اختبار الفرضيات اختبارالفرضيات المتعلقة بالوسط 4 اختبار الفرضيات اختبارالفرضيات المتعلقة بالوسط م. فادي محمدأكرم أبو شرخ 1

اختبار الفرضيات hypothesis testing يهدف اختبار الفرضية إحصائيا إلى اتخاذ قرار حول ما إذا كانت الفرضية الصفرية Null Hypothesis مقبولة أم مرفوضة ويتم ذلك باستخدام دالة اختبار إحصائية مناسبة. عدم رفض الفرضية الصفرية لا يعني بالضرورة أنها صحيحة وإنما لا يوجد أدلة كافية من بيانات العينة لرفضها، كما أن رفضها لا يعني بالضرورة أنها خاطئة بل يعني أن الإحصائي المحسوب من العينة كان بعيدا عن المعلمة المناظرة له في المجتمع لدرجة أن احتمال أن تكون قيمته متطرفة بهذا البعد عندما تكون الفرضية الصفرية صحيحة أمر نادر الحدوث مما يدفعنا إلى رفض هذه الفرضية الصفرية. 2

اختبار الفرضيات Hypothesis Testing يهدف اختبار الفرضية إحصائيا إلى اتخاذ قرار حول ما إذا كانت الفرضية الصفرية Null Hypothesis مقبولة أم مرفوضة ويتم ذلك باستخدام دالة اختبار إحصائية مناسبة. يوجد نوعان من الفرضيات يستخدمان في اختبار الفرضيات وهما الفرضية الصفرية أو العدمية (Null Hypothesis) ويرمز لها: H0: (المتهم برئ) والفرضية البديلة (alternative Hypothesis ) ويرمز لها: H1: (المتهم مذنب) إدانة المتهم تعني رفض (H0) أي أن هناك دليل كافي على أن المتهم مذنب، أما عدم رفض الفرضية (H0) فيعني انه لا يوجد دليل كافي لإدانة المتهم. وهنا نلاحظ أننا لم نقل بأننا قبلنا الفرضية الصفرية لان هذا يعني أن النتائج أثبتت أن المتهم برئ. 3

بناء على ما سبق تكون الفرضيات كالتالي: الفرضية الصفرية Null Hypothesis (H0): تتضمن القيمة المفترضة لمعلمة المجتمع. يجب أن تتضمن إشارة التساوي (=). الاختبار يجري للفرضية الصفرية مباشرة. نتيجة الاختبار هي رفض الفرضية الصفرية أو عدم القدرة على رفضها. الفرضية البديلة alternative Hypothesis (H1): يرمز لها (H1 or Ha) وهي النقيض المنطقي للفرضية الصفرية ويكون لها ثلاث حالات : H1:≠ H1: < H1: > 4

ومفهوم مستوى المعنوية (the level of significance): مرتبط بمفهوم الخطأ من النوع الأول والخطأ من النوع الثاني كما يلي: 1- الخطأ من النوع الأول (a type I error) : يحدث عند رفض الفرضية الصفرية وهي في الحقيقة صحيحة (إدانة الشخص وهو بريء). 2- الخطأ من النوع الثاني (a type II error): يحدث عند قبول الفرضية الصفرية وهي في الحقيقة خاطئة (تبرئة المتهم وهو في الحقيقة مذنب) . الجدول التالي يوضح النوعين من الخطأ 5

ويرمز للخطأ من النوع الأول (الفا α): وتمثل القيمة القصوى لاحتمال ارتكاب هذا الخطأ وهي نفسها التي يشار إليها بمستوى الدلالة الإحصائية (the level of significance) وتعني كلمة (الدلالة) أن الفرق بين القيمة النظرية لمعلمة المجتمع والقيمة المحسوبة للإحصائي المناظر من العينة فرق حقيقي وكبير بحيث لا يعزى لأخطاء المعاينة العشوائية. القرار الفرضية الصفرية صحيحة الفرضية الصفرية خاطئة القرار رفض خطأ من النوع الأول (significance level probability = α) القرار صائب (power of test probability = 1- β) القرار قبول (power of test probability = 1-α) خطأ من النوع الثاني (power of test probability = β) 6

