PENGENALAN KEPADA JELMAAN LAPLACE DEFINISI JELMAAN LAPLACE CIRI-CIRI JELMAAN LAPLACE JADUAL JELMAAN LAPLACE

JELMAAN LAPLACE Salah satu kaedah yang digunakan untuk menganalisis litar. Digunakan pada litar yang menggunakan isyarat sinusoid dan isyarat bukan sinusoid (isyarat pensuisan).

DEFINISI Jelmaan laplace ialah penjelmaan kamiran bagi suatu fungsi f(t), dari domain masa kepada domain frekuensi kompleks, F(s)

TAKRIFAN JELMAAN LAPLACE Jika diberi suatu fungsi f(t), maka jelmaan laplace bagi fungsi ini diwakili oleh F(s) atau L[f(t)].

FORMULA JELMAAN LAPLACE S dikenali sebagai complex variable ataupun pembolehubah kompleks.

KAEDAH JELMAAN LAPLACE Litar domain masa, f(t) Jelmaan Laplace Litar domain frekuesi, F(s) Jelmaan Laplace songsang Litar domain masa, f(t)

SINGULARITY FUNCTION Unit step (fungsi langkah) Unit impulse (fungsi dedenyut) Unit ramp (fungsi redaman)

SINGULARITY FUNCTION Dikenali juga dengan nama “switching function”. Digunakan dalam litar yang melibatkan operasi pensuisan seperti litar RC dan RL. Tiga jenis utama bagi singularity function: Unit step (fungsi langkah) Unit impulse (fungsi dedenyut) Unit ramp (fungsi redaman)

UNIT STEP FUNCTION, U(t) Unit step, u(t) adalah bernilai 0 bagi t yang negatif, dan bernilai 1 bagi t yang positif.

Graf Unit Step t U(t)

Delayed Unit Step t U(t-t0) t0

Advanced Unit Step t U(t+t0) -t0

UNIT IMPULSE FUNCTION Unit impulse, δ(t) adalah bernilai 0 bagi semua keadaan, kecuali pada t=0, dimana nilainya adalah undefined.

Unit Impulse t 1 δ(t)

Unit Impulse Strength t 10δ(t) 3 1 2 -2 -1 5δ(t+2) -4δ(t-3)

UNIT RAMP FUNCTION Unit ramp, r(t) adalah bernilai 0 bagi t yang negatif, dan mempunyai kecerunan (slope) unit bagi t yang positif.

Unit Ramp r(t) 1 t 1

Delayed Unit Ramp t 1 r(t-t0) t0- 1 t0

Advanced Unit Ramp t 1 r(t+t0) -t0+ 1 -t0

ONE SIDED LAPLACE TRANSFORM Jelmaan laplace yg menggunakan formula ini dikenali sebagai one sided laplace transform. Dari formula tersebut, f(t) diabaikan bagi nilai t<0. Maka, setiap fungsi f(t) biasanya didarab dengan fungsi unit step, u(t) untuk mematuhi syarat formula tersebut.

CONTOH 1 Dapatkan jelmaan laplace bagi fungsi-fungsi berikut:

Jenis-jenis fungsi Step function Exponential function Unit impulse function

(a) Unit step, u(t):

(b) Exponential function:

(c) Unit impulse function, (t):

CONTOH 2 Diberi f(t)= sin ωt u(t), Dapatkan F(s) atau L[sin ωt u(t)].

Guna formula jelmaan laplace:

EULER IDENTITY:

Hasil kamiran:

CONTOH 3 Diberi f(t)= cos ωt u(t), buktikan:

CIRI-CIRI JELMAAN LAPLACE

LINEARITY dimana, a ialah pemalar (constant)

SCALING dimana, a ialah pemalar (constant)

TIME SHIFT dimana, a ialah pemalar (constant)

FREQUENCY SHIFT dimana, a ialah pemalar (constant)

TIME DIFFERENTIATION

Ciri-ciri lain jelmaan Laplace Time integration Frequency differentiation Frequency integration Time periodicity Initial value Final value convolution

JADUAL JELMAAN LAPLACE Satu jadual yang menyediakan senarai jelmaan laplace bagi suatu fungsi masa. Sebagai rujukan jawapan akhir, tetapi masih memerlukan pengiraan dan penyelesaian matematik. Dibekalkan dlm peperiksaan. (Jadual ciri2 jelmaan laplace)

CONTOH 4 Dapatkan jelmaan laplace bagi:

Penyelesaian: Menggunakan ciri-ciri linearity:

CONTOH Dapatkan jelmaan laplace bagi:

Penyelesaian Jelmaan laplace bagi sin t:

Frequency differentiation Merujuk jadual jelmaan laplace:

CONTOH Dapatkan jelmaan laplace bagi: 1 2 3 t 10 g(t)

Graf menunjukkan dua isyarat delayed unit step: 1 2 3 t 10 g(t) 1 2 3 t 10 g(t)

Persamaan g(t): Seterusnya, J.L bagi u(t) dengan time shift property ialah:

Dapatkan G(s)

CONTOH Dapatkan jelmaan laplace bagi: 1 2 3 t h(t) 4 5

Persamaan f(t) Ramp function mempunyai kecerunan=2 dan tempoh T=2: Periodic ramp function,

Expanding: Masa yang berbeza: t dan t-1

Equal time shift:

Time shift property:

Time periodicity property: