2- المحــــــددات Determination 2-1 المحددات الثنائية: Determinants of second order عندما تكتب الكميات الأربع a1 , b1 , a2 , b2 على الصورة التالية: فإنه يقصد بذلك المقدار الجبري a1b2 -a2b1 وتكتب هذه النتيجة على الصورة التالية:

مثال (2-1) : إوجد قيمة المحددة: الحـــــــــل

2-2 المحددات الثلاثية (ذات الرتبة الثالثة): Determinants of third order على غرار ما سبق شرحه بالنسبة للمحددات الثنائية فإنه إذا وضعت الكميات التسع على الصورة: فإنه يقصد بذلك المقدار أي المقدار الجبري

ويلاحظ أنه يمكن فك المحددة باستخدام عناصر أو مكونات أي صف أو أي عمود مع مراعاة القاعدة التالية للإشارات:

مثال (2-3): إوجد مفكوك المحددة الثلاثية التالية: الحــــــــل يمكن فك هذه المحددة باستعمال أي صف أو أي عمود كما يأتى: باستعمال الصــــف الأول:

2-3 المحددات الصغرى (مرافق العنصر): بملاحظة مفكوك أي محددة ثلاثية نجد أنها تحتوى على محددات أخرى من المرتبة الثانية ويطلق على هذه المحددات بالمحددات الصغرى للمحددة الأصلية. فإذا كانت المحددة الأصلية هي: فان المحددة الصغرى الناتجة عن حذف العمود الأول والصف الأول (أى العمود والصف اللذان يلتقيان عند العنصر a1) تسمى المحددة الصغرى المناظرة للعنصر a1 ويرمز لها بالرمز A1 أي أن: وبالمثل فالمحددة الصغرى للعنصر b2 والتي يرمز لها بالرمز B2 هي:

باستخدام العمـود الأول: باستخدام العمود الثاني: والمحددة الصغرى للعنصر c3 والتي يرمز لها بالرمز C3 هي: وهكذا....... وباستخدام المحددات الصغرى يمكن كتابة مفكوك المحددة (D) بإحدى الصور الآتية: باستخدام الصـف الأول: باستخدام الصف الثاني: باستخدام الصف الثالث: باستخدام العمـود الأول: باستخدام العمود الثاني: باستخدام العمود الثالث:

ثالثاً: تنعدم المحددة إذا تتطابق صفين أو عمودين فيها. 2-4 الخواص الأساسية للمحددات. أولاً: إذا بدلت الصفوف بالأعمدة في أي محددة فإن قيمة المحددة لا تتغير. ثانياً: إذا أستبدل صف مكان صف أو عمود مكان عمود فإن إشارة هذه المحددة تتغير ولا تتغير قيمتها. ثالثاً: تنعدم المحددة إذا تتطابق صفين أو عمودين فيها. رابعاً: إذا ضربت عناصر أي صف أو عمود في مقدار ثابت (معامل ما) فإن هذا يعنى أن قيمة المحددة قد ضربت في نفس المقدار أو نفس المعامل . خامساً: إذا كانت عناصر أي صف أو عمود تتكون من المجموع الجبري لحدود عددها n فإن المحددة تساوى مجموع n من المحددات كل محددة منها تحتوى على حد واحد فقط. سادساً: قيمة المحددة لا تتغير إذا أضيفت إلى عناصر أى صف أو عمود مضاعفات العناصر المناظرة للصفوف أو الأعمدة الأخرى

أولاً: إذا بدلت الصفوف بالأعمدة في أي محددة فإن قيمة المحددة لا تتغير. ثانياً: إذا أستبدل صف مكان صف أو عمود مكان عمود فإن إشارة هذه المحددة تتغير ولا تتغير قيمتها:

ثالثاً: تنعدم المحددة إذا تتطابق صفين أو عمودين فيها: فلو فرضنا أن قيمة المحددة تساوى (D) باستخدام الخاصية السابقة واستبدال الصفين المتساويين (أو العمودين المتساويين) بعضهما ببعض فإن إشارة المحددة تتغير ولا تتغير قيمتها.

