GEOMETRIA ANALÍTICA CÔNICAS ELIPSE Profª Juliana Schivani

No espelho dos dentistas, a forma elíptica faz com que os raios de luz se concentrem no dente a ser tratado, facilitando a visualização pelo odontólogo e evitando o desconforto do paciente, de ser ofuscado, pelo feixe de luz. Na prática...

O Teatro Nacional de São Carlos, foi inaugurado em 1793, na cidade de Lisboa, em Portugal. Sua forma elíptica foi concebida de modo a que os pontos focais respectivos, no proscénio e no lugar do rei, correspondessem também ao ideal de uma acústica perfeita. O Teatro Nacional de São Carlos, foi inaugurado em 1793, na cidade de Lisboa, em Portugal. Sua forma elíptica foi concebida de modo a que os pontos focais respectivos, no proscénio e no lugar do rei, correspondessem também ao ideal de uma acústica perfeita.

CONSTRUÇÃO DE UMA ELIPSE Conjunto dos pontos P cuja a soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é sempre constante (2a)

F1F1F1F1 F2F2F2F2

F1F1F1F1 F2F2F2F2 P PF 1 + PF 2 = 2a Equação reduzida da elipse: a c b O A1A1A1A1 A2A2A2A2 B1B1B1B1 B2B2B2B2 2c = F 1 F 2 = distância focal b = OB 1 = OB 2 = semi eixo menor B 1 B 2 = eixo menor A 1 A 2 = eixo maior

Por simetria: A 1 F 1 = F 2 A 2 Por definição: A 1 F 1 + A 1 F 2 = 2a MEDIDA DO EIXO MAIOR A1A1A1A1 A2A2A2A2 F1F1F1F1 F2F2F2F2 A 1 F 1 + A 1 F 2 = 2a A 2 F 2 + A 1 F 2 = 2a A 1 A 2 = 2a A 1 A 2 = 2a Eixo maior = 2a a b c 2a a² = b² + c²

EQUAÇÕES REDUZIDAS DA ELIPSE PF 1 + PF 2 = 2a

EQUAÇÕES REDUZIDAS DA ELIPSE Elevando cada membro ao quadrado... Elevando cada membro ao quadrado, novamente...

EQUAÇÕES REDUZIDAS DA ELIPSE Sabemos que a² = b² + c², então, a² - c² = b². Substituindo... Dividindo tudo por a²b², finalmente temos:

EQUAÇÕES REDUZIDAS DA ELIPSE Quando a elipse tem eixo maior em y, os focos terão coordenadas diferentes, F 1 (0, - c) e F 2 (0, c), daí a equação reduzida também muda!

EQUAÇÕES REDUZIDAS DA ELIPSE OS FOCOS ESTARÃO NO EIXO x OS FOCOS ESTARÃO NO EIXO y

A excentricidade (e) mede o número de achatamento da elipse. e = c / a e = c / a, sendo 0 < e < 1. e = 1 => reta e = 0 => circunferência QUANTO MAIOR “e” MAIS ACHATADA É A ELIPSE EXCENTRICIDADE DA ELIPSE

Elipse com o centro fora da origem (0,0) (2,0) (-2,0) (0,-1) (0,1)

(0,0) (2,0) (-2,0) (0,-1) (0,1)

(0,0) (2,0) (-2,0) (0,-1) (0,1) (2,2)(4,2) (2,3) (2,1) (0,2)

(2,2)(4,2) (2,3) (2,1) (0,2) DESLOCAMENTO DO EIXO = 2 X = X’ - DESLOCAMENTO Y = Y’ - DESLOCAMENTO

ELIPSES COM CENTRO FORA DA ORIGEM m n m n

Referências PACCOLA, Herval; BIANCHINI. Matemática 3. SMOLE, Kátia; DINIZ, Maria Ignez. Matemática 3. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, IEZZI, Gelson; [et al.]. Matemática: Ciência e Aplicações. Vol. 3. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, SOUZA, Wanderley. Cônicas e aplicações. UFMG Disponível em: fia_eric.pdf