TP2: Statistique & Probabilité

avec f i fréquence absolue (cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., chapitre 2) Une station balnéaire décide de réaliser une étude de son climat. Pour cela, le nombre de jours de soleil par mois d’été a été retenu comme mesure du climat. La distribution du nombre de jours de soleil par mois d’été durant les cinq dernières années est la suivante : AnnéeJuinJuilletAoût

avec f i fréquence absolue Quel est le mois que vous choisiriez pour vos vacances ? Explicitez votre réponse en vous aidant de la moyenne et de l’écart-type. Calculons la moyenne et l’écart-type du nombre de jours d’ensoleillement pour les trois mois d’été. Nous considérons les données comme provenant d’un échantillon. Moyenne = 1/N ΣxiFi avec Fi fréquence absolue

Calcul par mois 1°) Juin: Moyenne non pondérée __ X = ( ) / 5 = 58 / 5 = Ecart-type s 2 = / 4 = 4.80 et s = 2.19 X = Nbre de jours de soleil (X- )(X- )  =0  =19.20

Calcul par mois 2°) Juillet: Moyenne non pondérée __ X = ( ) / 5 = 73 / 5 = Ecart-type s 2 = 1.20 / 4 = 0.30 et s = 0.55 X = Nbre de jours de soleil (X- )(X- )  =0  =1.20

Calcul par mois 3°) Août: Moyenne non pondérée __ X = ( ) / 5 = 74 / 5 = Ecart-type s 2 = / 4 = et s = 7.12 X = Nbre de jours de soleil (X- )(X- )  =0  =

Conclusion : Malgré le fait que le mois d’août est le mois d’été pour lequel le nombre de jours d’ensoleillement est le plus élevé en moyenne, il semble préférable de partir en vacances au mois de juillet puisque la moyenne du nombre de jours d’ensoleillement est légèrement plus faible (14.6 jours contre 14.8) mais l’écart-type pour ce mois est nettement plus bas que pour le mois d’août (0.55 contre 7.12).

Un joueur lance simultanément 2 dés (6 faces numérotées de 1 à 6). Les dés sont parfaitement équilibrés. a) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme supérieure ou égale à 9 ? b) Quelle est la moyenne de la somme ? Il faut construire une nouvelle variable aléatoire = somme des faces. Modalités? Fréquences?

Soit X = somme des faces Modalités: de 2 à 12 correspondant aux lancers suivants: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) 2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) 3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) 4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6) 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

Sur base des cas précédents, nous construisons un tableau de fréquences : a) Prob(??)? Données?? b) Moyenne de X? avec f i fréquence absolue XiXi FiFi

Sur base des cas précédents, nous construisons un tableau de fréquences : a) Prob (X  9) = ? Valeurs de X : la somme des deux dés vaut 9, 10, 11 ou 12 Nombre de cas favorables : 10 Nombre de cas au total: 36 Prob(X  9) = 10 / 36 = , soit 27.78%. b) Moyenne de la somme = 252 / 36 = 7 avec f i fréquence absolue XiXi FiFi XiFiXiFi  =36  =252

Si les deux dés étaient lancés successivement 4 fois, quelle est la probabilité que la somme soit supérieure à 9 au moins 3 fois ? (Remarque : si vous utilisez les tables, vous pouvez prendre la valeur donnée la plus proche de celle calculée). Pr (X > 9, au moins 3 fois) = ? X = somme des dés (2 faces) Probabilité de l’événement « somme des dés est strictement supérieure à 9 ». Modalités de X? Autres infos? => Quelle distribution?

Pr (X > 9, au moins 3 fois) = ? En consultant le tableau des résultats de l’exercice précédent: somme des deux dés soit 10, 11 ou 12 nombre des cas : 6 cas sur 36. Pr (X > 9) = 6 / 36 = , soit 16.67%. Répétition du même événement => loi binomiale

Pr (X > 9, au moins 3 fois) = ? Infos pour lire la table de la binomiale? n = nombre de répétitions,  = probabilité de succès de l’événement, à savoir somme > 9, s = nombre de cas avec succès. On utilise la table des probabilités binomiales individuelles, avec n = 4,  = 0.20 (approximation de ), et s = 3 ou 4. D’après la table (p. 870), Pr (X > 9, au moins 3 fois) = = 0.028, soit 2.8%.

Pr (X > 9, au moins 3 fois) = ? Calcul de cette probabilité en appliquant la formule générale suivante (avec n = nombre d’expériences, s = nombre de succès et p = la probabilité de succès) : Pr (X = s) = Dans le cas présent, nous devons ainsi calculé la somme de deux probabilités Pr(s = 3) + Pr(s = 4). Soit, = 0, ,00077 = 0, La différence (non négligeable) entre le résultat calculé et celui fourni par les tables provient d’une part, de l’approximation de la probabilité de succès (0,20 dans les tables au lieu de 0,1667) et d’autre part, de l’arrondi à la troisième décimale réalisé dans les tables.