رابعاً: إذا ضربت عناصر أي صف أو عمود في مقدار ثابت (معامل ما) فإن هذا يعنى أن قيمة المحددة قد ضربت في نفس المقدار أو نفس المعامل كما يلي: خامساً: إذا كانت عناصر أي صف أو عمود تتكون من المجموع الجبري لحدود عددها n فإن المحددة تساوى مجموع n من المحددات كل محددة منها تحتوى على حد واحد فقط. بمعنى:

سادساً: قيمة المحددة لا تتغير إذا أضيفت إلى عناصر أى صف أو عمود مضاعفات العناصر المناظرة للصفوف أو الأعمدة الأخرى، فمثلاً:

مثال (2-6): ضع المحددة الآتية فى أبسط صورها ثم إوجد قيمتها: الحـــــل نضرب الصف الأول في 6 والصف الثاني في 4 ثم يتم ضرب العمود الأول في 4 وإضافته على العمود الثاني وأخيراً طرح العمود الأول من العمود الثالث فنجد أن:

2-5 استخدام المحددات في حل المعادلات أ- حل معادلتين خطيتين في مجهولين أ- حل معادلتين خطيتين في مجهولين نعلم أنه لحل المعادلتين نقوم بحذف y من المعادلتين للحصول على قيمة x ثم تحذف x بينهما للحصول على y ، ويكون حل المعادلتين هو: هذا بشرط أن محدد المقام لا يساوي صفر، أي أن المقدار الجبري وهذا الحل العام يمكن كتابته أيضاً على الصورة:

مثال (2-7): إوجد باستخدام المحددات حل المعادلتين: الحـــــل المطلوب نحصل عليه من العلاقتين:

ب- حل ثلاث معادلات خطية في ثلاث مجاهيل: ب- حل ثلاث معادلات خطية في ثلاث مجاهيل: نفرض أن لدينا المعادلات الآتية: فإذا رمزنا لمحددة المعادلات بالرمز D وهى الناتجة عن كتابة معاملات x,y,z في المعادلات الثلاث على صورة محددة فتكون A1 , A2 , A3 هي المحددات الصغرى لعناصر العمود الأول فى المحددة D. وبضرب المعادلة الأولى في A1 والثانية فى -A2 والثالثة فى A3 والجمع ينتج أن:

ومن السهل إثبات أن معاملي y , z عبارة عن محددات تساوى الصفر وأن معامل x هو المحددة D. ومن السهل ملاحظة أن المحددة الأخيرة هى نفس المحددة D بعد استبدال معاملات x فى المعدلات الثلاثة بمقادير الطرف الأيمن وهى d1,d2,d3 ويمكن أن نرمز لهذه المحددة بالرمز Dx وبذلك يكون: وبالمثل فإن:

مثال (2-8): إوجد الحل المشترك للمعادلات الآتية: الحـــــل نحسب محددة المعاملات D كالآتى: اى أن محددة المعاملات لا تساوى صفراً وبذلك يكون للمعاملات الثلاثة حل مشترك.

-6 تطبيقات على المحددات مساحة المثلث بمعلومية إحداثيات رؤوسه: نفرض أن (x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) هى إحداثيات رؤوس المثلث ABC على الترتيب، والمطلوب إيجاد مساحته. نفرض أن AB يصنع زاوية مع محور x وبذلك يكون AC يصنع زاوية مع المحور x كما هو مبين بالشكل. y x B (x2 , y2) C (x3 , y3) A (x1 , y1) a b C

y x B (x2 , y2) C (x3 , y3) A (x1 , y1) a b C

ويمكن باستعمال المحددات وضع هذه المعادلة التي تمثل مساحة المثلث على الصورة: ومن الملاحظ أنه إذا رتبت رؤوس المثلث في اتجاه مضاد لدوران عقرب الساعة فإن القانون السابق يعطى قيمة موجبة للمساحة. وإذا بدلنا أي رأسين من رؤوس المثلث بعضها ببعض وليكـــن C , B مثلاً فإن إشارة المساحة تتغير وذلك لتغير إشارة المحددة الناتجة وتكون الرؤوس في هذه الحالة مرتبة في اتجاه دوران عقربي الساعة ويعطى القانون السابق قيمة سالبة للمساحة.

