début Illustration dans le plan complexe du repliement spectral lors de l’échantillonnage d’un mouvement régulier de rotation dont on modifie la fréquence

stroboscope Le repliement spectral dû à l’échantillonnage est similaire à l’effet stroboscopique : Illustration par le mouvement d’une roue au cinéma (24 images par seconde) à la télévision (25 images par seconde)

fréquence faible Fréquence de la rotation 24 fois plus petite que la fréquence d’échantillonnage Hz temps fréquence 0 1 s

On suit très bien le mouvement

fréquence augmentée Fréquence de la rotation 12 fois plus petite que la fréquence d’échantillonnage temps fréquence 0 1 s 24 Hz

On suit encore le mouvement

fréquence moitié Fréquence de la rotation 4 fois plus petite que la fréquence d’échantillonnage temps fréquence 6 Le mouvement est moins bien suivi 0 1 s 24 Hz

Le mouvement est moins bien suivi

fréquence moitié Fréquence de la rotation 2 fois plus petite que la fréquence d’échantillonnage temps fréquence Le sens de rotation n’apparaît plus 0 1 s 24 Hz

Le sens de rotation n’apparaît plus

fréquences négatives Augmentation de la fréquence de rotation au delà de la moitié de la fréquence d’échantillonnage Une fréquence positive une fréquence négative apparaît comme

Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

changement de sens Changement de signe : fréquence négative

un peu en dessous de la fréquence d ’échantillonnage 23 Fréquence de la rotation légèrement plus petite que la fréquence d’échantillonnage : le mouvement apparaît inversé temps fréquence 0 1 s 24 Hz

Au lieu de la fréquence , on observe la fréquence  -  ech qui est négative  -  ech 

un peu au dessus de la fréquence d ’échantillonnage Fréquence de la rotation égale à la fréquence d’échantillonnage : la rotation ne se voit plus, la roue paraît immobile temps fréquence  -  ech  0 1 s Hz

un peu au dessus de la fréquence d ’échantillonnage Fréquence de la rotation plus grande que la fréquence d’échantillonnage : résultat identique au premier cas, repliement spectral temps fréquence  -  ech  0 1 s Hz

Au lieu de la fréquence , on observe la fréquence  -  ech Repliement spectral

condition de nyquist 1 Un mouvement sinusoïdal réel est la somme de deux composantes complexes l’une de fréquence positive et l’autre de fréquence négative 2 cos  t = e j  t + e - j  t 2j sin  t = e j  t - e - j  t  fréquence 0

condition de nyquist 2 Pour ne pas perdre d’information lors de l’échantillonnage d’un mouvement réel, sa fréquence doit être inférieure à la moitié de la fréquence d’échantillonnage.  fréquence  ech  ech 0

références Effet stroboscopique : Plateau, von Stampfer (1830) Analyse du mouvement, Chronophotographie : Muybridge, Marey (1870) Cinématographe : Edison, Lumière (1890) Théorie de l’échantillonnage pour les transmissions : Nyquist (1928), Shannon (1948) Consultez les différents sites qui leur sont consacrés ! Une illustration sonore du repliement