أما الخطأ من النوع الثاني فيرمز له بالرمز (بيتا β): وقيمة مستوى الدلالة يحددها الباحث ولكن الشائع في الدراسات الاجتماعية أن تأخذ القيم (0.01، 0.05) ويعني مستوى الدلالة (α= 0.05) انه إذا تكررت التجربة لعدد كبير جدا من المرات فمن المحتمل أن نرفض الفرضية الصفرية وهي في الواقع صحيحة خمس مرات من كل 100 مرة أي أن احتمال الوقوع في خطأ استنتاجنا هذا هو 5% وان استنتاجنا يكون سليما بثقة 95%. أما الخطأ من النوع الثاني فيرمز له بالرمز (بيتا β): وهي عبارة عن القيمة القصوى لاحتمال ارتكابه. وهذا الاحتمال لا يحدده الباحث بل يتم حسابه ويعتمد على خمسة عوامل وهي: القيمة الحقيقية لمعلمة المجتمع. قيمة (α) المختارة نوع الاختبار (ذات ذيلين أو ذيل واحد). الانحراف المعياري للعينة. حجم العينة. 7

والعلاقة بين النوعين من الخطأ (α، β) علاقة عكسية مع الأخذ بعين الاعتبار ما يلي: لأي قيمة معينة محددة لألفا (α) فان زيادة حجم العينة يؤدي إلى نقصان الخطأ من النوع الثاني (β). عند ثبات حجم العينة عند مستوى معين فان تخفيض قيمة (α) يؤدي إلى زيادة قيمة (β) والعكس صحيح. تخفيض كلا النوعين من الخطأ يمكن أن يتم من خلال زيادة حجم العينة. بالإضافة إلى تطبيق إجراءات سليمة للمعاينة واستخدام طرق صحيحة ودقيقة لجمع البيانات لان ذلك يقلل من أخطاء البيانات والأخطاء العشوائية. 8

قوة الاختبار Power Of The Test: قوة الاختبار هي عبارة عن قدرة الاختبار على رفض الفرضية الصفرية عندما تكون في الحقيقة خاطئة وتساوي: power of test = (1 – β) والخطأ من النوع الأول (إدانة المتهم وهو برئ) أكثر خطورة من الخطأ من النوع الثاني (تبرئة المذنب) . وبناءً على ما سبق بيانه من المصطلحات المستخدمة في اختبار الفرضيات يمكننا الآن حصر خطوات اختبار الفرضيات كما يلي: 9

خطوات اختبار الفرضيات: يتم اختبار الفرضية الصفرية بإتباع عدة خطوات كما يلي: 1- تحديد الفرضية الصفرية والبديلة. 2- اختيار الاختبار الإحصائي الملائم (appropriate statistical test): ويوجد العديد من الاختبارات الإحصائية ولكن اختيار الاختبار المناسب يتم بناء على عدة معايير بحسب طبيعة البحث من هذه المعايير مثلاً: طبيعة سحب العينة (عشوائي أو غير عشوائي) طبيعة المجتمع (يتبع التوزيع الطبيعي أو لا) نوع القياس (اسمي، رتبي، فتري، نسبي) 3- تحديد مستوى الدلالة الإحصائية المناسب بحسب مدى المخاطرة النسبية للخطأين (الأول والثاني) بالنسبة للباحث. 10

4- حساب قيمة دالة الاختبار الإحصائي لاختبار الفرضية الصفرية بعد جمع البيانات من عينة الدراسة . وبافتراض أن هذه الفرضية صحيحة يحدد احتمال الحصول على فرق بين القيمة المشاهدة للمعلمة من خلال العينة والقيمة المفروضة لها من خلال الفرضية الصفرية، ويتم حساب هذا الاحتمال من خلال خصائص توزيع المعاينة النظري لدالة الاختبار الإحصائية المستخدمة. تحديد القيم الحرجة (critical test value): والتي بناء عليها يتم تحديد منطقة الرفض (region of rejection) ومنطقة القبول (region of acceptance) للفرضية الصفرية . 11

تابع 5- اتخاذ القرار: من خلال مقارنة القيمة المحسوبة (calculated value) من دالة الاختبار الإحصائي مع القيمة الجدولية أو الحرجة (critical value) عند مستوى الدلالة المحدد مسبقا. فإذا كانت القيمة المحسوبة اكبر من القيمة الجدولية يتم رفض الفرضية الصفرية أما إذا كانت اقل فيتم قبولها كما سبقت الإشارة إليه. مع الأخذ بعين الاعتبار هل الاختبار من طرف واحد أو من طرفين بحسب الفرضية البديلة (H1).