نتيجة (1): مساحة المثلث الذي رؤوسه نقطة الأصل (0 , 0) و النقطتان (x1 , y1) , ,(x2 , y2) , , تساوى القيمة العددية للمقدار ½ (x1y2 - x2y1) . نتيجة (2): إذا كانت مساحة المثلث تساوى صفراً فهذا يدل على أن النقط الثلاث A, B , C تقع على استقامة واحدة أي تكون خط مستقيم ويكون الشرط الضروري لكى تقع النقط الثلاث (x1,y1) , ,(x2,y2) , ,(x3,y3) ,على استقامة واحدة هو: ملاحظة: يمكن حساب مساحة المثلث بالطريقة الآتية:

مثال (2-9): إوجد المساحة بالفدان لقطعة أرض على شكل مثلث إذا قيست إحداثيات رؤوسه عند محوري طريقين متعامدين بالأمتار فكانت: (40 , 20) , (120 , 30) , (0 , 160). الحـــــل

3- المصفـوفات Matrices تعتبر المصفوفات لغة رياضية قوية وموجزة. فالعلاقات التي تحتاج عادة إلى عدد كبير من الرموز والأرقام يمكن التعبير عنها بإيجاز ووضوح باستخدام المصفوفات. والمصفوفة عبارة عن مجموعة من الكميات التي عددها mn مرتبة في تشكيل يحتوى على m من الصفوف وn من الأعمدة. وتختلف المصفوفة عن المحددة في شكلها بأن يوضع تشكيل المصفوفة عادة بين قوسين مربعين (أو مستديرين) ويعبر عن المصفوفة بحرف واحد كبير A , B , C وأحياناً بالرمز  فمثلاً

3-1 العمليات الجبرية للمصفوفات: Matrices Algebra 3-1-1 جمع و طرح المصفوفات: Matrices addition and subtraction يمكن إجراء عمليات الجمع والطرح للمصفوفات التي لها نفس الرتبة أي لها نفس العدد من الصفوف ونفس العدد من الأعمدة. فإذا كانت A , B مصفوفتان من نفس الرتبة فإن مجموع هاتين المصفوفتين يعرف بأنه يساوى المصفوفة C التي لها نفس الرتبة وكل عنصر من عناصرها يساوى مجموع العنصرين المتناظرين في A , B. مثال (3-1): إذا كانت:

وكل مصفوفتان لهما نفس الرتبة قابلتان للجمع والطرح ويعرف طرح المصفوفتين بنفس الطريقة، فمثلاً في المثال السابق: ومن التعريف يمكن إثبات أن مجموع المصفوفات له الخصائص التالية:

وإذا كانت المصفوفة B هي حاصل جمع عدد m من المصفوفات A فإن B = mA وكل عنصر من عناصر المصفوفة B يساوى m مضروبة في العنصر المقابل في المصفوفة A.كما فى المثال التالى: ومن هذا المثال يتضح الآتي: 1- تتساوى المصفوفتان A , B إذا تساوت رتبتاهما وتكون جميع عناصر كل منهما المتناظرة متساوية. 2- حاصل ضرب مصفوفة A في عدد m حقيقي أو تخيلي (مقدار قياسي أو مقدار ثابت) هو مصفوفة B عناصرها عبارة عن حاصل ضرب كل عنصر من عناصر A فى m.

