LINEAR CONTROL SYSTEMS Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Lecture 7 Topics to be covered include: v Controllability and observability. u Definition of controllability and observability. u Controllability and observability of different modes. v Canonical forms. u Controllable, observable and Jordan canonical forms. u Controllability and observability in Jordan forms. v Transfer function of controllable and observable systems. v Controllability and observability from block diagram.

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Controllability کنترل پذیری Definition 1:The state equation (I) or the pair (A,b) is said to be controllable if for any initial state x 0 and any final state x 1, there exists an input that transfers x0 to x1 in a finite time. Otherwise (I) or (A,b) is said to be uncontrollable تعریف 1 : معادلات (I) یا زوج (A,b) را کنترل پذیر گویند اگر برای هر x 0 و برای هر x 1 ، ورودی ای وجود داشته باشد که x 0 را در زمان محدود به x 1 برساند. در غیر اینصورت معادلات (I) یا زوج (A,b) را کنترل ناپذیر گویند تعریف 1 : معادلات (I) یا زوج (A,b) را کنترل پذیر گویند اگر برای هر x 0 و برای هر x 1 ، ورودی ای وجود داشته باشد که x 0 را در زمان محدود به x 1 برساند. در غیر اینصورت معادلات (I) یا زوج (A,b) را کنترل ناپذیر گویند

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Controllability test تست کنترل پذیری Theorem 1:The state equation (I) or the pair (A,b) is controllable if and only if قضیه 1 : معادلات (I) یا زوج (A,b) کنترل پذیر است اگر و فقط اگر S= | b Ab A 2 b ….. A n-1 b | ≠ 0

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Example 1 : Check the controllability of following system مثال 1 : کنترل پذیری سیستم زیر را بررسی کنید This kind of system is controllable so it is called controllable canonical form. این نوع سیستم همواره کنترل پذیر است لذا به آن فرم کانونی کنترل پذیر گویند.

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Observability رویت پذیری Definition 2:The state equation (I) or the pair (A,c) is said to be observable if for any unknown initial state x 0, there exists a finite time t 1 > 0 such that the knowledge of the input u and the output y over [0,t 1 ] suffices to determine Uniquely the initial state x 0. Other wise, the equation is unobservable. تعریف 2 : معادلات (I) یا زوج (A,c) را رویت پذیر گویند اگر برای هر شرط اولیه x 0 زمان محدود t 1 >0 ، وجود داشته باشد که اطلاعات ورودی u و خروجی y در بازه [0,t 1 ] برای محاسبه منحصر بفرد x 0 کافی باشد در غیر اینصورت سیستم را رویت ناپذیر گویند.

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Observability test تست رویت پذیری Theorem 2:The state equation (I) or the pair (A,c) is observable if and only if قضیه 2 : معادلات (I) یا زوج (A,c) رویت پذیر است اگر و فقط اگر

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Example 2 : Check the observability of following system مثال 2 : رویت پذیری سیستم زیر را بررسی کنید So the system is not observable. پس سیستم رویت پذیر نیست

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Controllability test for each mode(system with distinct eigenvalues) تست کنترل پذیری برای هر مود ( سیستمهای دارای مودهای مجزا ) Eigenvalues of A مقادیر ویژه A For the controllability of a mode it is sufficient that the following matrix has full row rank

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Observability test for each mode (system with distinct eigenvalues) تست رویت پذیری برای هر مود ( سیستمهای دارای مودهای مجزا ) Eigenvalues of A مقادیر ویژه A For the observability of a mode it is sufficient that the following matrix has full column rank

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Example 3: Check the observability and controllability of each mode مثال 3 : کنترل پذیری و رویت پذیری هر مود را بررسی کنید. It is not completely controllable

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Example 3 : Check the observability and controllability of each mode (continue) مثال 3 : کنترل پذیری و رویت پذیری هر مود را بررسی کنید ( ادامه ). It is completely observable

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Poles of transfer function قطبهای تابع انتقال Eigenvalues of A مقادیر ویژه A Poles of system قطبهای سیستم What happened to -1 ?

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Similarity transformation properties خواص تبدیلات همانندی 1- It can lead to a simpler system. 1 - امکان ساده سازی سیستم 2- It doesn ’ t change the eigenvalues. 2 - عدم تغییر مقادیر ویژه 3- It doesn ’ t change controllability. 3 - عدم تغییر کنترل پذیری 4- It doesn ’ t change observability. 4 - عدم تغییر رویت پذیری

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Effect of similarity transformation on eigenvalues of system تاثیر تبدیلات همانندی بر مقادیر ویژه Similarity transformation doesn ’ t change the eigenvalues. تبدیل همانندی مقادیر ویژه را تغییر نمی دهد

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Effect of similarity transformation on controllability تاثیر تبدیلات همانندی بر کنترل پذیری Similarity transformation doesn ’ t change the controllability. تبدیل همانندی کنترل پذیری را تغییر نمی دهد

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Effect of similarity transformation on observability تاثیر تبدیلات همانندی بر رویت پذیری Similarity transformation doesn ’ t change the observability. تبدیل همانندی رویت پذیری را تغییر نمی دهد With the same proof as pervious slide

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Important canonical forms فرمهای کانونی مهم 1- Controllable canonical form.1 - فرم کانونی کنترل پذیر 2- Observable canonical form.2 - فرم کانونی رویت پذیر 3- Jordan canonical form.3 - فرم کانونی جردن

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Controllable canonical form فرم کانونی کنترل پذیر

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Observable canonical form فرم کانونی رویت پذیر

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Jordan canonical form for systems with distinct eigenvalues فرم کانونی جردن برای سیستم با مقادیر ویژه مجزا Checking the controllability and observability is very simple All modes are controllable and observable تمام مودها کنترل پذیر و رویت پذیر است

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Extended Jordan canonical form فرم کانونی جردن تعمیم یافته

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Transforms to controllable canonical form تبدیل به فرم کانونی کنترل پذیر System is controllable q is last row of S -1 Controllable canonical form

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Transforms to observable canonical form تبدیل به فرم کانونی رویت پذیر System is observable q is last column of V -1 Observable canonical form

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Transfer function of controllable and observable systems. تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر Suppose the system is controllable and observable فرض کنید سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر باشد There is no pole zero cancellation in transfer function حذف صفر و قطب در تابع انتقال نداریم The degree of transfer function is n درجه تابع انتقال برابر n است.

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Transfer function of controllable and observable systems. تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر Suppose the system is not controllable or is not observable فرض کنید سیستم کنترل پذیر یا رویت پذیر نيست There is pole zero cancellation in transfer function حذف صفر و قطب در تابع انتقال داریم The degree of transfer function is less than n درجه تابع انتقال کمتر از n است.

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Example 4: Transfer function of controllable and observable systems. مثال 4 : تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر System is controllable and observable System is not both controllable and observable but 3 is controllable and observable But we can not know much more information about the system by this method اما نمی توان اطلاعات بیشتری از این روش بدست آورد.

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Controllability and observability from block diagram and state diagram کنترل پذیری و رویت پذیری از طریق بلوک دیاگرام و دیاگرام حالت 1- Find the numbers of s -1 in the block diagram or state diagram. 1 - ابتدا تعداد s -1 را در بلوک دیاگرام و یا دیاگرام حالت بدست آورید 2 - Find the transfer function by Mason’s rule 2 - تابع انتقال را با توجه به قانون گین میسون بدست آورید 3 – If the numbers of s -1 in the block diagram or state diagram is equal to degree of transfer function then the system is controllable and observable. 3 - اگر تعداد s -1 در بلوک دیاگرام و یا معادلات حالت با درجه تابع انتقال برابر با شد آنگاه سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر است.

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Example 5: Check the controllability and observability of following function. مثال 5 : کنترل پذیری و رویت پذیری سیستم زیر را بررسی کنید. SD TF Mason’s rule The numbers of s -1 in the state diagram is 2 and the degree of transfer function is also 2 so the system is controllable and observable. تعداد s -1 در دیاگرام حالت برابر 2 بوده و درجه تابع انتقال نیز 2 است لذا سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر است.

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Exercise 2-a)Find the eigenvalues of following system. b) Find the pole of transfer function. c) Are the eigenvalues controllable and observable? 3- Check the controllability and observability of every mode in the following system. 1- Find the modes of following system.

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Exercise (Cont.) 4- Check the controllability and observability of every mode in the following system and compare it with exercise 4.(Note that the system in this exercise and exercise 4 are similar that shown in example 2 5- Examine the controllability and observability of each mode of the following system. Answer: All modes are controllable. -1 and -4 are observable but -2 is not observable.

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Exercises (Cont.) 7- Check the controllability and observability of every mode in the following system by direct inspection (without calculation). S S S r(s) c(s) 8- Check the controllability and observability of the following system 6- Consider the following system. a) Find the controllable canonical form. b) Find the observable canonical form.

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Check the controllability and observability of the following system by transfer function method. 10- Check the controllability and observability of every mode in exercise The eigenvalues of a system are -3,4,-5 and the poles of its transfer function are -3 and -5.(Midterm spring 2008) a) What is your idea about the observability of each eigenvalue. b) What is your idea about the controllability of each eigenvalue. Exercises (Cont.)

Lecture 7 Dr. Ali Karimpour Feb Exercises (Cont.) 12- Find a state space realization for following system such that it is neither observable nor controllable.(Final 1391)