Seminar zum semesterbegleitenden fachdidaktischen Praktikum Begründen und Beweisen als Aufgabe Agnieszka Czura, Oliver Hey

Inhalt Beweisbegriff Beweisbegriff Arten des Beweisens Arten des Beweisens Beweisbedürftigkeit Beweisbedürftigkeit Visuelle Beweise Visuelle Beweise

Beweisbegriff keine einheitliche Bedeutung keine einheitliche Bedeutung unterschiedlich in verschiedenen Wissenschaften unterschiedlich in verschiedenen Wissenschaften in Mathematik ebenfalls nicht definiert in Mathematik ebenfalls nicht definiert Mathematikunterricht: didaktisch orientierter Beweisbegriff Mathematikunterricht: didaktisch orientierter Beweisbegriff Form des Begründens von Aussagen/Feststellungen & Behauptungen Form des Begründens von Aussagen/Feststellungen & Behauptungen

Arten des Begründens nach Fischer und Malle (1985) Berufung auf eine Autorität Berufung auf eine Autorität (Geschichte, Sprachen) deduktives Schließen deduktives Schließen(Mathematik) reduktives bzw. induktives Schließen reduktives bzw. induktives Schließen(Naturwissenschaften) Analogieschlüsse, Analogieschlüsse, Wahrscheinlichkeitsaussagen (Sport)

Berufung auf eine Autorität Bestätigung der Richtigkeit durch einen glaubwürdigen Zeugen Geschichte (Briefe, Zeitzeugen) Fremdsprachen (Fachbücher) Mathematik (bekannte Mathematiker)

Deduktives Schließen Aussagen, die als richtig angesehen werden und deren Richtigkeit hinreichend für die zu beweisende Aussage ist: A  B Philosophie/Logik (alle Hunde bellen & Bello ist ein Hund  Bello bellt)  Bello bellt) Mathematik (wesentlich)

Reduktives Schließen Folgerungen aus einer Aussage, die als richtig angesehen werden, deren Richtigkeit aber nicht hinreichend für die Richtigkeit der zu beweisenden Aussage ist \ B1 A  B2 / B3 … Bsp.: Bello ist ein Hund und weiß (Mäuse sind auch weiß, aber keine Hunde) bzw. die Straße ist nass  es hat geregnet Naturwissenschaften (Experimente)

Induktives Schließen Das Schließen vom Einzelfall auf das Allgemeine B1\ B2  A B3 …/ Bsp.: Bello ist ein Hund & Bello bellt  alle Hunde bellen  alle Hunde bellen Physik (Experimente)

Analogieschlüsse Wahrscheinlichkeitsaussagen Aussagen, die von jemandem als richtig angesehen werden, deren Richtigkeit aber in einem nicht deduktiven Zusammenhang mit der Richtigkeit der zu beweisenden Aussage stehen Bsp: sehr gute Abiturnote  60% gute Erfolge im Studium

Beweisbedürftigkeit Beweise sollen klüger machen. Beweise sollen klüger machen. Abhängig von der kognitiven Struktur einer Person. Abhängig von der kognitiven Struktur einer Person. => Argumentationsbasis

Argumentationsbasis Die Menge an Aussagen die als richtig angesehen werden, zusammen mit Schlussweisen die als zulässig anerkannt werden. Die Menge an Aussagen die als richtig angesehen werden, zusammen mit Schlussweisen die als zulässig anerkannt werden. => Fundament auf das man sich stützt.

Argumentationsbasis Verschiedene Arten: Verschiedene Arten: Höhere Mathematik: meist Definitionen und Sätze.Höhere Mathematik: meist Definitionen und Sätze. Niedrigere Ebene: Handlungen, Bilder, Realitätserfahrungen.Niedrigere Ebene: Handlungen, Bilder, Realitätserfahrungen. Häufig kann eine Behauptung anhand verschiedener Argumentationsbasen begründet werden.

Argumentationsbasis Beispiel: Man begründe: 1/2 + 1/4 = 3/4 a) Begründung: Das ist doch klar! Hier gehört die Behauptung selbst zur Argumentationsbasis.

Argumentationsbasis b) Begründung: 1/2 kg Butter und 1/4 kg Butter ergeben zusammen 3/4 kg Butter. Hier gehört eine Alltagserfahrung zur Argumentationsbasis

Argumentationsbasis c) Begründung: Aus der Abbildung ist alles ersichtlich! ersichtlich! Hier gehört die Anschauung zur Argumentationsbasis.

Argumentationsbasis d) Begründung: 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4 Hier gehören gewisse Rechenverfahren der Bruchrechnung zur Argumentationsbasis.

Argumentationsbasis e) Begründung: Aufgrund der Erweiterungsregel a/b = c*a/c*b gilt 1/2 = 2/4 und aufgrund der Additionsregel a/c + b/c =a+b/c gilt 2/4 + 1/4 = 3/4. Hier gehören gewisse Bruchrechen- regeln zur Argumentationsbasis.

Argumentationsbasis Schüler/innen ist oft nicht klar worauf sie sich beziehen können. Schüler/innen ist oft nicht klar worauf sie sich beziehen können. Welche Argumentationsbasis wird als richtig gewertet?Welche Argumentationsbasis wird als richtig gewertet? Was erwartet der/die Lehrer/in von mir?Was erwartet der/die Lehrer/in von mir? => Exaktheit

Exaktheit Steht immer in Zusammenhang mit der Argumentationsbasis. Steht immer in Zusammenhang mit der Argumentationsbasis. Eine Begründung ist umso exakter, je detaillierter die Begründungsschritte ausgeführt werden und je deutlicher dabei der Bezug zur Argumentationsbasis ersichtlich ist. Eine Begründung ist umso exakter, je detaillierter die Begründungsschritte ausgeführt werden und je deutlicher dabei der Bezug zur Argumentationsbasis ersichtlich ist.

Exaktheit Es gibt verschiedene Grade der Exaktheit. Es gibt verschiedene Grade der Exaktheit. Es gibt keine oberste Exaktheit. Es gibt keine oberste Exaktheit. Es gibt keinen verbindlichen Exaktheitsgrad, er sollte der Situation angemessen sein. Es gibt keinen verbindlichen Exaktheitsgrad, er sollte der Situation angemessen sein.

Warum Begründen? Überzeugen: Überzeugen: Durch die Begründung soll jemand von der Richtigkeit der Aussage überzeugt werden. Zusammenhang stiften: Zusammenhang stiften: Erkennen, dass etwas aus etwas Anderem hergeleitet werden kann. => Kann zu Verwirrung der Lernenden führen. führen.

Visuelle Beweise

Visuelle Beweise (quadratische Ergänzung) x^2 + ax = (x+ a/2)^2 – (a/2)^2^

Gruppenarbeitsphase

½ + ¼ + 1/8 + … = 1

Neue Begründungskultur im Unterricht Schüler/innen sollen Argumentieren wollen. Schüler/innen sollen Argumentieren wollen. Mehr Begründungsaufgaben verwenden. Mehr Begründungsaufgaben verwenden.