ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS ING: ANGEL ROSALES RIVERA 1

LA ESTÁTICA DE FLUIDOS Se entiende por fluido un estado de la materia en el que la forma de los cuerpos no es constante, sino que se adapta a la del recipiente que los contiene Los líquidos y los gases corresponden a dos tipos diferentes de fluidos. Los primeros tienen un volumen constante que no puede modificarse apreciablemente por compresión. Se dice por ello que son fluidos incompresibles. Los segundos no tienen un volumen propio, sino que ocupan el del recipiente que los contiene; son fluidos compresibles porque, a diferencia de los líquidos, sí pueden ser comprimidos. 2

LA DENSIDAD DE LOS CUERPOS Para cualquier sustancia la masa y el volumen son directamente proporcionales. Es precisamente la constante de proporcionalidad la que se conoce por densidad y se representa por la letra griega  La densidad  de una sustancia es la masa por unidad de volumen de dicha sustancia. Su unidad en el SI es kg/m 3 peso específico peso específico pe que se define como el cociente entre el peso P de un cuerpo y su volumen: 3

La densidad relativa de una sustancia es el cociente entre su densidad y la de otra sustancia diferente que se toma como referencia o patrón: Densidad relativa Para sustancias líquidas se suele tomar como sustancia patrón el agua cuya densidad a 4 ºC es igual a kg/m 3 la densidad relativa carece de unidades físicas. 4

SustanciaDensidad (g/cm 3 ) SustanciaDensidad (g/cm 3 ) Acero Oro19.31 Aluminio2.7Plata10.5 Cinc7.15Platino31.46 Cobre8.93Plomo11.35 Cromo7.15Silicio2.3 Estaño7.29Sodio0.975 Hierro7.88Titanio4.5 Magnesio1,76Vanadio6.02 Níquel8.9Volframio

SustanciaDensidad (g/cm 3 ) SustanciaDensidad (g/cm 3 ) Aceite Bromo3.12 Acido sulfúrico 1.83Gasolina Agua1.0Glicerina1.26 Agua de mar Mercurio13.55 Alcohol etílico 0.79Tolueno

PRESION · La fuerza ejercida por unidad de superficie es la presión. La presión es una cantidad escalar que cuantifica la fuerza perpendicular a una superficie..Si una fuerza perpendicular dF actúa sobre una superficie dA, la presión en ese punto es: ·Si la presión es la misma en todos los puntos de una superficie plana, la presión es, 7

PRESION EN UN PUNTO Si la fuerza es variable y F representa la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la superficie A, la formula 8

PRESIÓN P = F cos α / A Unidades: [P] = N / m 2 (pascal) [P] = dyn / cm 2 (baria) A F α 9

PRESIÓN = A F 45º ¿CUÁNTO VALE EN CADA CASO? F F F 10

Presión atmosférica: es la que ejerce la atmósfera o aire sobre la Tierra es el peso de la masa de aire por unidad de superficie PRESION ATMOSFERICA La presión de una atmósfera es igual al peso de una columna de mercurio de 76 cm de altura que ejerce sobre un cm 2. La presión atmosférica varía con el clima y con la altura. 11

PRESION ATMOSFERICA La atmósfera que nos envuelve es como un inmenso recipiente que contiene un fluido llamado aire La atmósfera ( mezcla homogénea de gases cuyos componentes fundamentales son el oxígeno y el nitrógeno). El aire por ser un fluido ejerce fuerzas perpendiculares a las superficies. Llamamos presión atmosférica a la presión ejercida por el aire que nos envuelve sobre todos nosotros. La atmósfera que nos envuelve es como un inmenso recipiente que contiene un fluido llamado aire La atmósfera ( mezcla homogénea de gases cuyos componentes fundamentales son el oxígeno y el nitrógeno). El aire por ser un fluido ejerce fuerzas perpendiculares a las superficies. Llamamos presión atmosférica a la presión ejercida por el aire que nos envuelve sobre todos nosotros. 12