Un boulanger achète des œufs pour la réalisation de ses pâtisseries. Afin de s’assurer de la fraîcheur de tous les œufs contenus dans une boîte, il effectue le test suivant : de chaque boîte (une boîte contient 100 œufs), il retire 5 œufs et les casse afin de constater leur fraîcheur (il fait confiance à son odorat qui est fiable à 100%). Si les 5 œufs sont déclarés frais, il accepte la boîte car il considère que tous les œufs de la boîte sont frais. Si un œuf ou plus sont déclarés pourris, il rejette impitoyablement la boîte. a) Quelle est la probabilité qu’il accepte une boîte qui contient 20 œufs pourris ? b) Combien d’œufs devrait-il casser pour s’assurer que la probabilité d’accepter une boîte qui contient 20 œufs pourris est inférieure à 10% ? Les épreuves ne sont pas indépendantes l’une de l’autre. On peut cependant donner une approximation du résultat en utilisant les tables de la Loi Binomiale. (cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., pp pour la théorie et pp pour les tables). a) Probabilité du succès (c’est-à-dire de tomber sur un œuf pourri) =  = 20 / 100 = 0,2 ; le nombre d’épreuves = 5 et le nombre total de succès en n épreuves = s. On cherche la probabilité que le boulanger accepte la boite (autrement dit, il n’a trouvé aucun œuf pourri parmi les 5 œufs qu’il a cassés), soit Pr(s = 0) =

a) 3 informations pour la loi binomiale: - la probabilité du succès (c-à-d de tomber sur un œuf pourri) =  = 20 / 100 = 0,2 ; - le nombre d’épreuves = 5 et - le nombre total de succès en n épreuves = s. On cherche la probabilité que le boulanger accepte la boite (autrement dit, il n’a trouvé aucun œuf pourri parmi les 5 œufs qu’il a cassés), soit Pr(s = 0) = = La table portant sur les probabilités binomiales individuelles donne également directement la valeur trouvée par calculs ci-dessus : n = 5, s = 0 et π = 0,2  Pr(s = 0) = 0,328.

b) Il s’agit, en augmentant le nombre d’épreuves n, de faire tomber la Pr(s = 0) en dessous de 10%. En consultant la table pour s = 0 et π = 0,2, nous trouvons que le nombre d’épreuves nécessaires pour que la probabilité soit inférieure à 10% est de 11 (= n). Dans ce cas, Pr(s = 0) = 0,086, soit 8,6%.

Notre boulanger se demande quelle serait la probabilité qu’il déclare « pourri » un œuf tiré au hasard dans une boîte de 100 œufs contenant 20 œufs pourris si son odorat était fiable à 80%. Quelle est alors la probabilité qu’un œuf déclaré pourri soit réellement pourri ? Quelles sont les données de l’énoncé ?

La boîte de 100 oeufs contient 20 oeufs pourris.  probabilité qu’un oeuf contenu dans la boîte soit pourri = Pr (pourri) = 0.20 et  probabilité qu’un oeuf ne soit pas pourri = Pr (non-pourri) = 1 - Pr (pourri) = On sait en outre que l’odorat du boulanger est fiable à 80%. Il détecte le véritable état de l’oeuf (pourri ou non- pourri) avec une fiabilité de 80%. Autrement dit, il se trompe en moyenne dans 20% des cas. => probabilité qu’il déclare un oeuf comme étant pourri, quand il est effectivement pourri, est égale à 80%, autre Pr (déclaré pourri | pourri) = 0.80.

On demande la probabilité qu’un oeuf « déclaré pourri » soit effectivement pourri. Autrement dit, Pr (pourri | déclaré pourri ) = ? Si le test (l’odorat du boulanger) avait été fiable à 100%, Pr (déclaré pourri | non-pourri) aurait été égale à 0% (le boulanger ne se trompe jamais). Cependant le test n’est fiable qu’à 80%. Il faut en tenir compte. Le boulanger peut se tromper. Un oeuf peut être « déclaré pourri » alors qu’il est effectivement non-pourri. Il s’agit d’un problème qui demande l’application du théorème de Bayes (cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., pp ).