Two-tailed test: اختبار ذات الذيلين أو الطرفين منطقة الرفض rejection region أو المنطقة الحرجة critical region: هي تلك المنطقة الذي إذا وقعت فيها قيمة دالة الاختبار الإحصائي فانه يتم رفض الفرضية الصفرية. القيم الحرجة Critical Value: يتم تحديدها بناء على قيمة (α) وعلى نوع توزيع المعاينة لدالة الاختبار (the sampling distribution) وهي التي تحدد كلاً من منطقة رفض الفرضية الصفرية ومنطقة قبولها. كما سبقت الإشارة إليه فان الفرضية البديلة لها ثلاث حالات (≠ ، <، >). وبحسب هذه الحالات هناك ثلاث أنواع اختبارات وهي: Two-tailed test: اختبار ذات الذيلين أو الطرفين Right (upper) -tailed test: اختبار ذات الذيل الأعلى أو الأيمن Left (lower) -tailed test: اختبار ذات الذيل الأسفل أو الأيسر 13

والأشكال التالية توضح كيفية تحديد هذه الاختبارات: 14

15

16

17

تفسير قيمة p-value يمكن تفسير قيمة (p-value or sig-value) كما يلي: إذا كانت قيمة (p-value < 0.01) فان هناك دليل كاسح على صحة الفرضية البديلة وخطأ الفرضية الصفرية وهنا يقال أن النتيجة معنوية بدرجة مرتفعة ( highly significance). إذا كانت قيمة ( 0.01 < p-value < 0.05) فان هناك دليل قوي على صحة الفرضية البديلة وخطأ الفرضية الصفرية وهنا يقال أن النتيجة معنوية (significance). إذا كانت قيمة ( 0.05 < p-value < 0.10) فان هناك دليل ضعيف على صحة الفرضية البديلة وخطأ الفرضية الصفرية وهنا يقال أن النتيجة غير معنوية (insignificance). إذا كانت قيمة (p-value > 0.10) فانه لا يوجد دليل على صحة الفرضية البديلة وخطأ الفرضية الصفرية. 18

19

اختبار الفرضيات لوسط مجتمع طبيعي تباينه معلوم الفرضية إحصاء الاختبار الفترة الحرجة حسب مستوى الدلالة (0.05) و من ثم مقارنتها باحصاء الاختبار Z

مثال a a a H0: μ = 3 H1: μ ≠ 3 H0: μ ≤ 3 H1: μ > 3 a Level of significance = Represents critical value a a H0: μ = 3 H1: μ ≠ 3 /2 /2 Rejection region is shaded Two-tail test H0: μ ≤ 3 H1: μ > 3 a Upper-tail test H0: μ ≥ 3 H1: μ < 3 a Lower-tail test

مثال 1 تخضع أوزان عبوات أحد مساحيق الغسيل لتوزيع طبيعي انحرافه المعياري = 7 على مستوى دلالة 0.05 اختبر الفرضية مقابل الفرضية البديلة اذا كان الوسط الحسابي لعينة حجمها 12 علبة هو 56

مثال 2 تتبع أوزان الأطفال حديثي الولادة لتوزيع طبيعي = 2.9 كجم و انحراف معياري 0.6 ، يرى الأطباء ان المولودين لأمهات مصابات بمرض السكري تكون أوزانهم أعلى من المعدل العام. أكتب الفرضية الصفرية و البديلة و اختبر ادعاء الاطباء على مستوى دلالة 0.05 اذا اعطت عينة عشوائية حجمها 9 مواليد لامهات مصابات بالسكري وسطا حسابيا 3.4 كجم

اختبار الفرضيات لوسط مجتمع غير طبيعي تباينه معلوم و حجم العينة كبير الفرضية إحصاء الاختبار الفترة الحرجة حسب مستوى الدلالة (0.05) و من ثم مقارنتها باحصاء الاختبار Z

مثال 3 على مستوى 0.05 اختبر الفرضية مقابل الفرضية البديلة اذا كان الوسط الحسابي لعينة حجمها 42 هو 11.5 و الانحراف المعياري 3.3

مثال 4 تخضع اعداد حبات التفاح على جرة التفاح في بستان كبير لتوزيع وسطه 150 حبة و انحرافه المعياري 13 ، بدأ مالك البستان باستعمال سماد جديد و اراد اختبار زيادة الانتاج فأخذ 64 شجرة فوجد أن الوسط الحسابي لأعداد الحبات في العينة 154 هل تشير هذه البيانات الى الزيادة في الانتاج على مستوى دلالة 0.05

Example: A phone industry manager thinks that customer monthly cell phone bills have increased, and now average over $52 per month. The company wishes to test this claim. (Assume  = 10 is known) Form hypothesis test: H0: μ ≤ 52 the average is not over $52 per month H1: μ > 52 the average is greater than $52 per month (i.e., sufficient evidence exists to support the manager’s claim)