PRESION ATMOSFERICA 13

Presión atmosférica normal: -Es equivalente a la ejercida por una columna de mercurio de 76 cm de altura a 0ºC y a nivel del mar a 45 º de latitud ( eso implica g “normal”) P atm =  Hg h Hg = 13,6 g/cm cm/s 2. 76cm = 1, dina/cm 2 = N/m 2 = Pa = 14.7 lbf/pulg^2 (PSI) = 1 atm 1 Kg/m 2 = 9.8 N/m 2 = 98 dyn / cm 2 = ·Otras unidades de presión: -1 atm. = 1,013 * 10 5 Pa = 760 torr -1 mm de Hg = 1 torr -1 libra/pulg 2 (psi) = 6,90*10 3 Pa -1 bar = 10 5 Pa 14

UNIDADES DE PRESION – TABLA DE CONVERSION 1.- Comenzar desde la columna cuyo encabezado tiene la unidad de partida. 2.- Bajar hasta la fila que tiene el número “1 “. 3.- Moverse por la fila hasta llegar a la columna cuyo encabezado tiene la unidad que uno quiere. 4.- Multiplicar el número que tiene esa celda por el valor de partida y obtener el valor en la unidad requerida. 15

EQUIVALENCIAS ENTRE UNIDADES Presión 1 atmósfera (atm) = 760 milímetros de mercurio (mm Hg) 1 atmósfera (atm) = 14,7 libras/pulgada 2 (lb/in 2 ) 1 atmósfera (atm) = 1,013 x 10 5 newtons/metro 2 (N/m 2 ) 1 atmósfera (atm) = 1,013 x 10 6 dina/centímetro 2 (din/cm 2 ) 1 bar = 10 5 newtons/metro 2 (N/m 2 ) 1 bar = 14,50 libras/pulgada 2 (lb/in 2 ) 1 dina/centímetro 2 (din/cm 2 )= 0,1 pascal (Pa) 1 dina/centímetro 2 (din/cm 2 )= 9,869 x atmósfera (atm) 1 dina/centímetro 2 (din/cm 2 )= 3,501 x milímetros de mercurio=torr (mm Hg) 1 libra/pulgada 2 (lb/in 2 ) = 6,90 x 10 3 newton/metro 2 (N/m 2 ) 1 libra/pulgada 2 (lb/in 2 ) = 6,9 x 10 4 dinas/centímetro 2 (din/cm 2 ) 1 libra/pulgada 2 (lb/in 2 ) = 0,69 atmósfera (atm) 1 libra/pulgada 2 (lb/in 2 ) = 51,71 milímetros de mercurio=torr (mm Hg) 1 milímetro de mercurio=torr (mm Hg) = 1,333 x 10 2 pascales (Pa) 1 milímetro de mercurio=torr (mm Hg) = 1,333 x 10 3 dinas/cm 2 (din/cm 2 ) 1 milímetro de mercurio=torr (mm Hg) = 1,316 x atmósfera (atm) 1 milímetro de mercurio=torr (mm Hg) = 1,934 x libra/pulgada 2 (lb/in 2 ) 1 pascal (Pa) = 1 newton/metro 2 (N/m 2 ) = 1,45 x libra/pulgada 2 (lb/in 2 ) 1 pascal (Pa) = 1 newton/metro 2 (N/m 2 ) = 10 dinas/centímetro 2 (din/cm 2 ) 1 pascal (Pa) = 1 newton/metro 2 (N/m 2 ) = 9,869 x atmósferas (atm) 1 pascal (Pa) = 7,501 x milímetros de mercurio=torr (mm Hg) 1 pulgada de mercurio (in Hg) = 3,386 x 10 3 pascales (Pa) 16

La presión atmosférica ha sido determinada en más de un kilo por (Kg/cm 2) centímetro cuadrado de superficie pero, sin embargo, no lo notamos (motivo por el cual, por miles de años, los hombres consideraron al aire sin peso). ¿Cómo es que los animales y las personas que están en la Tierra pueden soportar tamaña presión? 17

El aire ejerce su presión en todas direcciones (como todos los fluidos y los gases), pero los líquidos internos de todos esos seres ejercen una presión que equilibra la presión exterior 18

LA PRESION EN LOS FLUIDOS La fuerza que ejerce un fluido en equilibrio sobre un cuerpo sumergido en cualquier punto es perpendicular a la superficie del cuerpo. La presión es una magnitud escalar 19

PRESION HIDROSTATICA “ En todo punto del interior de un liquido hay presiones en todas direcciones y en todos los sentidos” 20

