Metoda elementului finit (MEF) Istoric Principii de baza Elemente finite Noduri Grade de libertate

"Although the finite element method can make a good engineer better, it can make a poor engineer more dangerous..... One can now make mistakes with more confidence than ever before.“ “In timp ce metoda elementului finit poate face ca un inginer bun sa devina mai bun, ea poate face ca un inginer slab sa devina mai periculos … Se pot face greşeli cu mai multă încredere decât până acum. ” R. Cook

Definitie Metoda elementelor finite (MEF) este o metodǎ generalǎ de rezolvare aproximativǎ a ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale care descriu sau nu fenomene fizice. MEF a devinit unul dintre cele mai “puternice” instrumente in rezolvarea problemelor ingineresti. Principial MEF constǎ în descompunerea domeniului de analiză în porţiuni de formă geometrică simplă, analiza acestora şi recompunerea domeniului respectând anumite cerinţe matematice.

Domeniu de aplicare Din punct de vedere al domeniilor de aplicaţie metoda poate fi extinsǎ în orice domeniu de activitate care descrie un fenomen cu ajutorul unor ecuaţii diferenţiale. Panǎ în prezent metoda s-a dezvoltat în mod deosebit în domenii ca: analiza structuralǎ; analiza termicǎ; analiza fluidelor; analiza electricǎ; analiza magneticǎ,

Precursori FEA Hrennikoff, A. P., 1940. Plane stress and bending of plates by method of articulated framework. Teza de doctorat, MIT, Boston. Analogia de grinda cu zabrele

Analogia Hrennikoff imparte spatiul continuu in puncte legate prin intermediul unor zabrele. Caracteristicile geometrice sunt calculate impunand conditia ca deplasarile nodurilor grinzii cu zabrele sa fie identice cele ale cu corpului continuu (nodurile de colt). Au fost studiate elemente spatiale de tip: cub si de suprafata: triungni echilateral, dreptunghi si patrat.

Precursori FEA Arhimede (circa 250 B.C.) determina numarul p prin “modelarea” unui cerc printr-un poligon regulat inscris.

Precursori FEA Euler a impartit intervalul de definitie a unei functii uni-dimensionale in intervale finite pe care variatia este presupusa liniara, definite prin valorile la capete

Precursori FEA 1942 - Richard Courant (NYU) studiază răsucirea - problema Saint Venant, prin discretizare cu triunghiuri

1950-1962 Pionierii 1953 – 1959 se formulează şi definitivează metoda deplasărilor către de M.J. Turner (seful diviziei Structural Dynamics Unit Boeing). Turner, M. J., Clough, R. W., Martin, H. C., Topp, L. J., 1956. Stiffness and deflection analysis of complex structures. Journal of the Aeronautical Sciences, vol. 23, No. 9, pp. 805–823, 854. 1955  John H. Argyris sistematizeaza conceptul de asamblare a componentelor elementelor a unei structuri intr-un sistem de ecuatii. 1960 Primul care foloseste termenul de element finit este Raymond W. Clough (UC Berkeley)

1962-1970 Anii de aur Fraeijs de Veubeke (1965) - Displacement and equilibrium models in the finite element method O.C. ZIENKIEWICZ (with Y.K. CHEUNG), (1967) The Finite Element Method in Continuum and Structural Mechanics, McGraw Hill, 272 pp

Strang G., Fix G. (1973) – An Analysis of the Finite Element Method

Programe FEA 1965 – 1972 MacNeal-Schwendler (MSC Software)+NASA NASTRAN (NASA Structural Analysis System) 1965 – SAMCEF (Liege University)

Consolidarea 1970-1980 Oden T., (1972) – Finite elements nonliniar continua Coduri comericiale FEM 1970 – ANSYS 1973 – SAP4 1975 – ADINA 1978 – ABAQUS 1985 – COSMOS-M

Perioada actuala Elementele trebuie sa raspunda cerintelor DSM, tinand cont ca majoritatea programelor de calcul se bazeaza pe metoda deplasarilor Pastrarea de elemente simple, dar care sa ofere o suficienta acuratete, chiar si in cazul unui mesh rar -“high performance elements” (1989)

Cunoştinţe necesare - Programator MEF are un caracter pluridisciplinar. Implementarea unor programe cu elemente finite pentru anumite tipuri de probleme sau chiar a unui program general de calcul în domeniul ingineriei, cu precǎdere pentru calcule ale structurilor de rezistenţǎ, impune stǎpanirea diciplinelor

Cunoştinţe necesare - Utilizator Un utilizator – student –este pus în situaţia rezolvǎrii unei anumite probleme şi nu în a implementa un program cu elemente finite pentru rezolvarea ei, de aceea utilizatorul trebuie sǎ afle dacǎ problema se preteazǎ rezolvǎrii cu MEF şi sǎ foloseascǎ un program adecvat problemei respective.