Pr (pourri | déclaré pourri) = ( Pr (déclaré pourri | pourri) * Pr (pourri) ) / Pr (déclaré pourri) = (0,80 * 0,20) / Pr (déclaré pourri) Pr (déclaré pourri) = ( Pr (déclaré pourri | non-pourri) * Pr (non-pourri) ) + ( Pr (déclaré pourri | pourri) * Pr (pourri) ) = 0.20 * * 0.20 = 0,32 Pr (pourri | déclaré pourri) = (0,80 * 0,20) / 0,32 = 0,50

SOLUTION PAR LE DIAGRAMME EN ARBRE En bleu, données de l’énoncé et rouge, la théorie P(pourri) = 0,2 P(Non pourri) 1- P(pourri) = 1- 0,2 = 0,8 P(Déclaré pourri/P) = 0,8 DP DNP DP DNP P NP P(Déclaré pourri/NP) = 0,2 P(Déclaré Non pourri/P) = 0,2 P(Déclaré Non pourri /NP) = 0,8 Pr (pourri | déclaré pourri) = ( Pr (déclaré pourri | pourri) * Pr (pourri) ) / Pr (déclaré pourri) Pr (déclaré pourri)?

La « durée de vie » alimentaire d’un yaourt est distribuée normalement avec une moyenne de 20 jours et un écart type de 2 jours. Quel est le nombre de jours de conservation maximum si vous voulez garantir la fraîcheur dans 99% des cas ? (cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., pp ; et table de la Loi Normale en annexe, p. 874) Soit X = nombre de jours de conservation X ~ N (20, 2²) Z = (X-20)/2 ~ N (0, 1) Pr (Z ≤ z o ) = 0.99 Pr (Z  z o ) = 0.01 Pr (Z  ((X’-20)/2)) = 0.01

Il s’agit tout d’abord à partir de la table de la loi Normale de trouver la valeur de z o telle que la probabilité soit égale à 1%. On obtient une valeur de z o = 2,31. Il est ensuite aisé de trouver la valeur de X’ tel que l’égalité suivante soit vérifiée : (X’ - 20) /2 = z o = X’ = (2.31 * 2) + 20 = Ainsi, 1% des yaourts ont une durée de vie alimentaire supérieure à jours. Si l’on fixait le nombre de jours de conservation maximum à jours, nous accepterions les yaourts ayant une durée de vie inférieure à jours (soit le cas de 99% des yaourts).

En fixant, la limite à jours, nous écartons le 1% de yaourts ayant une durée de vie la plus longue (les yaourts ayant une fraîcheur parmi les plus durables). C’est exactement l’inverse de ce que nous recherchons, à savoir écarter le 1% de yaourts ayant la durée de vie la plus courte (la fraîcheur la moins durable) ! Nous connaissons la propriété de symétrie de la distribution selon la Loi Normale. D’où, (24.62 jours - moyenne) = 4.62 jours Moyenne jours = jours En fixant le nombre de jours de conservation maximum à jours, on écarte le 1% des yaourts ayant la durée de vie la plus courte (c-à-d. les yaourts dont la durée de vie est inférieure à jours). On garantit la fraîcheur dans 99% des cas.

Un garagiste accorde une garantie d’un an sur les véhicules d’occasion. La probabilité d’une panne dans la période de garantie est de 25% et le coût moyen de la réparation est de 500 euros. Le garagiste achète des véhicules d’occasion au prix moyen de 2500 euros et il les revend avec une marge de 20%. a) Quelle est la marge espérée après déduction des frais de garantie ? Le garagiste a mis au point un test qui lui permet de vérifier l’état de la voiture. Ce test lui permet d’affirmer, avec une fiabilité de 90%, que la voiture n’aura pas de panne dans la première année. b) Que devient la probabilité de panne dans la période de garantie pour les véhicules qu’il accepte ?

a) Marge espérée après déduction des frais de garantie : la marge brute s’élève à 20% du prix d’achat de la voiture par le garagiste = 0,2 * 2500 = 500 euros, de laquelle il faut déduire les frais de réparation en cas de panne = 0,25 * 500 = 125 euros de sorte qu’au final, le garagiste fait une marge de 375 euros. b) Suite au test, Pr (mauvaise)? Pr (mauvaise) = 0.25 => Pr (bonne) = Test de fiabilité : déclarée bonne ou mauvaise. A 90%, le garagiste a raison => prob conditionnelle

Pr (déclarée bonne| bonne) = 0.90 Pr (déclarée bonne | mauvaise) = 0.10 Pr (déclarée mauvaise | mauvaise) = 0.90 Pr (déclarée mauvaise | bonne) = 0.10 Que devient la probabilité de panne dans la période de garantie pour les véhicules qu’il accepte ? Pr (mauvaise | déclarée bonne) = ? La résolution du problème requiert l’application du théorème de Bayes.