DISTRIBUCION DE PRESIONES EN UN FLUIDO ESTATICO ECUACION FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA Consideremos un elemento diferencial de volumen de fluido en estado de equilibrio estático. En este análisis consideraremos sólo la fuerza de la gravedad, o peso del elemento. Según la segunda Ley de Newton se tiene 21

Sustituyendo las fuerzas por sus ecuaciones equivalentes Dividiendo ambos miembros entre dV El significado físico de cada termino de la ecuación Si la velocidad es Cte. La aceleración es = 0 la viscosidad desaparece Esta ecuación vectorial expresa la distribución de presiones para cualquier fluido en equilibrio y es conocida como la ecuación fundamental de la hidrostática. 22

En el sistema de coordenadas la ecuación puede ser expresada La ecuación fundamental de la hidrostática se reduce a 23

VARIACION DE LA PRESION HIDROSTATICA EN LIQUIDOS Para un fluido incomprensible, la densidad ρ es constante. Entonces para gravedad constante. Para determinar el valor de la constante de integración consideramos las condiciones de presión en la interface del líquido (superficie libre). 24

Sustituyendo en la última ecuación se obtiene Ahora si remplazamos el valor C, en la ecuación A menudo es conveniente como nivel de referencia la superficie libre y medir a partir de esta referencia las distancias positivamente hacia abajo. 25

La ecuación fundamental de la hidrostática Esta ecuación indica que para un líquido dado y para una presión exterior constante la presión en el interior depende únicamente de la profundidad h. 26

Consideremos un volumen de liquido de masa M y área A. P = .g.h P = .h La presión dentro de un líquido depende de la profundidad y del peso específico del líquido. PRESION HIDROSTATICA 27

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA P A = .g.h A y P B = .g.h B P A – P B = .g.(h A – h B ) “La diferencia de Presiones entre 2 puntos de un mismo líquido es igual al producto entre el Peso Específico del líquido y la diferencia de niveles” P A – P B = .(h A – h B ) 28

La presión total en A será: P A = P hidrostatica + P atmosferica P A = .g.h A + P 0 29

Ejemplo: Un buzo se sumerge en el mar hasta alcanzar una profundidad de 100 m. determinar la presión a la que está sometido y calcular en cuantas veces supera a la que experimentaría en el exterior, sabiendo que la densidad del agua del mar es de 1,025 kg/m 3 El numero de veces que P es superior a la presión exterior P 0 se obtiene hallando el cociente entre ambas: 30

PRESION ABSOLUTA Y MANOMETRICA ·La Presión Manométrica, es el exceso de presión mas allá de la presión atmosférica · La presión que se mide con relación al vacio perfecto se conoce con el nombre de presión absoluta P absoluta = P atmosférica + P manométrica 31

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PRESIÓN HIDROSTÁTICA ¿CUÁNTO VALE LA PRESIÓN EN EL FONDO EN CADA CASO? 1 m 10 cm 1 m 10 cm 2 m P = h * P = h *  33

Presión en un pez Un pequeño pez está nadando a 100 m bajo el agua. ¿Cual es la presión en sus lados?. ¿Cual es la presión en su inferior?. (P 0 =1.0·10 5 Pa) 34

VASOS COMUNICANTES La presión hidrostática no depende de la forma del recipiente. Como la presión solo depende de  y de h, la presión a cierto nivel de profundidad en cualquiera de los recipientes es la misma. 35

Por tanto, todos los puntos del líquido que se encuentren al mismo nivel soportan igual presión. Ello implica que ni la forma de un recipiente ni la cantidad de líquido que contiene influyen en la presión que se ejerce sobre su fondo, tan sólo la altura de líquido. Esto es lo que se conoce como paradoja hidrostática Paradoja hidrostática Po : presión atmosférica 36

En los V.C. con dos líquidos distintos, inmiscibles y de diferente densidad, éstos alcanzan distintos niveles. Paradoja hidrostática P a = P o + h a. γ a P b = P o + h b. γ b P a = P b P o + h a. γ a = P o + h b. γ b h a / h b = γ b / γ a 37

PRINCIPIO DE PASCAL “Un liquido transmite en todas direcciones la presión que se ejerce sobre el” En cambio un sólido transmite Fuerzas. El físico, matemático, filósofo y escritor francés, Blas Pascal ( ) enunció el siguiente principio: 38

Principio de Pascal: Un cambio en la presión aplicada a un fluido es trasmitido sin disminución a cada punto del fluido y a las paredes del recipiente 39

PRENSA HIDRAULICA Las presiones en los 2 émbolos son iguales: P 1 = P 2 F 1 = F 2 A 1 A 2 UTILIDAD: Multiplicar una Fuerza. La ventaja que presentan los líquidos es que al transmitir Presiones, pueden multiplicar las Fuerzas aumentando el área sobre la cuál se ejerce. 40

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PRENSA HIDRAULICA Lo que se gana en fuerza, se pierde en recorrido. Ej: si A 1 = 10 cm 2, A 2 = 1000 cm 2 y el recorrido por el pistón chico es de 50 cm: V=A 1.d 1 =10 cm 2.50 cm=500 cm 3 d 2 =V/A 2 =500 cm3/1000 cm= 0.05 cm 42

Aplicaciones del Principio de Pascal 43

MEDICION DE LA PRESION. MANOMETRIA De la ecuación Se tiene Para medir diferencia de presiones entre dos puntos, se utiliza se usa columnas estáticas de uno mas líquidos o gases. Los instrumentos se este tipo se denominan manómetros y la técnica de medición Manometría. Ec. Manom. 44

Puesto que la rama esta abierta a la atmosfera, las mediciones de h 1 y h 2 permitirán la determinación de la presión manométrica en A 45

i) De la figura, al estar los puntos B y B´ a la misma altura (mismo nivel ), la presión en ambos puntos es la misma. P B = P B´ ii) Aplicando la ecuación de presión en los puntos A y B se obtiene P B = P A +    g h 1 iii) Aplicando nuevamente la ecuación de presión en el punto B P B = P C +    g h 2 iv) Igualando estas dos ecuaciones P A +    g h 1  P C +    g h 2 P A  P C +    g h 2 -    g h 1 v) Puesto que la rama derecha del manómetro esta abierto a la atmosfera P C = P 0 =P atm. P A  P atm +    g h 2 -    g h 1  P Amanom = P A  P atm =    g h 2 -    g h 1 Si    es despreciable comparado con    entonces  P Amanom =    g h 2 46

P atm Vacìo Vacio Manómetro de tubo abierto P=P atm + .  h Manómetro de tubo cerrado P= .  h Barómetro de Fortín P atm = .h Presión P Presión P h h h Referencia Escala MEDICIÓN DE PRESIÓN 47

Medida de la presión. Manómetro Para medir la presión empleamos un dispositivo denominado manómetro. Como A y B están a la misma altura la presión en A y en B debe ser la misma. Por una rama la presión en B es debida al gas encerrado en el recipiente. Por la otra rama la presión en A es debida a la presión atmosférica más la presión debida a la diferencia de alturas del líquido manométrico. P A =P B p=p 0 +  gh 48

Experiencia de Torricelli Para medir la presión atmosférica, Torricelli empleó un tubo largo de 1 m. cerrado por uno de sus extremos, lo llenó de mercurio y le dio la vuelta sobre una vasija de mercurio. El mercurio descendió hasta una altura h=0.76 m al nivel del mar. Dado que el extremo cerrado del tubo se encuentra casi al vacío p=0, y sabiendo la densidad del mercurio es g/cm 3 ó kg/m 3 podemos determinar el valor de la presión atmosférica. P = ρgh = 13550*9.81*0.76 = Pa = 1.01*10 5 Pa Puesto que el experimento se hizo al nivel del mar, decimos que la presión atmosférica normal es de 760 mm de Hg. 49

Experiencia de Torricelli Patm= PHg hHg = 13,6 g/cm3. 76cm = 1.033,6 g/cm2 = N/m2 = Pa 1 atm = 760 mm Hg = 760 Torr 1 Pa = 1 N/m 2, 1 kPa = 1 x 10 3 Pa 50

Nombre Arquímedes de Siracusa (Griego antiguo: Άρχιμήδης) Nacimiento c. 287 a. C. – c. 212 a. C. Escuela/Tradición Euclides de Alejandría Filosofía de la Naturaleza Intereses principales matemáticas, física, ingeniería, astronomía, invención Ideas notables Hidrostática, palancas, infinitesimales Flotación y estabilidad Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado. Corona para Hierón II 51

Principio de Arquímedes Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado Puesto que la porción de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas a la presión se debe anular con el peso de dicha porción de fluido. A esta resultante la denominamos empujefluido se encuentra en equilibrio 52