Trebuie sǎ menţionǎm de la început cǎ programul de calcul folosit pentru analiza problemei nu rezolvǎ structura reală, ci doar un MODEL al ei pe care în general îl face utilizatorul. STRUCTURA DE CALCUL -> MODEL -> ANALIZĂ cu MEF

Modelarea Rezultatele pot fi confirmate sau nu, funcţie de cum a fost ales modelul de calcul. Modelarea este o activitate de simplificare a structurii prin încadrarea diverselor porţiuni ale structurii în categoria barelor, plǎcilor, blocurilor, prin simplificarea incǎrcǎrilor şi a rezemǎrilor etc. Modelarea corectǎ (cât mai aproape de realitate) ţine de cunoaşterea bazelor teoretice ale metodei şi de experienţǎ, inspiraţie. De regulă un model se dezvoltă funcţie de scopul analizei.

Odatǎ stabilit modelul de calcul, se impune pregǎtirea datelor de intrare pentru rezolvarea problemei. Fiecare program cu elemente finite prezintǎ particularitǎti care trebuie invǎţate dar existǎ o serie de reguli de bazǎ ale metodei care odatǎ stǎpanite permite abordarea oricǎrui program cu elemente finite.

Indiferent de metoda abordată, analiza unei structuri reale prezintă câteva etape esenţiale: structura reală se identifică, prin folosirea unor ipoteze simplificatoare, cu un model fizic primar, numit “model conceptual”; modelul primar serveşte la formularea unui “model matematic”, adică la un set de ecuaţii care urmează a fi rezolvate; rezultatele obţinute sunt interpretate şi dacă există motive întemeiate acestea pot fi validate. Astfel seria celor două modele conceptual şi matematic pot fi folosite şi pentru alte probleme similare.

Concepte de bază în MEF - introducere Un domeniu solid oarecare, considerat plan numai din considerente de prezentare este raportat la un sistem de referinţă cartezian XOY, este încărcat cu o forţă F şi încastrat pe conturul din stânga. Fiecare punct al domeniului prezintă o deplasare pe direcţia OX, notată u(X,Y) şi una pe direcţia OY, v(X,Y). Domeniul prezentat poate fi identificat cu un model de calcul conceptual, totuşi în continuare acesta se va numi structură.

Descrierea problemei Problema prezentată reprezintă practic o bară de secţiune variabilă în consolă încărcată în capătul liber pentru care se caută soluţia, adică de exemplu săgeata şi tensiunea echivalentă maximă. Din punct de vedere matematic, în teoria elasticităţii, problema prezentată este descrisă de un set de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale şi de anumite condiţii la limită. Pentru anumite cazuri particulare, adică forme geometrice simple şi încărcări bine alese, există soluţii analitice pentru expresiile câmpului deplasărilor şi al tensiunilor. În general problema nu se poate rezolva pe cale analitică.

MEF Se menţionează că o rezolvare analitică prezintă soluţii pentru o infinitate de puncte din domeniul de analiză. Se spune că domeniul de analiză reprezintă o structură continuă. O alternativă de a rezolva astfel de probleme o constituie metoda elementelor finite (MEF).

Elemente finite Pentru a rezolva problema cu MEF, domeniul de analiză (sau volumul structurii) notat V, se împarte într-un număr NE de subdomenii sau fragmente (porţiuni de formă geometrică relativ simplă, fiecare de volum Ve) numite elemente finite. Deoarece elementele finite nu se intersectează între ele se poate scrie că Fiecare element finit se numerotează (este identificat printr-un număr), de obicei de la 1 la numărul total de elemente finite NE. Raportarea la un element oarecare se face de obicei printr-un indice superior (“e” pentru un element oarecare).

Noduri Elementele finite se pun în evidenţă (geometric) prin intermediul unor puncte, de exemplu colţurile triunghiului, dacă elementul finit are forma unui triunghi. Aceste puncte poartă denumirea de noduri. Elementele finite "se leagă" (interacţionează) între ele prin intermediul nodurilor comune, astfel că în domeniul de analiză există un număr finit de noduri. Similar elementelor, nodurile se numerotează, de obicei, de la 1 la numărul total de noduri NN.

Discretizare Operaţia de împărţire a unui domeniu în noduri şi elemente finite de un singur tip sau chiar mai multe tipuri, precum şi numerotarea acestora, adică atribuirea unor numere de identificare, poartă denumirea de discretizare. Discretizarea nu este unică, în general ea se realizează astfel încât să răspundă unor cerinţe practice.

Grade de libertate Pentru exemplul prezentat, fiecare nod din domeniul de analiză are o deplasare posibilă pe orizontală-axa OX şi una pe verticală-axa OY, se poate spune că există doi parametri independenţi care definesc unic deplasarea unui nod în plan. Aceşti parametri poartă denumirea de grade de libertate ataşate nodului. De obicei, gradele de libertate ale tuturor nodurilor definite reprezintă necunoscutele primare ale problemei în MEF, în exemplul de faţă, gradele de libertate nodate UX şi UY definesc deplasarea "posibilă" a unui nod oarecare.

