PROPIEDADES (Z = x - iy) * z1 +z2 = z1 +z2 * z = z * z1z2 =z1 +z2 * Z= Z * z1 / z2= z1/ z2 * Z = -Z Re {Z} = z + z Im {Z} = z - z 2 2i

a)Suma y resta Z1 +- Z2 = (X1 + iy1) +- (x2+ iy2) = (x1+-x2) + (iy1+- iy2) b) Multiplicacion Z1Z2 = (X1 + iy1) (x2+ iy2) = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1) c)Division Z1 = Z1 * Z2 = (X1 + iy1) (x2+ iy2) = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1) Z2 Z2 Z2 (x2)^2 + (y2)^2 (x2)^2 + (y2)^2

* Z1 +Z2 = Z2 + Z1 Z1Z2 = Z2Z1 Conmutativa * (Z1 + Z2) + Z3 =Z1+(Z2+Z3) (Z1Z2 )Z3=Z1(Z2Z3) Asociativa * Z1(Z2Z3)= Z1Z2 + Z1Z3 Distributiva * 0 + Z = Z+0=Z Elemento neutro * Z + (-Z) = (-Z) + Z = 0 Inverso aditivo * Z*1= Z Elemento multiplicativo

* !Z! = raiz de x^2 + y^2 *Angulo = Arctan y/x (rad) 1) Conjugado Si Z=& < O entonces Z=& < - O Z= & (Cos O + iSen O) Trigonometrica Z = & (Cos O – iSen O) Polar 2) Multiplicacion Si Z1= &1(Cos O1 + iSen O1) Z2= &2 (Cos O2 + iSen O2) Z1Z2= &1 (Cos O1 + iSen O1) &2 (Cos O2 + iSen O2) &1 &2 (Cos O1 Cos O2 +iCos O1 Sen O1 + iCos O2 Sen O1 Sen O2) &1 &2 = [Cos (O1 + O2) + iSen (O1 O2)] &1&2< (O1+ O2) 3) Inverso 1/Z= 1/&<O=1/&(Cos O+iSenO)* Cos O- iSenO = i/& < -O Cos O- iSenO

Potencias a) Enteras Z^n=Z*Z*Z*Z*Z….Z= &^n< nO Formula de De moivre (Cos O + iSen O) ^n= Cos n O + iSen nO Fraccionaria Si Z= W^n n raiz Z = n raiz & < O +2Pi k n

i)e z1+z2 = e z1z2 para z1= x1+y1i y z2= x2 + y2i ii)Si z1= x y z2= iy e z = e x e yi iii)Para z2= iy Se tiene la formula de Euler e iy = (cos y + i Sen y) iv)La forma polar z= &(Cos O + iSen O) = &e Oi v)De iii) Se observa que !e iy ! = raiz Cos ^2 y+ Sen ^2y =1 vi)!e z ! = e x por tanto arg (e z )= y+- 2 nPi (n=0,1,2,…) vii)Periocidad (con periodo 2Pi i) e z+2Pi i = e z Es una propiedad fundamental que se concluye de (i). Los valores que pueden asumir w= e z ya han sido asumidos en la banda horizontal de ancho 2Pi.