Si la densidad del objeto es menor que la densidad del líquido: Subida del objeto (acelera para arriba) Si la densidad del objeto es mayor que la densidad del líquido: Bajada del objeto (acelera abajo). Empuje y principio de Arquímedes Objetos totalmente sumergidos. El principio de Arquimedes se puede también aplicar a los globos que flotan en aire (el aire se puede considerar un líquido) 53

Condiciones de flotabilidad de los cuerpos E < P; el cuerpo se hunde hasta el fondo. E > P; el cuerpo sube a la superficie. E = P; el cuerpo flota. La condición de flotabilidad de un cuerpo es que el peso del cuerpo sea igual al empuje: E = P Un trozo de corcho, de peso específico pe = 0,25 g/ cm 3 y volumen V= 50 cm 3, flota en alcohol. ¿ Cuántos cm 3 quedan sumergidos? V s = V t. γ c / γ alc Vs = 50 cm 3.0,25 g/cm 3 0,8 g/ cm 3 V s = 15,625 cm 3 54

Aplicaciones del Principio de Arquímedes 55

Flotación y estabilidad 56

La estabilidad de un cuerpo parcial o totalmente sumergido es vertical y obedece al equilibrio existente entre el peso del cuerpo (w) y la fuerza de flotación (F f ) o empuje. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES Y SUMERGIDOS F F = W = E (en el equilibrio) 57

La estabilidad de un cuerpo parcialmente o totalmente sumergido es de dos tipos: ESTABILIDAD LINEAL: Se pone de manifiesto cuando desplazamos el cuerpo verticalmente hacia arriba. Este desplazamiento provoca una disminución del volumen del fluido desplazado cambiando la magnitud de la fuerza de flotación correspondiente. Como se rompe el equilibrio existente entre la fuerza de flotación y el peso del cuerpo (Ff W), aparece una fuerza restauradora de dirección vertical y sentido hacia abajo que hace que el cuerpo regrese a su posición original, restableciendo así el equilibrio. ESTABILIDAD ROTACIONAL: este tipo de estabilidad se pone de manifiesto cuando el cuerpo sufre un desplazamiento angular. En este caso, el centro de flotación y el centro de gravedad no permanecen sobre la misma línea vertical, por lo que la fuerza de flotación y el peso no son coloniales provocando la aparición de un par de fuerzas restauradoras. El efecto que tiene dicho par de fuerzas sobre la posición del cuerpo determinara el tipo de equilibrio del sistema: 58

Equilibrio estable: cuando el par de fuerzas restauradoras devuelve el cuerpo a su posición original. Esto se produce cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte inferior del mismo, de manera que el centro de gravedad se encuentra por debajo del centro de flotación. 59

Equilibrio inestable: cuando el par de fuerzas tiende a aumentar el desplazamiento angular producido. Esto ocurre cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte superior del cuerpo, de manera que el centro de gravedad se encuentra por encima del centro de flotación. 60

Equilibrio neutro: cuando no aparece ningún par de fuerzas restauradoras a pesar de haberse producido un desplazamiento angular. Podemos encontrar este tipo de equilibrio en cuerpos cuya distribución de masas es homogénea, de manera que el centro de gravedad y el centro de flotación coinciden. 61

ESTABILIDAD DE CUERPOS PRISMÁTICOS Hay ciertos objetos flotantes que se encuentran en equilibrio estable cuando su centro de gravedad está por encima del centro de flotación. Esto entra en contradicción con lo visto anteriormente acerca del equilibrio, sin embargo este fenómeno se produce de manera habitual, por lo que vamos a tratarlo a continuación. 62

Ahora inclinamos el cuerpo un Angulo pequeño en sentido contrario a las agujas del reloj. Como vemos, el volumen sumergido habrá cambiado de forma, por lo que su centroide CF habrá cambiado de posición. Podemos observar también que el eje AA´ sigue estando en dirección vertical y es la línea de acción de la fuerza de flotación. Ahora los ejes AA´y BB´ ya no son paralelos, sino que forman un ángulo entre si igual al ángulo de rotación. El punto donde intersectan ambos ejes se llama METACENTRO (M). La Ff y el W actúan como un par de fuerzas restauradoras El cuerpo se encuentra en equilibrio estable. 63