Dimensiunea problemei Pentru unele noduri (1, 2, 3 şi 4 din încastrare), deplasările sunt nule, deci în aceste puncte gradele de libertate se definesc "potenţial", ele nu reprezintă necunoscute. Numărul total de grade de libertate al problemei N se obţine prin însumarea gradelor de libertate active ale tuturor nodurilor. Prin grade de libertate active se înţeleg acele grade de libertate care definesc o deplasare necunoscută.

Necunoscutele problemei / Formularea modelului matematic Din cele prezentate mai sus rezultă că un domeniu continuu cu un număr infinit de grade de libertate este transpus într-un model discret cu N grade de libertate, deci necunoscutele problemei se limitează funcţie de discretizare. Deoarece analiza cu elemente finite este dependentă de implementarea unor programe de calcul, mărimile cu care aceasta lucrează sunt de regulă vectori şi matrice.

Pentru toată structura se defineşte vectorul deplasărilor nodale totale sau al structurii şi vectorul forţelor nodale exterioare

Se consideră un element oarecare e din discretizarea precedentă pentru care cele trei noduri se notează cu I, J şi K.

Vectori deplasarilor / fortelor nodale ale elementului Se defineşte vectorul deplasărilor nodale al elementului, de fapt al tipului de element finit triunghiular care, din condiţii de continuitate, este un subset al vectorului definit de relaţia (1), şi vectorul forţelor nodale al elementului între care se poate obţine relaţia matriceală

Matricea de rigiditate a elementului finit similară relaţiei de echilibru a unui sistem elastic (arc) cu un grad de libertate F=kx. Matricea pătratică [Ke] poartă denumirea de matricea de rigiditate a elementului finit. Aceasta se poate determina pentru fiecare element finit folosind ecuaţiile fundamentale din teoria elasticităţii, pentru moment se neglijează modul în care ea se poate obţine.

Dacă se izolează un nod oarecare n din modelul cu elemente finite pentru care există Nc elemente concurente, atunci fiecare element finit acţionează cu o forţă în acel nod şi din motive de echilibru suma tuturor forţelor trebuie să fie zero.

Atunci când în nodul izolat acţionează şi forţe exterioare acestea trebuie incluse şi echilibrul nodului n se scrie:

Dacă seţine seama de cele 2 Dacă seţine seama de cele 2 *NN ecuaţii şi în expresiile sumelor se introduc forţele obţinute din relaţiile se obţine o relaţie matriceală de forma:

Asamblarea în care [K] este numită matricea de rigiditate globală a structurii. Această operaţie de obţinere a matricei de rigiditate globale din matricele de rigiditate a elementelor poartă denumirea de asamblarea matricei de rigiditate globală şi se prezintă sugestiv în schema

Dimensiunea matricei de rigiditate [K] este 2NN x 2NN şi de obicei aceasta rezultă singulară, deci din ecuaţia nu se pot obţine direct deplasările necunoscute.

Dacă însă se ţine seama de condiţiile la limită, adică pentru unele noduri se cunosc deplasările iar pentru altele forţele exterioare aplicate şi gradele de libertate se clasifică în două seturi.

-a: deplasări cunoscute (de cele mai multe ori nule) şi forţe exterioare reacţiuni necunoscute şi -b: deplasări necunoscute şi forţe exterioare aplicate cunoscute, ecuaţiile se pot partiţiona (rearanja) în raport cu acestea astfel:

Din a doua ecuaţie matriceală rezultă deplasările necunoscute iar apoi din prima ecuaţie rezultă forţele necunoscute (reacţiuni)

Deplasarea nodului 27 pe direcţia OY reprezintă practic săgeata maximă a grinzii. Din formularea completă a MEF, folosind deplasările nodale, se pot obţine şi tensiunile în elemente. Aceste aspecte însă se prezintă în ale capitole.

Cunoscând câmpul deplasărilor în cele NN noduri se poate reprezenta, scalat pentru o vizualizare convenabilă, configuraţia deformatei structurii

Dacă însă matricile de rigiditate ale elementelor nu au fost "adecvat" calculate, având în vedere că elementele sunt legate între ele numai în noduri, e posibil uneori ca deformata să arate eronat, adică să apară goluri sau suprapuneri între laturile elementelor finite adiacente (nu este îndeplinită condiţia de continuitate între laturile comune elementelor finite).

Rezultă că modul în care sunt “proiectate” elementele finite este foarte important şi practic soluţia unor probleme depinde esenţial de formularea elementelor finite care trebuie să satisfacă unele cerinţe fundamentale pentru a putea fi incluse în categoria elementelor finite dintr-un program.