Actiuni, coactiuni si graduari pe algebre Cod IDEI 1904, Contract 479/13.01.2009 Director: S. Dascalescu Universitatea Bucuresti Detalii proiect

Informatii generale Durata proiectului: 3 ani (2009—2011) Echipa de cercetare - 4 cercetatori cu experienta: Prof. Dr. Sorin Dascalescu, Prof. Dr. Constantin Nastasescu, Lector dr. Crina Dascalescu, Lector dr. Daniel Bulacu - 2 cercetatori in formare: Doctorand Ana Tudorache, Doctorand Cerasela Buruiana Buget - initial 936000 - alocat (dupa multiple acte aditionale) 468902.80 RON astfel: - 2009: 81902.80 - 2010: 75000 - 2011: 312000 Informatii generale

Stadiul realizării indicatorilor de performanţă Obiectivul asumat in anexa “Criterii minime de performanta asteptate” a fost de 7 lucrari (dintre care se estimau 5 articole in reviste indexate ISI si 2 articole in reviste indexate in baze de date internationale) pentru intreaga perioada de desfasurare a proiectului (1 ianuarie 2009- 31 decembrie 2011). In perioada 2009 - 2010 au fost elaborate 14 articole; - 6 articole sunt publicate sau acceptate in reviste indexate ISI. - 2 articole sunt publicate sau acceptate in reviste indexate BDI. - alte 6 articole au fost trimise spre publicare in 2010 la reviste indexate ISI. Prin urmare, putem spune ca indicatorii de performanta au fost realizati deja cu un an inainte de finalizarea proiectului. Stadiul realizării indicatorilor de performanţă Indicatori de performanta

Revistele cotate ISI care au acceptat lucrarile sunt: Journal of Algebra (Elsevier) (2 lucrari) Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (Cambridge University Press) (1 lucrare) Algebras and Representation Theory (Springer) (1 lucrare) Communications in Algebra (Taylor and Francis) (1 lucrare) The Arabian Journal for Science and Engineering (1 lucrare)

Cercetare sprijinita financiar de acest grant 1. S. Dascalescu, C. Nastasescu, Coactions on spaces of morphisms, Algebras and Representation Theory 12, 193-198, 2009. 2. D. Bulacu, The weak braided Hopf algebra structure of some Cayley-Dickson algebras, J. Algebra 322, 2402-2427, 2009. 3. C. Iglesias, C. Nastasescu, J. Vercruysse, Quasi-Frobenius functors. Applications, Commun. Algebra 38, 3057-3077, 2010. 4. S. Dascalescu, C. Nastasescu, G. Velicu, Balanced bilinear forms and finiteness properties for incidence coalgebras over a field, Revista de la Union Matematica Argentina 51, 13-20, 2010. Articole publicate

5. D. Bulacu, A Clifford algebra is a weak Hopf algebra in a suitable symmetric monoidal category, va aparea in J. Algebra. 6. S. Dascalescu, C. Nastasescu, A. Tudorache, A note on regular objects in Grothendieck categories, va aparea in The Arabian Journal for Science and Engineering. 7. D. Bulacu, S. Caenepeel, The braided monoidal structures on the category of vector spaces graded by the Klein group, va aparea in Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 8. C. Buruiana, Abelian finite group gradings on the skew polynomial ring k[X][Y, φ], va aparea in University Politehnica of Bucharest Scientific Bulletin, A Series. 9. D. Bulacu, S. Caenepeel, Algebras graded by discrete Doi-Hopf data and the Drinfeld double of a Hopf group coalgebra, trimisa spre publicare, 2010. Articole publicate

10. C. Boboc, S. Dascalescu, L. Van Wyk, Isomorphisms between Morita context rings, trimisa spre publicare, 2010. 11. S. Dascalescu, M. Iovanov, C. Nastasescu, Path subcoalgebras, subcoalgebras of incidence coalgebras, finiteness properties and quantum groups, trimisa spre publicare, 2010. 12. C. Buruiana, Group gradings on polynomial algebras, trimisa spre publicare, 2010. 13. L. Daus, C. Nastasescu, M. Nastasescu, Von Neumann regularity of smash products associated with G-set gradings, trimisa spre publicare, 2010. 14. F. Castano Iglesias, C. Nastasescu, L. Nastasescu, Locally stable Grothendieck categories. Applications, trimisa spre publicare, 2010. Alte lucrari