Si la configuración del cuerpo es tal que la distribución de masas no es homogénea, la ubicación del metacentro puede variar. Por ejemplo, consideremos un cuerpo prismático cuyo centro de gravedad se encuentra sobre el eje vertical del cuerpo BB´ pero descentrado, como lo indica la figura. El metacentro M actúa de eje de rotación alrededor de el cual el cuerpo gira, el par de fuerzas W-Ff actúan como un par de fuerzas restaurador. Haciendo girar el cuerpo en el mismo sentido en el que se realizo la rotación y dándole la vuelta, no alcanza la posición que tenia inicialmente. 64

La distancia entre el metacentro y el centro de flotación se conoce como "altura metacéntrica" y es una medida directa de la estabilidad del cuerpo. Esta distancia se calcula mediante la siguiente expresión: Donde I es el momento de inercia de la sección horizontal del cuerpo flotante y Vd es el volumen de fluido desplazado por el cuerpo 65

Un cuerpo flotante es estable si su centro de gravedad está por debajo del metacentro. La distancia al metacentro a partir del centro de flotación es conocida como MB, y se calcula con la ecuación : Estabilidad de cuerpos flotantes 66

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P atm P atm + ρgh h = ρgh Fuerzas hidrostáticas sobre superficies planas sumergidas 68

69 FUERZA DE UN LÍQUIDO SOBRE UNA PARED Pared horizontal papa Para efectos de fuerzas sobre paredes, las presiones que intervienen son lógicamente las relativas, ya que la presión del entorno queda compensada al actuar por dentro y por fuera. siendo A el área de la pared.

70 Pared plana inclinada El plano y-x es el que contiene a la superficie A (área A), formando un ángulo a con la SLL. y x

71 Centro de presiones C y x siendo I y el momento de inercia de la superficie A, respecto al eje y.

72 Es mejor expresarlo respecto del eje g, paralelo al eje y, y que pase por el centro de gravedad G de la superficie A (I g ): teorema de Steiner El término Si giramos la superficie A alrededor del eje g, la línea de intersección (eje y) con la SLL se aleja a medida que el ángulo a disminuye; es decir, la abscisa x G aumenta y el punto C se iría aproximando a G: cuando a = 0, y es infinito cuando a = 90º. es igual a

73 y x Pared vertical Cuanto más sumergida esté la superficie A, mayor será la altura h G y en consecuencia menor la distancia entre G y C.

74 EJERCICIO Calcúlese la fuerza y el centro de presiones sobre un rectángulo vertical, cuando el lado superior emerge o coincide con la superficie libre del líquido. Resuélvase: a) sin aplicar las fórmulas (a modo de ejercicio teórico); b) aplicando las fórmulas. Solución Sin aplicar las fórmulas

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76 Aplicando las fórmulas

77 Pared curva Componente vertical fuerza de gravedad de la masa de líquido que queda sobre la superficie. A veces es más sencillo utilizar esta característica en superficies planas inclinadas.

78 Componente horizontal La componente horizontal será la fuerza sobre el rectángulo A”B”, proyección de la pared AB sobre un plano vertical. Punto de aplicación

79 Si la pared curva fuese como la AMB:

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82 Fuerza que contrarresta la acción del agua El rozamiento de la presa sobre la base: fuerzas verticales multiplicadas por un coeficiente de fricción, m

83 Posibilidad de vuelco ha de cortar a la base entre A y B, más aún, en el tercio central de la misma y cuanto más centrado mejor. En efecto: R R R R

84 EJERCICIO Estúdiese el deslizamiento y el vuelco de la presa de la figura. Densidad del material: r m = 2400 kg/m 3. Coeficiente de rozamiento: m = 0,4. Coeficiente: k = 0,5. Solución

85 Fuerza de gravedad de la presa

86 Empuje sobre la base

87 Fuerza del agua sobre la presa

88 Fuerza de rozamiento de la presa Al ser F r < F h, la presa deslizaría; habría que poner una cimentación adecuada para que esto no ocurra, o bien aumentar las dimensiones de la presa. FrFr

89 Estudio del vuelco La suma de momentos respecto del punto C, por donde pasa la resultante R, ha de ser nula:

90 Como el punto C ha quedado casi en el centro, por lo que el reparto de esfuerzos sobre la base es bastante uniforme.

91 F

92 F

93 compuerta

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