فمثلا إذا كان:- وجدير بالملاحظة أن ضرب المصفوفة في عدد يخضع لقانون التوزيع وقانون التبادل في علم الجبر ويكون: m (A ± B) = mA ± mB وكذلك: mA = Am بشرط أن تكون m عدد وليست مصفوفة أخرى مثلاً. وهذا ما يسمى بالضرب في قياسي Scalar Multiplication

3-1-2 ضرب المصفوفات: إذا كانت هناك مصفوفتان A, B فإنهما تكونان قابلتين للضرب إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة اليسرى A مساوياً لعدد الصفوف في المصفوفة اليمنى B . فعلى سبيل المثال، المصفوفتين A , B رتبتاهما (3 x 2) , (2 x2) على الترتيب وتتكون من: حاصل الضرب C = AB هو مصفوفة رتبتها (3 x 2) تعرف كالآتي:

مثال (3-3): إوجد حاصل ضرب المصفوفتين: الحـــــل

مثال (3-4): إذا أخذنا: فإن المصفوفة A قابلة للضرب فى المصفوفة B ويعطى حاصل الضرب C = AB من: ومن جهة أخرى فإن المصفوفة B قابلة للضرب فى المصفوفة A ويعطى حاصل الضرب D = BA من:

ومن هذا يتضح أن AB BA أي أن قانون التبادل لا يصلح للمصفوفات حتى لو كانت رتبة مصفوفة حاصل ضرب AB تساوى رتبة مصفوفة حاصل ضرب BA.

ويحقق الأثر الخواص الآتية: 3-2 أثر المصفوفة: Trace of a Matrix إذا وجدت مصفوفة مربعة A(nxn) فإن أثر هذه المصفوفة يعرف بأنه مجموع العناصر القطرية في المصفوفة المربعة، فمثلاً: ويحقق الأثر الخواص الآتية:

3-3 بعض المصفوفات الخاصة: 3-3-1 مصفوفة الصف: Row Matrix المصفوفة التي لها صف واحد يطلق عليها مصفوفة ذات الصف الواحد وتسمى في بعض الأحيان بالمتجه الصفي Row Vector ويرمز لهذه المصفوفة بالرمز (A) ورتبتها (1 x n) فمثال ذلك: 3-3-2 مصفوفة العمود: Column Matrix المصفوفة التي لها العمود الواحد يطلق عليها مصفوفة ذات العمود الواحد وتسمى في بعض الأحيان بالمتجه العمودي Column Vector ويرمز لهذه المصفوفة بالرمز [A] ورتبتها (m x 1) فمثال ذلك:

3-3-3 المصفوفة المربعة: Squared Matrix وهى مصفوفة فيها عدد الصفوف يساوى عدد الأعمدة مثل المصفوفة التالية: 3-3-4 المصفوفة القطرية: Diagonal Matrix هي المصفوفة المربعة التي فيها كل العناصر تساوى صفر ما عدا عناصر القطر الأساسي وهو (المار بأعلى عنصر من اليسار إلى أسفل عنصر من اليمين (a11 , a22 , a33 , .......amn) مثل المصفوفة التالية:

حيث k عدد صحيح موجب ويمكن إثبات ذلك بسهولة. 3-3-5 المصفوفة القياسية ومصفوفة الوحدة: Scalar and Unit Matrix المصفوفة القطرية التي يكون مجموع عناصر قطرها الرئيسي متساوية تسمى المصفوفة القياسية Scalar matrix وإذا كانت عناصر القطر الرئيسي في المصفوفة القياسية تساوى الواحد الصحيح تسمى هذه المصفوفة بمصفوفة الوحدة Unit matrix ويرمز لها بالرمز In حيث (n x n) هى رتبة المصفوفة، فمثلاً: وبوجه عام إذا كانت A مصفوفة مربعة رتبتها I (m x m) هي مصفوفة الوحدة بنفس الرتبة فإن: حيث k عدد صحيح موجب ويمكن إثبات ذلك بسهولة.

فبضرب أي مصفوفة A في مصفوفة الوحدة تبقى المصفوفة A كما هي بدون تغيير بفرض قابلية ضرب المصفوفتين حسب قانون ضرب المصفوفات السابق، فمثلاً: كذلك إذا كانت:

حيث A-1 هو مقلوب أو معكوس المصفوفة كما سيعرف فيما بعد. 3-3-6 محدد المصفوفة: Determinant of the Matrix لكل مصفوفة مربعة محددة خاصة بها ويرمز لها بالرمز فمثلاً إذا كانت: وتسمى المصفوفة المربعة التى محددتها تساوى صفراً بالمصفوفة الشاذة. ويحقق محدد المصفوفة الخواص التالية: إذا كان A , B مصفوفتان مربعتان وقابلتان للضرب فإن: 1) 2) 3) حيث A-1 هو مقلوب أو معكوس المصفوفة كما سيعرف فيما بعد.

