Kombinatoorsete süsteemide disain L7. Loogikafunktsioonide täpne minimeerimine L8. Loogikafunktsioonide heuristiline minimeerimine L9. Mitmevalentne loogika © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Esitusviisid b c a 1 y z x Tabelesitus tõeväärtustabel (truth table) funktsiooni kõikide mintermide loetelu implkanttabel (implicant table) e. intervalltabel e. kate (cover) funktsiooni defineerimiseks piisavate implikantide loetelu b c a 1 - y z x Algebraline x = abc+a’c’ / y = b’c+a’b’+a’c / z = abc+a’c’+a’b’ © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Normaalkujud Disjunktiivne normaalkuju (DNK, DNF) elementaarkonjunktsioonide (product term) disjunktsioon z = abc+a’c’+a’b’ Konjunktiivne normaalkuju (KNK, CNF) elementaardisjunktsioonide (sum term) konjunktsioon z = (a+b’+c’)(a’+b)(a’+c) [ z’ = a’bc+ab’+ac’ ] © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Normaalkujud Täielik DNK (TDNK, CDNF) z = a’b’c’+a’b’c+a’bc’+abc z = 1a,b,c(0,1,2,7) 1-piirkond Täielik KNK (TKNK, CCNF) z = (a+b’+c’)(a’+b+c)(a’+b+c’)(a’+b’+c) z = 0a,b,c(3,4,5,6) 0-piirkond z’ = a’bc+ab’c’+ab’c+abc’ b c a 1 y z x © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Kate Miinimumkate (minimum cover) kate vähima implikantide arvuga (globaalne optimum) Minimaalne kate (minimal cover) ehk liiasuseta kate (irredundant cover) kate, mis ei sisaldu üheski teises kattes ühtegi implikanti ei saa eemaldada (lokaalne optimum) Lihtimplikant (prime implicant) ei sisaldu üheski teises implikandis Lihtkate (prime cover) – kate lihtimplikantidest Oluline (essential) lihtimplikant leidub minterm, mis on kaetud ainult selle lihtimplikandi poolt © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Kate (1,1,1) (0,0,0)     b c a - 1 y x     a b c (1,1,1) (0,0,0)    (1,1,1) (0,0,0)     miinimumkate minimaalne kate © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Minimeerimine Põhi-idee – leida võimalikult väike arv implikante, et kõik mintermid oleksid kaetud Täpsed meetodid leiavad miinimumkatte tihtipeale võimatu suurte funktsioonide korral Quine-McCluskey meetod Heuristilised meetodid leiavad minimaalsed katted (miinimumkatte leidmine võimalik) lai valik meetodeid - MINI, PRESTO, ESPRESSO © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Minimeerimine Implikantide leidmine mintermidest idempotentsus & neeldumis-seadused s.t. x+x=x & xy+xy’=x või x·x=x & (x+y)(x+y’)=x lisaks distributiivsus ja assotsiatiivsus-seadused s.t. (x·y)+x·z=x·(y+z) & (x+y)+z=x+(y+z) või (x+y)·(x+z)=x+(y·z) & (x·y)·z=x·(y·z) NB! Erinevus täpselt ühes järgus! korratakse seni, kuni enam “kleepida” ei saa Näide – x = a’b’c’+a’bc’+abc x = a’b’c’+a’bc’+abc = a’c’(b’+b)+abc = a’c’+abc 1 a c b x © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Minimeerimine x = (a+b+c’)(a+b’+c’)(a’+b+c)(a’+b+c’)(a’+b’+c) = [(a+c’)+(bb’)]·[(a’+b)+(cc’)]·(a’+b’+c) = (a+c’)(a’+b)(a’+b’+c) Pole minimaalne… x = (a+b+c’)(a+b’+c’)(a’+b+c)(a’+b+c’)(a’+b’+c) = (a+b+c’)(a+b’+c’)(a’+b+c)(a’+b+c’)(a’+b+c)(a’+b’+c) = [(a+c’)+(bb’)]·[(a’+b)+(cc’)]·[(a’+c)+(bb’)] = (a+c’)(a’+b)(a’+c) 1 a c b x 1 a c b x © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Minimeerimine y = a’b’c’+a’b’c+a’bc+ab’c = a’b’(c’+c)+a’bc+ab’c = a’b’+a’bc+ab’c … ??? y = a’b’c’+a’b’c+a’bc+ab’c = a’b’c’+a’b’c+a’b’c+a’bc+a’b’c+ab’c = a’b’(c’+c)+a’c(b’+b)+b’c(a’+a) = a’b’+a’c+b’c z = a’b’c’+a’b’c+a’bc’+abc = a’b’c’+a’b’c+a’b’c’+a’bc’+abc = a’b’(c’+c)+a’c’(b’+b)+abc = a’b’+a’c’+abc 1 a c b y 1 a c b z © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Täpne minimeerimine Quine’i teoreem – miinimumkate on lihtkate miinimumkatte otsimisel võib piirduda lihtimplikantidega Quine-McCluskey meetod leia (kõik) lihtimplikandid implikante omavahel kombineerides leia miinimumkate © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Täpne minimeerimine Leitakse kõikvõimalikud lihtimplikandid kuni 2n mintermi neid saab rühmitada kuni 3n/n lihtimplikanti osadel funktsioonidel oluliselt vähem Lihtimplikantide tabel read - mintermid (1-piirkond) veerud lihtimplikandid kiirendamisvõtted olulised lihtimplikandid peavad kuuluma kattesse sõltumatud rühmad võib lahendada eraldi © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Täpne minimeerimine Kõik lihtimplikandid y = ‘1’abcd (0,2,5,8,10,14), ‘-’abcd (12,13,15) kõik mintermid grupeerimine 1-de arvu järgi esitus intervallidena või esitus 10-koodidena Kleepimine ainult naabergrupid erinevus ainult ühes järgus või erinevus 2-astme võrra c d b 1 a 3 2 4 2 8 5 10 12 13 14 15 3 1 4 © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Täpne minimeerimine c d b - 1 a 3 2 c d b 1 a 3 2 4 1 b c d - a © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Täpne minimeerimine c d b - 1 a 3 2 c d b - 1 a 2 1 b c d - a b’d’ B ad’ C ab D bc’d A © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Täpne minimeerimine 3 1 2 (2) (8) (4) (1) 8 5 10 12 13 14 1 b c d - a 2 8 5 10 12 13 14 15 3 1 4 © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Täpne minimeerimine 3 1 2 (2) (8) (4) (1) 8 5 10 12 13 14 1 b c d - a (2,8) (2,4) (1,2) 8 12 1 2 b’d’ B ad’ C ab D bc’d A © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Täpne minimeerimine Lihtimplikantide kate y = ‘1’abcd (0,2,5,8,10,14), ‘-’abcd (12,13,15) 2 5 8 10 14 A B C D bc’d b’d’ ad’ ab [ 5 (8) ] [ 0 (2,8) ] [ 8 (2,4) ] [ 12 (1,2) ] A B C D + + + + © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Täpne minimeerimine Lihtimplikantide kate olulised lihtimplikandid 1 b c d - a 2 5 8 10 14 A B C D + bc’d b’d’ ad’ ab y = bc’d+b’d’+ab © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Näide #2 x = a’b’c’+a’bc’+abc x = ‘1’a,b,c(0,2,7) x = ‘0’a,b,c(1,3,4,5,6) y = a’b’c’+a’b’c+a’bc+ab’c y = ‘1’a,b,c(0,1,3,5) y = ‘0’a,b,c(2,4,6,7) z = a’b’c’+a’b’c+a’bc’+abc z = ‘1’a,b,c(0,1,2,7) z = ‘0’a,b,c(3,4,5,6) b c a 1 y z x © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

