Statistik Pentaabiran Berkaitan Dua Populasi

Objektif Pembelajaran Untuk mempelajari bagaimana menggunakan sampel dari dua populasi untuk menguji hipotesis tentang perhubungan antara populasi. Untuk mempelajari bagaimana bagaimana ujian hipotesis bagi perbezaan antara min populasi mengambil bentuk yang berlainan, bergantung kepada saiz sampel. Untuk memebzakan di antara sampel bebas dengan sampel bersandar apabila membandingkan dua min. Untuk mempelajari bagaimana mengurangkan ujian hipotesis bagi perbezaan min dari sampel bersandar kepada ujian min tunggal. Untuk mempelajari bagaimana menguji hipotesis yang membandingkan kadar dua populasi yang mempunyai beberapa stribut yang menarik. Untuk memahami bagaimana nilai kebarangkalian boleh digunakan dalam pengujian hipotesis.

Taburan Persampelan diantara Dua Min Sampel yang Berbeza Populasi 1 Populasi 2 3

Taburan Persampelan diantara Dua Min Sampel yang Berbeza 4

Formula Z untuk Perbezaan Dua Min Sampel n1  30, n2  30, varian populasi diketahui dan Sampel Bebas 5

Contoh Pulau Pinang Kota Baru 1 = 185 2 = 91, 1 = 35 2 = 22, Katakan pada bulan Januari purata bil letrik isirumah di Pulau Pinang ialah RM185, dengan sisihan piawai RM35. Katakan juga pada bulan yang sama, purata bil letrik di Kota Bahru ialah RM91, dengan sisihan piawai RM22. Jika sampel rawak 40 isirumah di Pulau Pinang dan 32 isirumah di Kota Bahru diambil, apakah kebarangkalian perbezaan di antara purata sampel ialah RM100? Pulau Pinang Kota Baru 1 = 185 2 = 91, 1 = 35 2 = 22, n1 = 40 n2 = 32

Z=0.1867 Z=0.3133 Z=0.0 Z=0.89

Ujian Hipotesis: Saiz Sampel Besar atau Varian Tidak Diketahui, Sampel Bebas

Contoh Diawal tahun 1990an kajian oleh Jabatan Buruh Malaysia mendapati purata anggaran upah lebihmasa sejam di antara juruanalisis komputer dan jurutera adalah hampir sama. Katakan kita mahu menjalankan ujian hipotesis untuk menentukan sama ada ia masih lagi sama sekarang ini. Sampel rawak 32 juruanalisis komputer dan 34 jurutera diseluruh Malaysia diambil dan ditanya gaji lebih masa mereka. Data upah lebih masa sejam ditunjukkan didalam Jadual dibawah dan katakan nilai  = 0.02: Juruanalisis Sistem 24.10 25.00 24.25 23.75 22.70 21.75 21.30 22.00 22.55 18.00 23.50 23.25 22.80 22.10 24.00 21.50 23.85 23.80 24.20 22.75 25.60 22.90 23.20 23.55 Jurutera 20.75 23.80 22.00 21.85 24.16 21.10 23.30 24.00 21.75 21.50 20.40 23.25 22.75 23.00 21.25 20.00 20.50 23.75 22.50 25.00 22.70 21.90 19.50 20.80 20.25 22.45 19.10 22.60 21.70

Ujian Hipotesis Perbezaan antara Dua Min Langkah 1: Hipotesis H0: 1 - 2 = 0 Ha: 1 - 2  0 Langkah 3: Ujian Statistik Langkah 2: Nilai   = 0.02; /2 = 0.01 6

Langkah 4: Peraturan Keputusan 7

Langkah 5: Data Juruanalisis Sistem Jurutera 24.10 25.00 24.25 23.75 22.70 21.75 21.30 22.00 22.55 18.00 23.50 23.25 22.80 22.10 24.00 21.50 23.85 23.80 24.20 22.75 25.60 22.90 23.20 23.55 Jurutera 20.75 23.80 22.00 21.85 24.16 21.10 23.30 24.00 21.75 21.50 20.40 23.25 22.75 23.00 21.25 20.00 20.50 23.75 22.50 25.00 22.70 21.90 19.50 20.80 20.25 22.45 19.10 22.60 21.70 8

Langkah 6: Nilai Ujian Statistik Langkah 7: Kesimpulan 9

Selang Keyakinan untuk Menganggar 1 - 2 apabila n1 dan n2 adalah besar dan 1, 2 tidak diketahui 12

Contoh Katakan satu kajian telah dijalankan untuk menganggar perbezaan purata perbelanjaan di antara pelanggan berpendapatan sederhana dan pelanggan berpendapatan rendah disebuah kedai menggunakan kupon. Sampel rawak 60 pelanggan berpendapatan sederhana dan 80 pelanggan berpendapatan rendah diambil, dan perbelanjaan mingguan mereka dipantau selama 1 minggu. Purata jumlah yang dapat dijimatkan dengan menggunakan kupon, dan saiz sampel serta sisihan piawai sampel adalah sebagaimana berikut. Nilaikan pada paras 98% keyakinan Pelanggan Berpendapatan Sederhana Pelanggan Berpendapatan Rendah n1=60 n2 = 80 X1= RM5.84 X2= RM2.67 S1 = RM1.41 S2 = RM0.54

Nilai Zc yang berkaitan dengan paras 98% keyakinan ialah 2.33. 3.17 – 0.45  1 - 2  3.17 + 0.45 2.72  1 - 2  3.62 Prob[2.72  1 - 2  3.62] = 0.98

Ujian Hipotesis bagi Sampel Kecil, Bebas dan Varian Tidak Diketahui

Ujian t untuk Perbezaan dalam Min Populasi Kedua-dua populasi adalah bertaburan normal. Dua sampel adalah bebas. Sekurang-kurangnya satu sampel adalah kecil, n < 30. Nilai varian populasi tidak diketahui. Varian bagi dua populasi ini adalah sama. 12 = 22 14

Formula t untuk Menguji Perbezaan Min dengan Mengandaikan 12 = 22 df = n1 + n2 - 2 15

Formula t untuk Menguji Perbezaan Min dengan Mengandaikan 12  22

Contoh Katakan satu syarikat pengendali seminar mahu menguji perbezaan pengetahuan peserta seminar menggunakan kaedah A, kuliah dan sesi soal jawab dan kaedah B, menggunakan video kaset da tiada sesi soal jawab. Untuk menguji perbezaan didalam dua kaedah ini, pengurus mengambil sampel rawak 15 orang untuk kumpulan pertama pekerja baru dengan menggunakan Kaedah A dan kumpulan kedua 12 pekerja baru menggunakan kaedah B. Jadual dibawah menunjukkan skor ujian bagi dua kumpulan tersebut. Menggunakan  = 0.05, pengurus mahu menentukan sama ada terdapat perbezaan yang signifikan didalam min skor dua kumpulan latihan tersebut. Ia mengandaikan skor bagi ujian adalah bertaburan normal dan varian populasi adalah sama.

Langkah 1: Hipotesis Langka 3: Ujian statistik H0: 1 - 2 = 0 Ha: 1 - 2  0 Langkah 2: Nilai alpha df = n1 + n2 – 2  = 0.05

Langkah 4: Peraturan Keputusan df=25 df = n1 + n2 – 2 = 15 + 12 – 2 = 25 -2.060 2.060

Langkah 5: Data Kaedah A Kaedah B n1=15 n2 = 12 X1= 47.73 X2= 56.500 S12 = 19.495 S22 = 18.273

Langkah 6: Nilai Ujian Statistik Langkah 7: Kesimpulan Disebabkan nilai dikira t = -5.20, adalah kurang daripada nilai jadual kritikal, t = - 2.06, nilai t yang dikira berada didalam kawasan penolakan. Hipotesis nul adalah ditolak Oleh itu terdapat perbezaan yang signifikan didalam min skor bagi dua ujian tersebut. Berdasarkan min sampel, kita menyedari bahawa kaedah B sebenarnya memberikan purata skor 8 markah lebih berbanding dengan kumpulan yang dilatih menggunakan kaedah A.

Selang Keyakinan untuk Menganggar 1 - 2 dengan Sampel Kecil dan 12 = 22 21

Contoh Satu kumpulan penyelidik telah menjalankan kajian untuk menentukan sama ada terdapat perbezaan di antara wanita dan lelaki didalam ujian kepintaran. Kajian adalah berdasarkan kepada soalan bertulis yang sama terhadap kumpulan tersebut. Katakan sampel rawak keputusan ujian 9 wanita dan 10 lelaki telah diambil didalam kajian ini. Keputusan ujian tersebut berdasarkan markah 50% adalah ditunjukkan didalam berikut. Nilaikan selang perbezaan di antara dua min untuk 99% keyakinan.

-2.10  1.99 0.11  1 - 2  4.09 Prob[0.11  1 - 2  4.99] = 0.99

Statistik Pentaabiran bagi Dua Populasi yang Berhubungan

Sampel Tidak Bebas Ukuran sebelum dan selepas ke atas induvidu yang sama Kajian ke atas pasangan kembar Kajian ke atas pasangan suami isteri 25

Formulas bagi Sambel Tidak Bebas 26

Contoh Sebelas pekerja telah diletakkan di bawah perhatian panel kesihatan disebabkan tingginya kandungan kolestrol didalam badan. Doktor telah memberi nasihat tentang bahaya keadaan ini dan meletakkan mereka didalam diet makanan yang baru. Ditunjukkan didalam dibawah adalah kandungan kolestrol bagi 11 pekerja tersebut sebelum dan selepas 1 bulan mengamalkan diet baru. Pengurus syarikat pekerja tersebut mahu menjalankan ujian statistik untuk menentukan sama ada terdapat perbezaan yang signifikan kandungan kolestrol sebelum dan selepas diet baru tersebut diamalkan. Gunakan  = 0.01.

Langkah 1: Hipotesis Langka 3: Ujian statistik H0: D = 0 Ha: D  0 Langkah 2: Nilai alpha df = n - 1  = 0.01

Langkah 4: Peraturan Keputusan df=10 df = n - 1 = 11 - 1 = 10 t0.005,10 = 3.169 -3.169 3.169

Langkah 5: Data

Langkah 6: Nilai Ujian Statistik Langkah 7: Kesimpulan Disebabkan nilai t yang dikira lebih besar daripada nilai kritikal jadual t (t = 3.6094 > t0.005,11 = 3.169) maka kita dapat menolak Ho. Maka terdapat bukti yang mencukupi untuk menyatakan terdapat perbezaan yang signifikan didalam purata kandungan kolestrol sebelum dan selepas mengamalkan diet baru.

Selang Keyakinan bagi Sampel Tidak Bebas atau

Contoh Jualan rumah baru adalah turun naik mengikut musim. Keadaan musiman ini menunjukkan keadaan ekonomi dan pusingan perniagaan yang memberi kesan keatas jualan rumah. Katakan Kementerian Kerajaan Tempatan mahu menganggarkan purata perbezaan didalam bilangan jualan rumah baru di Kuala Lumpur di antara 1998 dan 2000. Untuk melakukannya, kementerian memilih secara rawak 18 firma pemaju perumahan dan memperolehi angka jualan untuk Mei, 1998 dan Mei, 2000. Bilangan jualan rumah baru setiap firma ditunjukkan didalam Jadual 10.7. Menggunakan data ini, kementerian menganggar purata perbezaan bilangan jualan rumah baru oleh firma di Kuala Lumpur untuk Mei, 1998 dan Mei, 2000 dan melakukan 99% selang keyakinan.

t0.005,17 = 2.898 -5.62  D  -1.16 Prob[-5.62  D  -1.16] = 0.99

Statistik Pentaabiran Berkaitan Perkadaran Dua Populasi

Taburan Persampelan Perbezaan dalam Perkadaran Sampel 39

Formula Z untuk Menguji Perbezaan dalam Perkadaran Populasi 40

Formula Z untuk Menguji Perbezaan dalam Perkadaran Populasi 41

Contoh Adakah pelanggan dan CEO mempunyai perbezaan didalam persepsi etika perniagaan? Sekumpulan penyelidik cuba untuk menguji untuk menentuka sama ada terdapat perbezaan didalam perkadaran pelanggan dan perkadaran CEO yang mempercayai kehilangan satu pekerjaan mempunyai pengaruh yang kuat terhadap gelagat etika. Didalam kajia tersebut, mereka mendapati 57% daripada pelanggan menyatakan bahawa kehilangan satu pekerjaan mempunyai pengaruh yang kuat keatas gelagat etika tetapi hanya 50% sahaja CEO yang beranggapan sedemikian. Katakan data telah dipungut dari sampel rawak 755 pelanggan dan 616 CEO. Adakah penyelidik mempunyai bukti yang mencukupi untuk menyatakan pelanggan mempunyai perkadaran yang lebih tinggi berbanding CEO didalam mempercayai kehilangan satu pekerjaan mempunyai pengaruh yang kuat terhadap etika perniagaan. Gunakan  = 0.10.

Langkah 3: Ujian statistik Langkah 2: Nilai alpha Langkah 1: Hipotesis dimana P1 ialah perkadaran pelanggan yang memilih faktor P2 ialah perkadaran CEO yang memilih faktor H0: P1 – P2 = 0 Ha: P1 – P2 > 0 Langkah 3: Ujian statistik Langkah 2: Nilai alpha  = 0.01

Langkah 4: Peraturan Keputusan  = 0.01 Oleh kerana ujian ini adalah ujian satu hujung, nilai kritikal jadual Z ialah Zc = 1.28. Jika nilai Z yang dikira lebih besar daripada 1.28, hipotesis nul ditolak. Zc = 1.28

Langkah 5: Data

Langkah 6: Nilai Ujian Statistik Langkah 7: Kesimpulan Disebabkan Z = 2.59 adalah lebih besar daripada nilai kritikal jadual Z, 1.28, dan ia berada didalam kawasan penolakan, maka hipotesis nul ditolak. Perkadaran pelanggan yang signifikan lebih tinggi berbanding CEO didalam mempercayai kehilangan satu pekerjaan adalah pengaruh yang kuat keatas gelagat etika. CEO mungkin mahu melihat cara lain yang mempengaruhi etika perniagaan. Jika pekerja lebih mengemari pelanggan berbanding CEO, CEO mungkin berkebolehan untuk melihat kehilangan satu pekerjaan sebagai alat untuk memastikan gelagat etika didalam kerja.

Selang Keyakinan untuk Menganggar P1 - P2 44

Contoh Katakan didalam percubaan untuk menarik pelanggan, pengurus pasar raya mahu menentukan perbezaan di antara perkadaran pelanggan disebelah pagi adalah lelaki dan perkadaran pelanggan selepas jam 5 petang adalah lelaki. Didalam tempoh masa dua minggu, pengurus mengambil sampel rawak sistematik seramai 400 pelanggan sebelah pagi mendapati 352 wanita dan 48 lelaki, sampel rawak sistematik 480 pelanggan selepas jam 5 petang mendapati 293 wanita dan 187 adalah lelaki. Jalankan 98% selang keyakinan untuk menganggar perbezaan didalam perkadaran populasi bagi lelaki.

-0.27 – 0.064  P1 – P2  -0.27 + 0.064 -0.334  P1 – P2  -0.206 Prob[-0.334  P1 – P2  -0.206] = 0.98

Ujian Perbandingan Varian Dua Populasi

Ujian F bagi Varian Dua Populasi 46

Taburan F dengan 1 = 10 dan 2 = 8

Katakan sebuah mesin menghasilkan kepingan logam yang mempunyai ketebalan 22 mm. Disebabkan oleh mesin, operator, bahan mentah, persekitaran kilang dan lain-lain faktor terdapat variabiliti didalam ketebalan kepingan tersebut. Dua buah mesin mengeluarkan kepingan ini. Operator pengeluaran amat menitikberatkan ketepatan bagi dua mesin ini. Untuk menguji ketepatan, sampel rawak 10 keping logam yang dikeluarkan oleh mesin 1 diambil dan 12 keping logam dari mesin 2 juga diambil. Ukuran ketebalan bagi kepingan dari kedua-dua mesin tersebut diambil dan ditunjukkan didalam jadual berikut. Andaikan ketebalan kepingan logam adalah bertaburan normal didalam populasi. Bagaimanakah kita boleh menguji sama ada varian dari setiap sampel datangnya dari varian populasi yang sama (varian populasi adalah sama) atau dari populasi varian yang berbeza (varian populasi tidak sama). Gunakan  = 0.05.

Langkah 1: Hipotesis Langka 3: Ujian statistik Langkah 2: Nilai alpha  = 0.05

Sebahagian Jadual F bagi  = 0.025 Numerator Degrees of Freedom Denominator Degrees of Freedom 1 2 3 4 5 6 7 8 9 647.79 799.48 864.15 899.60 921.83 937.11 948.20 956.64 963.28 38.51 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33 39.36 39.37 39.39 17.44 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 12.22 10.65 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 8.07 6.54 5.89 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 7.57 6.06 5.42 5.05 4.65 4.53 4.43 4.36 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 10 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 11 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 12 6.55 5.10 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 48

Langkah 4: Peraturan Keputusan v1=9, v2 = 11

Langkah 5: Data Mesin 1 Mesin 2 22.3 21.8 22.2 21.9 21.6 22.4 22.5 22.0 22.1 21.7

Langkah 6: Nilai Ujian Statistik Langkah 7: Kesimpulan Nilai F yang dikira ialah 5.63, adalah lebih besar daripada hujung kanan nilai kritikal 3.59. Oleh itu, keputusannya ialah menolak hipotesis nul. Varian populasi adalah tidak sama. Ujian terhadap varian sampel menunjukkan varian pengukuran dari mesin 1 adalah lebih besar daripada pengukuran varian dari mesin 2. Operator dan pengurus operasi mungkin mahu menguji mesin 1 selanjutnya; dan pelarasan mungkin diperlukan atau mungkin terdapat sebab lain menyebabkan terdapat variasi mesin tersebut. 51

Terima Kasih