§7.2 估计量的评价标准 上一节我们看到，对于总体 X 的同一个 未知参数，由于采用的估计方法不同，可 能会产生多个不同的估计量．这就提出一 个问题，当总体的一个参数存在不同的估 计量时，究竟采用哪一个好呢？或者说怎 样评价一个估计量的统计性能呢？下面给 出几个常用的评价准则． 一．无偏性

对于待估参数，不同的样本值就会得到不同 的估计值．这样，要确定一个估计量的好坏，就 不能仅仅依据某次抽样的结果来衡量，而必须由 大量抽样的结果来衡量．对此，一个自然而基本 的衡量标准是要求估计量无系统偏差．也就是说， 尽管在一次抽样中得到的估计值不一定恰好等于 待估参数的真值，但在大量重复抽样时，所得到 的估计值平均起来应与待估参数的真值相同．换 句话说，我们希望估计量的均值（数学期望）应 等于未知参数的真值，这就是所谓无偏性 (Unbiasedness) 的要求． 定义 7.1 设是来自总体 X 的一个样本，

是总体参数 的一个估计量，若 （ 7-7 ） 则称 是 的无偏估计量 (Unbiased Estimator) ． 一个估计量如果不是无偏的就称它是 有偏估计量． 称为估计量 的偏差. 无偏估计的实际意义就是无系统偏差．估 计量是否无偏是评价估计量好坏的一个重 要标准． 若 ，但有 ，则称 是 的渐近无偏估计．

二．有效性 比较两个无偏估计量优劣的一个重要 标准就是观察它们哪一个取值更集中于待 估参数的真值附近，即哪一个估计量的方 差更小，这就是下面给出的有效性 (Effectiveness) 概念． 定义 7.2 设 与 都是总 体参数 的无偏估计，若 （ 7-8 ） 则称 比 更有效．

三． 相合性 在 的所有无偏估计量中，如果存在一 个估计量 ，它的方差最小，则此估计量 应当最好，并称此估计量 为 的最小 方差无偏估计，也称其为最有效的．可以 证明，对于正态总体 ， 是 的最小方差无偏估计．有效性的意义是，用 估计 时，除无系统偏差外，还需考虑估 计的精度．

估计量 的无偏性和有效性都是在样 本容量 n 固定的情况下讨论的．由于估计量 和样本容量 n 有关，我们自然希望当 n 很大 时，一次抽样得出的的 值能以很大的概 率充分接近被估参数 ，这就提出了相合 性 (Consistency) （一致性）的要求． 定义 7.3 设 是总体参数 的估计 量，如果对任意 都有 （ 7-9 ） 则称 是 的相合估计量（或一致估计量）

由第五章定义 5.2 及（ 7-9 ）知， 是 的相合估计就意味着 依概率收敛于. 根据大数定律，无论总体 X 服从什么分布， 只要其 k 阶原点矩 存在，则对任意 都有 所以样本的 k 阶原点矩 始终是总 体 k 阶原点矩 的相合估计. 进一步地, 可 以证明：只要相应的总体矩存在，矩估计 必定是相合估计．特别地， 总是 的相合估计, 样本方差 和样本的二阶中

心矩 都是总体方差 的相合估计， 和 又都是 的相合估计． 由相合性定义可以看出，若 是 的 相合估计，当样本容量很大时，一次抽样 得到的 值便可作为 的较好近似值．