Cei doi doctoranzi au participat activ la cercetare, fiind autori a 3 articole, dintre care unul in revista ISI, unul in revista BDI, iar altul trimis spre publicare. Unul dintre doctoranzi, Ana Tudorache, si-a sustinut in 2010 teza de doctorat, bazata in mare parte pe rezultate obtinute in cadrul proiectului. Unele din rezultate au fost obtinute in colaborare cu specialisti straini, doctoranzii fiind si ei inclusi in discutiile cu acestia. Un exemplu este colaborarea initiata intre C. Buruiana si Prof. Van Oystaeyen, de la Univ. Anvers, Belgia.

Principalele rezultate originale, valoroase din punct de vedere stiintific S-au obtinut caracterizari noi pentru algebrele Hopf cu integrala nenula si s-a aratat ca pentru o algebra Hopf cosemisimpla H dimensiunea unui H-comodul absolut ireductibil este nenula in corpul de baza. 2. S-a aratat ca orice algebra obtinuta prin procesul Cayley-Dickson (e.g., algebra numerelor complexe, a cuaternionilor, a octonionilor, a sedenionilor, etc.) admite o structura de algebra Hopf slaba intr-o anumita categorie simetric monoidala de spatii vectoriale graduate. 3. Am caracterizat functorii quasi-Frobenius definiti intre doua categorii de module si, respectiv, intre categorii de module peste coinele. Rezultate obtinute

4. Am obtinut conditii de finitudine pentru coalgebra de incidenta IC(X) a unei multimi partial ordonate local finite X. Am aratat ca orice subcoalgebra a lui IC(X) are o baza formata din segmente, am caracterizat formele biliniare balansate pe IC(X) si am gasit conditii necesare si suficiente pentru care IC(X) este o coalgebra co-Frobenius la stanga sau la dreapta. 5. S-a aratat ca orice algebra Clifford corespunzatoare unui spatiu patratic regulat admite o structura de algebra Hopf slaba intr-o anumita categorie simetric monoidala de spatii vectoriale graduate. Mai mult ea este o algebra Frobenius si o coalgebra coFrobenius, in sens rigid monoidal. 6. Am descris obiectele regulate in raport cu un generator intr-o categorie Grothendieck care nu este neaparat local finit generata. 7. S-au descris complet structurile braided monoidale ale unei categorii de spatii vectoriale graduate dupa grupul lui Klein. Mai mult, s-au construit exemple noi de algebre Hopf slabe in aceste categorii. Rezultate obtinute

8. Am descris complet graduarile dupa grupuri abeliene finite ale inelului de polinoame incrucisate k[X][Y; φ], unde φ este un k-automorsm al lui k[X]. 9. S-a aratat ca o categorie de module Doi-Hopf in categoria lui Turaev se identifica cu o categorie de module graduate peste o algebra graduata dupa o data Doi-Hopf discreta. Acest fapt ne-a permis definirea dublului cuantic asociat unei coalgebre grup-Hopf, o algebra Hopf quasitriangulara graduata. 10. Pentru T si T’, doua inele asociate unor contexte Morita, am aratat ca anumite izomorfisme dintre T si T’ sunt complet determinate de cele semigraduate, respectiv de cele anti-semigraduate de la T la T’. Am mai obtinut conditii in care cele doua multimi de izomorfisme coincid. Au fost clasificate subcoalgebrele coalgebrelor de drumuri care au o baza formata din drumuri si sunt co-Frobenius la stanga. Pentru coalgebrele din aceasta clasa care sunt si co-Frobenius la dreapta, s-au clasificat toate structurile de algebra Hopf care se pot introduce.

12. Au fost investigate graduarile algebrei de polinoame intr-un numar finit de nedeterminate dupa grupuri abeliene finite, precum si dupa anumite grupuri neabeliene de ordin mic. 13. A fost investigata regularitatea in sens von Neumann a produsului smash al unui inel graduat dupa un grup G si a produsului smash unui inel G-graduat cu o G-multime finita. 14. Este introdus si studiat conceptul de subcategorie localizanta stabila intr-o categorie Grothendieck arbitrara.Sunt obtinute aplicatii la categoria comodulelor peste o coalgebra, la categoria modulelor peste un inel noetherian si la categoria modulelor graduate peste un inel graduat.

Implicarea tinerilor cercetatori si modul in care se reflecta in cheltuielile de personal Au participat activ la seminariile de lucru organizate in cadrul acestui proiect. Acestea au fost sustinute atat de membrii cu experienta cat si de cei doi tineri cercetatori. Au beneficiat de materialele de care am dispus in cadrul proiectului: monografii, obiecte de birotica si papetarie, tonere pentru imprimante si copiatoare, etc. Datorita bugetului alocat in anul 2010 nu s-au putut efectua, in cadrul proiectului, vizite de documentare sau colaborare stiintifica. Cu toate acestea Cerasela Buruiana a reusit, prin recomandarile noastre si cu ajutorul scolii doctorale de la UB, sa initieze o colaborare stiintifica cu Prof. Van Oystaeyen de la Universitatea Anvers, Belgia. Implicarea tinerilor cercetatori

Ana Tudorache nu a dorit sa primeasca salariu din acest grant. Cerasela Buruiana a beneficiat de salarii pentru activitatea de cercetare, fiind angajata in centrul de cercetare “Algebra si teoria numerelor” de la Universitatea din Bucuresti. Sumele aferente au fost: - 2009: 4787.64 RON - 2010: 5632.80 RON Ana Tudorache si-a sustinut in 2010 teza de doctorat la Universitatea din Bucuresti, in urma careia a obtinut titlul de doctor in matematica. Subiectele abordate in teza sunt parte din obiectivele stiintifice asumate in cadrul acestui proiect. Cerasela Buruiana si-a sustinut examenele si referatele din cadrul programului sau de doctorat. In cadrul acestui grant a scris doua lucrari, una este acceptata spre publicare intr-o revista indexata BDI iar cea de a doua a fost trimisa spre publicare. Implicarea tinerilor cercetatori

Dificultati intampinate in derularea proiectului (stiintific si / sau administrativ) Principalele dificultati intampinate au fost legate de subfinantare. Bugetul alocat pentru 2009-2010 a fost de 156902 RON, fata de 624000 RON cat era prevazut initial. In plus, demararea etapei 2010 a fost intarziata si nu ne-a fost data posibilitatea sa facem mobilitati. Poate ca efectul acestor masuri pe care il resimtim cel mai mult este pierderea credibilitatii in fata tinerilor, in particular a doctoranzilor si cercetatorilor in formare, acestia fiind pe cale sa capete convingerea ca nu pot sa aiba incredere ca vreun grant se va derula in conditii normale, dupa planul initial si cu bugetul aprobat la inceput. Daca granturile IDEI din generatia 2008 au fost de mare folos cercetatorilor, chiar si asa cu bugetele mult diminuate, din punct de vedere psihologic, prin neincrederea indusa in randul cercetatorilor si doctoranzilor, acestea au constituit mai degraba o nereusita. Dificultati intampinate

Explicitarea bugetului pe anul 2011 Cheluieli de personal: 165723 Mobilitati: 59218 In cadrul acestui proiect am putut beneficia de un numar mic de mobilitati (2 interne si 3 externe), doar in anul 2009. Din aceasta cauza nu am putut prezenta rezultatele obtinute in cadrul unor seminarii si conferinte interne sau internationale, nu am putut initia colaborari intre cercetatorii in formare si cercetatori externi (cu exceptia celei mentionate, in care Cerasela Buruiana a vizitat Universitatea Anvers folosind resurse financiare din alte surse), nu am putut intretine decat prin e-mail colaborari pe care le-am initiat in primul an al acestui proiect. Cheltuieli de logistica: 35404 Pana in prezent, bugetul aferent cheltuielilor de logistica a fost 0 (zero!). Dorim ca in 2011 sa ne asiguram independenta, din punct de vedere logistic, prin achizitionarea de monografii de specialitate, tonere, hartie, obiecte de papetarie si birotica, programe software, componente periferice, laptopuri si calculatoare, etc. Cheltuieli indirecte (regie): 51655 TOTAL: 312000, suma prevazuta pentru anul 2011 in ultimul act aditional.