LOS FRACTALES. TIPOS DE FRACTALES

ÍNDICE: FUNDAMENTOS TEÓRICOS: Definición de fractal y su utilidad. Propiedades. Dimensión fractal. Uso en publicidad. PRÁCTICA: Triángulo de Sierpinski. Curva copo de nieve o de Van Koch.

Definición de un fractal Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Beniot Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

Utilidad de los fractales: Se han utilizado técnicas de fractales en la compresión de datos y en diversas disciplinas científicas. Fractales en la naturaleza y en la vida cotidiana Existen muchas formas naturales que son tan irregulares y fragmentadas que, en comparación con la geometría de Euclides (la geometría común), la naturaleza no sólo tiene un grado superior de complejidad sino que ésta se da en un nivel completamente diferente, ya que el número de escalas de longitud de las distintas formas naturales es, para efectos prácticos, infinito (Mandelbrot, 1977/1987).

Ejemplos de fractales en la naturaleza o en la vida cotidiana: -Helechos -Pulmón -Cerebro -La costa( el mar) -Conchas de moluscos -Brocoli -Romanescu -Accidentes geográficos, geomorfologías… -Ramas de los árboles -Nervios de las hojas -Cactus, flores. -Rayos

Propiedades curiosas: Autosemejanza: Muchos fractales, la gran mayoría, poseen una propiedad llamada autosemejanza. Significa que poseen partes que ampliadas resultan muy parecidas o incluso idénticas al fractal matriz. Para ilustrar esta propiedad se suele usar el fractal conocido como helecho de Barnsley. Observémoslo. Si agudizamos la vista, veremos con claridad que cada hoja del helecho es idéntica al helecho original. Y si hiciéramos un zoom sobre una de sus hojas, veríamos que también es un helecho idéntico al original, y así infinitamente. Es decir, cada subconjunto "hoja", es idéntico al conjunto "helecho".

Muchos objetos de la Naturaleza presentan forma fractal con autosemejanza. Por ejemplo, un árbol. Un árbol tiene un tronco que se bifurca en ramas, que se bifurcan en ramas más pequeñas, que se bifurcan en ramas más pequeñas... Cada subconjunto "rama" es semejante al conjunto "árbol". También hay sistemas ideados por el hombre que tienen forma fractal con autosemejanza. Por ejemplo la UE. La UE es una organización política formada por organizaciones políticas (estados) de menos territorio, formados por organizaciones políticas de menos territorio (regiones, comunidades...), formados por organizaciones políticas de menos territorio (provincias, comarcas)...

ÁREA Y PERÍMETRO Fractales: figuras planas con áreas finitas delimitadas por perímetros de longitud infinita La figura tiene un área finita, o sea, un número que no es infinito que tiene un valor, sin embargo al albergar en su interior infinitas figuras con infinitos recovecos nos encontramos con una longitud por tanto infinita.

Lo explicado anteriormente lo podemos ver representado en esta figura:

DIMENSIÓN FRACTAL: Que en el caso de las líneas fractales nos va a indicar de qué forma o en que medida una linea fractal llena una porción de plano. Sabemos que en geometría clásica un segmento tiene dimensión uno, un círculo tiene dimensión dos, y una esfera tiene dimensión tres. Para que sea coherente con lo dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que dos (no llena toda la porción de plano).

Podemos entender mucho mejor la dimensiones con este cuento: ractal.php ractal.php Y aquí tenemos un vídeo del arte fractal, hecho a partir de un programa que genere fractales. fractales-arte-fractal.html fractales-arte-fractal.html

Fractales en la publicidad: Logo de Mitsibishi -Partimos de un logo,casi perfecto, sencillo y fácilmente reconocible. -Unas características matemáticas que le permiten convertirse en fractal. -Una simetría muy clara. -Tiene una proporción racional de 5/4

PRÁCTICA: - Triángulo de Sierpinsk i:

CONSTRUCCIÓN:

º Dibujamos un triángulo rectángulo. 2ºEste triángulo lo partimos en tres triángulos menores. 3ºCada uno de los triángulos obtenidos los volvemos a partir en otros tres. 4º Y así sucesivamente las veces que queramos.

PERÍMETRO Y ÁREA: El perímetro tiende hacia infinito, ya que la figura va creciendo muy rápidamente por lo tanto su perímetro aumenta sin embargo su área es finita, tiende a cero, ya que el dibujo esta comprendido en una figura que crece hacia el interior no hacia fuera ( hay más rayas y menos huecos)

ÁREA: A1= 3/4 A2= 9/16 A3= 27/64 A4= 81/256 …. DIMENSIÓN: El triángulo de Sierpinski tiene una dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch coincidente con su dimensión fractal de homotecia igual a: D= ln3/ln2= 1,58496…

Curva copo de nieve

Perímetro y área: El perímetro es infinito porque crece indefinidamente Para un triángulo equilátero el área seria: √3/4 Para el siguiente paso de la figura el área seria: √3/4 + 3 · (1/9) · √3/4 Y en el siguiente paso su área seria: √3/4 + 3· (1/9)·√3/4 + 6 · (1/9) · ((3/9)·√3/4) Así seguiría sucesivamente.

Dimensión: D = ln4 / ln3 = 1 ’26186… La dimensión es esta ya que de cada tres trozos obtenemos cuatro.

Creado por: Laura Bermúdez Ureba Susana Bermúdez Ureba 1ºA