Théorème de Bayes. Pr (mauvaise | « bonne ») = Pr (« bonne » | mauvaise) * Pr (mauvaise) ) / Pr (« bonne ») = ( 0.10 * 0.25 ) / Pr (« bonne ») Pr (« bonne ») = ? Vous pouvez vous aider par la construction d’un arbre. Pr (« bonne ») = (Pr (« bonne » | bonne) * Pr (bonne)) + (Pr (« bonne » | mauvaise) * Pr (mauvaise)) Pr (« bonne ») = (0.90 * 0.75) + (0.10 * 0.25) = 0.7 Pr (mauvaise | « bonne ») = ( 0.10 * 0.25 ) / 0.7 = 0.036, soit 3.6%

Après une longue expérience, notre garagiste déduit que le prix des réparations est distribué normalement avec une moyenne de 500 euros et un écart type de 100 euros. Quelle franchise devrait-il inclure dans la garantie afin de diminuer de 25% le nombre de réparations effectuées sous garantie ? Soit X, le prix des réparations. X ~ N (500, 100²) On suppose que le client ne fera pas réparer lorsque la franchise est plus élevée que le prix de la réparation.

Soit a, le montant de la franchise. On désire fixer la franchise de sorte - À diminuer les réparations de 25%; - Dans 25% de cas, la franchise doit être plus élevée que le prix de la réparation. - le prix des réparations doit être supérieur à cette franchise dans 75% des cas. Soit Pr (X  a) = 0.75 On utilise la table de la Loi Normale mise en annexe (cf. Wonnacott, p. 874). Pr (X ≤ a) = 0.25 Nous connaissons la propriété de symétrie de la distribution selon la Loi Normale. Pr (Z  z o ) = 0.25

Pr (Z  z o ) = 0.25 Ainsi, la probabilité est égale à 0.25 lorsque z o = 0.67 (valeur trouvée dans la table). Pr (Z  ((X’ - 500) / 100)) = 0.25 D’où, X’ = (0.67 * 100) = 567 euros. On applique la propriété de symétrie de la distribution selon la Loi Normale pour trouver la valeur de la franchise. D’où, (567 - moyenne) = 67 euros Moyenne – 67 euros = 433 euros. La valeur de la franchise doit donc s’élever à 433 euros pour réduire le nombre de réparations de 25%.

Les returns mensuels des actions A et B durant les 4 derniers mois ont été les suivants : a) Quel est le return moyen et l’écart type d’un portefeuille contenant 40% de A et 60% de B ? b) Quelle proportion de A doit-on détenir pour obtenir un portefeuille d’écart type égal à 2% ? MoisAB 15%-2% 210%0% 3-5%4% 4-4%4%

Etablissons un tableau reprenant les fréquences conditionnelles et marginales des returns mensuels des deux actions A et B. XBXA XBXA /4 1/ /4 1/ / / /4 0 1/4 1/4 1/4 2/4 1

On considère les données comme celles d’un échantillon (n – 1). a) Return moyen des deux actions : _ X A = ( – / 4) = 6% / 4 = 1.5% _ X B = ( / 4) = 6% / 4 = 1.5% Variance de l’action A : s 2 A = ( / 3) = => s A = Variance de l’action B : s 2 B = ( / 3) = => s B = 0.03 XA XA _ (X A - X A ) _ (X A - X A ) 2 XB XB _ (X B - X B ) _ (X B - X B )  =0.0  =  =0.0  =0.0027

Return moyen et écart-type d’un portefeuille contenant 40% d’actions A et 60% d’actions B : _ X (0.4 A B) = (0.4 * 0.015) + (0.6 * 0.015) = = s 2 (0.4 A B) = ? Cov A,B = (0.25 * (0.05 – 0.015) * (-0.02 – 0.015)) + (0.25 * (0.1 – 0.015) * (0 – 0.015)) + (0.25 * (-0.04 – 0.015) * (0.04 – 0.015)) + (0.25 * (-0.05 – 0.015) * (0.04 – 0.015)) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = s 2 (0.4 A B) = ((0.4) 2 * ) + ((0.6) 2 *0.0009) + (2 * 0.4 * 0.6 * ( )) = s (0.4 A B) =

b) Quelle proportion de A doit-on détenir pour obtenir un portefeuille d’écart type égal à 2% ? Rappel: a x 2 + b x + c = 0 x = ? x 1, x 2 = (( - b + V b ac ) / 2 a) Ce qui n’est pas détenu en A (x) est détenu en B (1-x). On utilise la formule de la variance. Un écart type de 0.02 signifie une variance (objectif) de (x) 2 * (1-x) 2 * * (x) * (1-x) * ( ) = (x) 2 * (1-x) * (1-x) * * (x) * (1-x) * ( ) = x x x (x-x 2 ) = x x = 0 x 1 = 0.35 ; x 2 = 0.16 Quand A vaut 0.35, B vaut Quand A vaut 0.16, B vaut 0.84.