Näide #2: x - implikandid x = a’b’c’+a’bc’+abc x = ‘1’a,b,c(0,2,7) x = ‘0’a,b,c(1,3,4,5,6) 1 3 [ühed] - A B b c a 1 x 1 2 [nullid] 1 a c b x - 1 C D E F © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7 Näide #2: x - kate x = a’b’c’+a’bc’+abc x = ‘1’a,b,c(0,2,7) x = ‘0’a,b,c(1,3,4,5,6) A B + 2 7 [ühed] 1 - A B + 1 3 4 5 6 C D E F b c a 1 x [nullid] D E F - 1 C 1 a c b x x = abc+a’c’ x = (a+c’)(b+c’)(a’+c) © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

Näide #2: y - implikandid [ühed] y = a’b’c’+a’b’c+a’bc+ab’c y = ‘1’a,b,c(0,1,3,5) y = ‘0’a,b,c(2,4,6,7) 1 2 - 1 A B C Kõik implikandid on olulised b c a 1 y [nullid] 1 2 3 1 - 2 D E F 1 a c b y Kõik implikandid on olulised y = a’b’+a’c+b’c y = (b’+c)(a’+c)(a’+b’) © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

Näide #2: z - implikandid [ühed] z = a’b’c’+a’b’c+a’bc’+abc z = ‘1’a,b,c(0,1,2,7) z = ‘0’a,b,c(3,4,5,6) 1 3 A - B C Kõik implikandid on olulised b c a 1 z [nullid] 1 1 - 1 E F 2 1 1 D 1 a c b z 1 1 1 1 Kõik implikandid on olulised z = abc+a’b’+a’c’ z = (a+b’+c’)(a’+b)(a’+c) © Peeter Ellervee I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7