Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Vladimír Mikulík. Slezské gymnázium, Opava, příspěvková organizace. Vzdělávací materiál byl vytvořen v rámci OP VK 1.5 – EU peníze středním školám. Charakteristiky polohy VY_42_INOVACE_ prosince 2013

2 Aritmetický průměr je definován jako podíl součtu hodnot znaku a jejich počtu (rozsahu souboru) n. měl by se blížit nejčetnější hodnotě má smysl pouze tehdy, má-li smysl součet hodnot znaku statistického souboru (např. číselné označení linek MHD) lze si jej geometricky představit jako těžiště

3 Příklad 1 Písemku ze statistiky psalo dvacet pět žáků 4.B (n = 25) a výsledné známky byly následující (x 1 až x 25 ): 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 1, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 4. Jaká je průměrná známka?

4 Vážený aritmetický průměr Při tomto druhu aritmetického průměru dáváme každé hodnotě znaku nějakou váhu - důležitost. Každá hodnota znaku je násobena koeficientem, který vyjadřuje její důležitost.

5 Příklad 2 Písemku ze statistiky psalo dvacet pět žáků 4.B (n = 25) a výsledné známky byly následující (x 1 až x 25 ): 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 1, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 4. Jaká je průměrná známka? Řešení: Zjistíme si, kolikrát se vyskytuje každá známka (tedy její koeficient – váhu): 1 … 5x 2 … 7x 3 … 7x 4 … 4x 5 … 2x

6 Průměrnou denní teplotu vzduchu určíme z průměru teplot naměřených v 7; 14 a 21 hodin, přičemž teplota naměřená ve 21 hodin má váhu rovnou 2, ostatní mají váhu 1. Teplota naměřená ve 21 hodin má větší váhu, protože denní průměrná teplota vzduchu se nejvíce přibližuje teplotě naměřené ve 21 hodin. Vypočtěte průměrnou denní teplotu vzduchu, jestliže jsme naměřili tyto teploty: t 7 = 5°C, t 14 = 15°C, t 21 = 8°C. Příklad 3

7 Geometrický průměr Používá se často v národohospodářství, například potřebujeme zjistit průměrné tempo růstu hrubého domácího produktu (HPD) nebo cen za posledních několik let. se vypočítá tak, že se všechny hodnoty (jejichž počet je n) mezi sebou vynásobí a z výsledného součinu se udělá n-tá odmocnina. Podmínkou je, že hodnoty jsou nezáporné (odmocnina ze záporného čísla není definována).

Příklad 4 Jaký byl průměrný růst zadluženosti Moravskoslezského kraje v letech ? Zadluženost krajského úřadů v letech 2005–2008 (tis. Kč) 0,1740,6140,8301,

9 Harmonický průměr vypočítá se jako převrácená hodnota aritmetického průměru převrácených hodnot zadaných členů. Používá se při výpočtu průměrné rychlosti na úsecích stejné délky, nebo k zjištění průměrné délky času nutné k provedení nějakého úkonu, kdy jsou dané úkoly prováděny současně několika osobami či stroji.

Příklad 5 V restauraci „U nudle“ vypomáhá starému hostinskému Jouzovi mladý brigádník Kvído. Jouza čepuje pivo „na jeden zátah“ v průměru 1 pivo za 6 s, kdežto nešika Kvído čepuje „navícekrát“ v průměru za třikrát delší dobu. Jak dlouho trvá v průměru načepování jednoho piva? (mají dvě pípy) Příklad 6 Když jde Jouza dolů do sklepa narazit další sud, jde rychlostí 5 km/hod. Když se pak vrací, jde do schodů rychlostí 2 km/hod. Jaká je jeho průměrná rychlost?

11 medián znaku x: Med(x) prostřední hodnota znaku, jsou-li hodnoty uspořádány podle velikosti, je-li n liché, je-li n sudé

12 modus znaku x: Mod(x) - hodnota x s největší četností

13 Výsledky pololetní písemné práce z matematiky ve třídě 4.A a 4.B vidíte v tabulce. Určete aritmetický průměr, modus a medián a rozhodněte, která z tříd dopadla lépe A B78545

Citace 14 CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 170 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, ISBN POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999, 626 s. ISBN