Suppose that  = 0.10 is chosen for this test Find the rejection region: (continued) Reject H0  = 0.10 Do not reject H0 Reject H0 1.28 Reject H0 if Z > 1.28

Standardized Normal Distribution Table (Portion) .07 .09 1.1 .8790 .8810 .8830 1.2 .8980 .9015 1.3 .9147 .9162 .9177 z 1.28 .08 Standardized Normal Distribution Table (Portion) What is Z given a = 0.10? a = 0.10 Critical Value = 1.28 0.90 .8997 0.10

Obtain sample and compute the test statistic (continued) Obtain sample and compute the test statistic Suppose a sample is taken with the following results: n = 64, X = 53.1 ( =10 was assumed known) Then the test statistic is:

Example: Decision Reach a decision and interpret the result:  = 0.10 (continued) Reach a decision and interpret the result: Reject H0  = 0.10 Do not reject H0 Reject H0 1.28 Z = 0.88 Do not reject H0 since Z = 0.88 ≤ 1.28 i.e.: there is not sufficient evidence that the mean bill is over $52

اختبار الفرضيات لوسط مجتمع طبيعي تباينه غير معلوم و العينة صغيرة اختبار الفرضيات لوسط مجتمع طبيعي تباينه غير معلوم و العينة صغيرة الفرضية إحصاء الاختبار الفترة الحرجة حسب مستوى الدلالة (0.05) و من ثم مقارنتها باحصاء الاختبار T

مثال 1 اظهرت سجلات احدى المدارس الخاصة ان معدل تحصيل الطلبة في امتحان TOEFL = 410 ، فبدأت المدرسة بإعطاء دورات تقوية ، اختبر فرضية أن هذا المعدل قد تحسن إذا أعطت نتائج 14طالب وسطاً حسابياً = 418 و انحرافا معياريا = 21 اعتبر أن نتائج طلبة المداس تخضع لتوزيع طبيعي و خذ مستوى الدلالة 0.05

مثال 2

اختبار الفرضيات المتعلقة بالنسبة الفرضية إحصاء الاختبار الفترة الحرجة حسب مستوى الدلالة (0.05) و من ثم مقارنتها باحصاء الاختبار Z

مثال 3 اظهرت سجلات مديرية الأمن العام في احدى المحافظات ان نسبة مستعملي حزام الأمان في السيارات = 0.8 درست عينة عشوائية حجمها 100 سائق بعد صدور قانون الزامي بذلك فوجد 85 منهم يستعملون الحزام ، اختبر على مستوى دلالة 5% ما اذا كان التشريع زاد نسبة المستخدمين لحزام الأمان

مثال 4

اختبار الفرضيات للفرق بين وسطين من مجتمع طبيعي أو من مجتمع غير طبيعي و n > 30 الفرضية إحصاء الاختبار الفترة الحرجة حسب مستوى الدلالة (0.05) و من ثم مقارنتها باحصاء الاختبار Z

مثال 1 أخذت عينة حجمها 60 خيطاً من مصنع للخيوط الحريرية أ فوجد معدل قوة هذه الخيوط 12.4 بانحراف معياري مقداره 3.6 و أخذت عينة أخرى من الخيوط البلاستيكية ب فوجد معدل قوة هذه الخيوط 15.2 بانحراف معياري مقداره 4.5 اختبر ان: على مستوى دلالة 0.01

اختبار الفرضيات للفرق بين وسطين من مجتمع طبيعي والعينة صغيرة و التباين غيرمعلوم الفرضية إحصاء الاختبار الفترة الحرجة حسب مستوى الدلالة (0.05) مثلا و من ثم مقارنتها باحصاء الاختبار T

مثال 2 أخذت عينة عشوائية حجمها 9 من اوزان الأطفال الذكور حديثي الولادة في احد المستشفيات فأعطت وسط = 3.2 و انحراف معياري = 1.3 وأخذت عينة أخرى حجمها 15 من اوزان الاطفال الاناث حديثات الولادة فأعطت وسط = 2.8 و انحراف معياري = 1.2 ، تخضع الاوزان للتوزيع الطبيعي اختبر: على مستوى دلالة 0.05

اختبار الفرضيات للازواج المتقابلة (مجتمعين غير مستقلين) الفرضية إحصاء الاختبار الفترة الحرجة حسب مستوى الدلالة (0.05) مثلا و من ثم مقارنتها باحصاء الاختبار T

مثال 2 يبين الجدول التالي النبض لعدد من الطلبة قبل الركض مائة متر x و بعد الركض y هل تظهر هذه البيانات أن النبض يزيد بعد الركض على مستوى دلالة 0.01