfuerzos de corte superficiales, y con los efectos friccionales locales: A partir del concepto de capa límite se determina el coeficiente de fricción local : Parámetro adimensional a partir del cual se obtiene el arrastre friccional local Suponiendo que el fluido se comporta como Newtoniano

Capa límite de temperatura o térmica Si bien la capa límite de velocidad se desarrolla cuando hay un fluido sobre una superficie, una capa límite térmica se desarrollara si existe una diferencia de temperatura entre el fluido de corriente libre y la temperatura superficial. Consideremos un flujo sobre una placa plana isotérmica. En el extremo de la placa (x=0) el perfil de temperatura es uniforme A mayor valor de x, las partículas que entran en contacto con la placa ( v= 0) alcanzan el equilibrio térmico a la temperatura superficial d el aplaca Ts Estas partículas intercambian energía con aquellas de la capa de fluido adyacente y así se desarrollan gradientes de temperatura en el fluido La capa límite térmica es la región del fluido en el que existen los gradientes de temperatura : el espesor de la capa límite térmica, se define como el valor de y donde la relación A medida que aumenta x, los efectos de transferencia de calor penetran en la corriente libre y la capa límite térmica crece Recordando que : como T S -T  es constante, independiente de x, a medida que crece con x, los gradientes de temperatura en la capa límite térmica disminuyen cuando x aumenta, y h disminuye Siq” también disminuye

Capa l í mite hidrodin á mica Capa l í mite t é rmica Siempre existe S ó lo existe si hay un  T Es de extensi ó n Caracterizada por la presencia Gradientes de velocidad Gradientes de temperatura Presencia : esfuerzos de corteTransferencia de calor Para el ingeniero, las manifestaciones m á s importantes Fricci ó n superficial Transferencia de calor por convecci ó n Par á metros importantes h

Restricciones El concepto de capa límite proporciona una buena descripción de los campos de velocidad y temperatura, siempre que los gradientes de velocidad y temperatura en la dirección del flujo sean mucho más pequeños que aquellos en la dirección perpendicular a la pared Relación entre la capa límites hidrodinámica y térmica  Tantocomo aumentan con x  Su espesor relativo depende de Pr

Capa límite laminar y turbulenta  Comenzando de x = 0, la capa límite de velocidad crece continuamente y es laminar  A una distancia x = xc, distancia crítica, comienzan a formarse remolinos o turbulencias dentro de la capa límite y hay una transición de flujo laminar a turbulento superficies rugosas Re c  para flujo tranquilo sobre superficies lisas  Luego viene una capa límite turbulenta, que tiene tres regiones: o Subcapa viscosa: región muy delgada de flujo viscoso o Subcapa de transición Subcapa turbulenta: turbulencia pequeña de remolinos grandes donde son pequeños

 Variación de los coeficientes de fricción locales y de transferencia de calor para el flujo sobre una placa plana

 Representación gráfica del coeficiente de transferencia de calor promedio para una placa plana con flujos laminar y turbulento combinados.

Capa límite sobre una superficie curva Cuando el flujo es externo sobre una suprficie curva ( esfera o cilindro) la capa límite se separa de la pared y más alla del punto de separación, las partículas próximas a la pared se mueven en dirección contraria a la corriente externa Entonces la trayectoria del fluido es muy compleja Las ecuaciones de Capa Límite NO se aplican y los valores de h se determinan por métodos experimentales.

Simplificaciones de Capa Límite: Como los espesores de las capas límites son muy pequeños, dentro de la capa límite son aplicables las siguientes desigualdades:  u >> v : Componente de la velocidad en la dirección del flujo es mucho mayor que la velocidad normal a la superficie Los gradientes normales a la superficie son mucho mayores a aquellos a lo largo de la superficie  Los esfuerzos normales son despreciables y la única componente relevante son los esfuerzos cortantes La velocidad de conducción en la dirección y es mucho mayor a conducción en x

Simplificación de las ecuaciones de continuidad, momentum y energía, aplicando el concepto de capa límite El concepto de capa límite supone que los espesores y son muy pequeños, si los comparamos con la longitud característica L y Más adelante demostraremos que el 1) 2) (para flujo laminar sobre placa plana) Re >> 1

También veremos que :3) RePr >> 1 Sabiendo que en la capa límite y En consecuencia De la ecuación de continuidad en forma adimensional: De la ecuación se ve que yson del mismo orden de magnitud Si U y X son del orden de 1 y Si

De la ecuación de momentum en x en forma adimensional: O sea que el término el término se puede despreciar, y así:

Y la forma dimensional de la ecuación de momentum en x, simplificada para capa límite nos queda:

De la ecuación de momentum en y en forma adimensional: Como vemos todos los términos de esta ecuación son despreciables. En el análisis de capa límite no se necesita la ecuación de momentum en y. El gradiente de presión debe ser del orden de  para ser compatible con los otros términos. Por lo tanto concluimos que en la capa límite el gradiente de presión a través de la capa límite es despreciable y la presión es prácticamente constante

De la ecuación de la energía en forma adimensional:

Y la forma dimensional de la ecuaciónde la energía, simplificada para capa límite nos queda:

Los resultados de la simplificación introducida por el concepto de capa límite, nos dan las siguientes ecuaciones de continuidad, momentum y energía para flujo estable, en 2D, incompresible y con propiedades constantes: En esta última ecuación, si el Ec es pequeño el último término se puede despreciar:

Estas ecuaciones son más fáciles de resolver porque se ha quitado la segunda derivada en la dirección x (dirección del flujo) de las ecuaciones de momentum y energía, lo que significa que en la capa límite las variables u y T no están asociadas con el flujo aguas abajo. O sea. La velocidad y la temperatura en un punto de la capa límite no están afectadas por el comportamiento del fluido aguas abajo.