4) حيث c مقدار ثابت، cA هو المصفوفة الناتجة من ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة A في المقدار الثابت c كما يلي:

3-3-7 مدور المصفوفة أو المصفوفة البديلة: The transposed matrix إذا استبدلت الصفوف بالأعمدة فى مصفوفة A (m x n) فإن المصفوفة الجديدة تسمى مدور المصفوفة أو المصفوفة البديلة ويرمز لها بالرمز A (n x m) أو AT أو /A ، فإذا كانت مصفوفة رتبتها (3 x 2) تكون كالآتي: وتكون المصفوفة البديلة لهذه المصفوفة ويرمز لها بالرمز AT كالتالي:

ومن الواضح أن المصفوفة البديلة لمصفوفة العمود [A] هي مصفوفة الصف (A)

ويتضح بوجه عام أنه إذا كانت A مصفوفة رتبتها (m x n) فإن رتبة المصفوفة AT هى (n x m) لذلك تقبل كل منهما الضرب مع الأخرى .وتختلف رتبة حاصل الضرب A AT عن رتبة حاصل الضرب AT A إلا إذا كانت A مصفوفة مربعة. ويمكن إثبات أن المصفوفة البديلة لها الخصائص الآتية: هكذا لأى عدد محدد من المصفوفات. فعلى سبيل المثال إذا كانت:

3-3-8 المصفوفة المتماثلة وشبه المتماثلة: Symmetric and Skew Symmetric Matrix إذا كانت A مصفوفة مربعة وتحقق الشرط A = AT فإنها تسمى متماثلة Symmetric آي أن المصفوفة الأصلية تساوى مدور المصفوفة، فمثلاً: مصفوفة متماثلة ونلاحظ أن العناصر التي تقع أعلى القطر دائماً تساوى العناصر التي تقع أسفل القطر في المصفوفة المتماثلة.

وتكون المصفوفة A شبه متماثلة إذا كانت A = -AT أي أن المصفوفة تساوى المصفوفة البديلة بعد ضربها في (-1)، وفى هذه الحالة يمكن بسهولة إثبات أن العناصر القطرية فى المصفوفة شبه المتماثلة تساوى صفر. فالعناصر القطرية aii لكي تحقق شرط أنها شبه متماثلة فإن aii = -aii وهذا لا يتحقق إلا إذا كانت aii = 0 وفيما يلي مثال لمصفوفة شبه متماثلة:

3-3-9 المصفوفة المرتبطة: The Adjoint Matrix إذا كانت A مصفوفة مربعة: فإن المصفوفة المرتبطة للمصفوفة A هي المصفوفة البديلة لمصفوفة العوامل المرافقة للمصفوفة A ويرمز لها بالرمز adj. A فإذا كان Arc هو العامل المرافق للعنصر arc (أي قيمة المحددة المكونة بحذف كل من الصف والعمود الذي يحتوى على العنصر arc مع أخذ الإشارة المناسبة حسب قاعدة الإشارات السابق شرحها في باب المحددات، أو بعبارة أخرى المحددة الصغرى للعنصر arc مع أخذ الإشارة المناسبة) فإن مصفوفة العوامل المرافقة B بنفس رتبة A ، وتكون:

مثال (3-5): إذا كانت: إوجد المصفوفة المرتبطة. الحـــــل العامل المرافق للعنصر a11 هو المحددة: والعامل المرافق للعنصر a12 هو المحددة: و هكذا....

وبذلك نحصل على مصفوفة العوامل المرافقة B ونجد أن:

3-3-10 مقلوب المصفوفة: The inverse matrix كون المصفوفة قابلة للقلب إذا كان محددها لا يساوى صفراً، ويقال لمصفوفة مربعة A أنها قابلة للقلب إذا وجدت مصفوفة C تحقق الخاصية AC=CA=I حيث I هي مصفوفة الوحدة التي لها نفس رتبة كل من A,C وتسمى المصفوفة C مقلوب A ويرمز لها بالرمز A-1 وهذه العلاقة متماثلة. أي أنه إذا كانت C مقلوب A فإن A مقلوب C أي أن A. A-1= A-1.A=I. يتكون مقلوب المصفوفة من المرافق التقليدي لها من العلاقة ويمكن إثبات هذه العلاقة بعد إيجاد حاصل ضرب A. (Adj. A) حيث ينتج أن:

مثال (3-6): إوجد قيمة A-1 إذا كانت: الحـــــل حسب المثال السابق فإن:

3-4 تجزئة المصفوفات: Partitioning of Matrices فمثلاً المصفوفة التالية: يمكن تجزئتها على النحو التالي: أيضاً يمكن كتابتها فى الصورة:

فبالنسبة لعملية الجمع: إذا كان A , B مصفوفتان لهما نفس عدد الأعمدة وعدد الصفوف كذلك المصفوفات المناظرة لها نفس عدد الصفوف وعدد الأعمدة أي أن A,B مقسمتين بنفس الكيفية فإنه يمكن إجراء عملية الجمع كالمعتاد وذلك بجمع العناصر المتناظرة في كل من المصفوفات الجزئية المتناظرة، أى أن:

وفى عملية التدوير (transpose) فإننا يجب أن نأخذ في الاعتبار تبادل الصفوف والأعمدة في المصفوفة A وتبادل الصفوف والأعمدة في المصفوفات الجزئية أيضاً، فمثلاً في المعادلة (1): ويكون مقلوب المصفوفة كالتالي:

أما بالنسبة لعملية الضرب Multiplication بالنسبة لمصفوفتين فإننا يجب أن نأخذ في الاعتبار قابلية الضرب للمصفوفة A في المصفوفة B (أي أن أعمدة A يساوى عدد صفوف B) وكذلك قابلية أو انسجام عمليات الضرب للمصفوفات المجزئة أيضاً، أي أنه إذا كان أعمدة المصفوفات الجزئية في A هي على الترتيب c1 , c2 ,......, cn فيجب أن يكون عدد صفوف المصفوفات الجزئية المناظرة فى B هو c1 , c2 ,......, cn أيضاً، فمثلاً: فإن عدد أعمدة A11 يساوى عدد صفوف B11، عدد أعمدة A12 يساوى عدد صفوف B21 في هذه الحالة يجوز إجراء عملية الضرب و يكون الناتج في الصورة:

مثال (3-7): إذا كان: فيكون حاصل الضرب هو:

وبحساب كل من C11 , C12 , C21 , C22 ينتج حاصل الضرب وهو المصفوفة C. وبنفس الكيفية يمكن حساب باقي المصفوفات الجزئية، ويكون الناتج فى الصورة:

مثال (3-8): إوجد حاصل الضرب التالي:

3-5 حل المعادلات باستخدام المصفوفات: إذا كان لدينا مجموعة عددها (n) من المعادلات الآتية في عدد من المجاهيل يساوى (n) وهو نفس عدد المعادلات أيضاً. أى أن: حيث المعاملات ain ,bi كميات ثابتة: فإنه يمكن كتابة المعادلات السابقة على صورة مصفوفات كالآتي:

وهو حل المعادلة المصفوفية: A . [x] = [b] فإذا كانت A0 أي أن مصفوفة المعاملات A غير شاذة فإنه يضرب الطرفين فى A-1 يكون ونظراً لأن A-1 . A = I فإن: وهو حل المعادلة المصفوفية: A . [x] = [b]

مثال (3-10): حل المعادلات الآتية: الحـــــل تكتب المعادلات على الصورة: A . [x] = [b] ولحساب محدد المصفوفة نجد أن:

أى أن مصفوفة المعاملات لا تساوى الصفر أي أنها غير شاذة. باستخدام الحل:

4- الدوال والنهايات Functions & Limits 4-1 المتباينات ( اللامتساويات ) Inequalities نفرض a , b عددان حقيقيان فالرمز a < b وبصورة عكسية أي b > a يعنى أن a أقل من b وللتعامل مع اللامتساويات يلزم معرفة أربع قواعد عامة: 1) if a < b and b < c , then a < c 2) if a < b , then a + c < b + c and a - c < b - c 3) يمكن جمع المتباينات ذات الاتجاه الواحد أي أن : if a < B and c < d , then a + c < b + d ويلاحظ أن المتباينات قد لا يجوز طرحها في جميع الحالات فمثلا 2 < 5 , 1 < 7 وبالجمع ينتج أن 3 < 12 وهذه متباينة صحيحة .. أما بالطرح نحصل على 1 < -2 وهذا مرفوض لعدم صحته. 4) if a < b , then ac < bc , if c positive number if a < b , then ac > bc , if c negative number وينطبق نفس الكلام في حالة القسمة على العدد d لأن ذلك يعنى الضرب في ( 1/d )

-1-1 التمثيل الهندسي للمتباينة Geometric Representation 2 1 0 -1 -2 شكل (4-1) وعلى هذا فالمتباينة a < b تعنى أن a تقع على يسار b 4-1-2 الفـتــرة Interval b( )a شكل (4-2) يشير شكل (4-2) إلى ما يسمى بالفترة المفتوحة Open Interval، أي أن الفترة المفتوحة تتكون من جميع الأعـداد فيما بين a , b وبذلك إذا وقع العدد x بين a , b فإن ذلك يعنى أن a < x وكذلك x < b والصورة المختصرة للتعبير عن ذلك هي : a < x < b.

]b a[ شكل (4-3) وتتكون الفترة المغلقة Closed Interval كما في الشكل (4-3) لذلك فالعدد x الذي يقع في هذه الفترة إما أن يكون أكبر من أو يساوى a وتكتب x  a أو أنه أقل من أو يساوى b وتكتب x  b ومن هذا يمكن التعبير عن الفترة المغلقة من a إلى b بأنها تتكون من جميع النقط x بحيث تكون : a  x  b

ويقال للفترة التي تحوى الطرف b ولا تحوى الطرف a أنها نصف مفتوحة من اليسار half-open on the left أي أن a < x  b وبالمثل تسمى الفترة التي تحوى a ولا تحوى b فترة نصف مفتوحة من اليمين half-open on the right وتكتب a  x < b وتسمى الأقواس التالية للتعبير عن نوع الفترات كما يلي: (a , b) open interval ; a < x < b [a , b] closed interval ; a  x  b (a , b] interval half-open on the left ; a < x  b [a , b) interval half-open on the right ; a  x < b

ويمكن استخدام الفترات لتمثيل بعض الحالات الغير عادية فمثلا لو أننا نرغب في التعبير عن جميع الأعداد التي تزيد عن 7 لذلك نعتبرها فترة ممتدة إلى مالا نهاية وبالطبع فإن مالا نهاية ليست عددا ولكننا نستعمل الرمز ( 7 ,  ) للدلالة على جميع النقط أو الأعداد التي أكبر من 7 ويمكن القول بأن الأعداد المطلوبة تتكون من x بحيث 7 < x <  وبالمثل فإن الرمز ( -  , 12 ) يعنى جميع الأعداد التي تقل عن 12 كما أن المتباينة المزدوجة -  < x < 12 هي طريقة أخري لتمثيل جميع الأعداد x الأقل من 12

معادلة الدرجة الأولى: 2x + 7 = 15 لها حل واحد هو x = 4 -1-3 حـل المتباينة : من المعروف أن لمعادلات الدرجة الأولى حل واحد فقط وكذلك يوجد حلين لمعادلات الدرجة الثانية فمثلا: معادلة الدرجة الأولى: 2x + 7 = 15 لها حل واحد هو x = 4 ومعادلة الدرجة الثانية: x2 - x -2 = 0 لها حلان هما x = 2 , x = -1 في حين أن المعادلة المثلثية: sin x = ½ لها عدد لانهائي من الحلول هي x = 30o , 150o , 390o , 510o , ......

مثال (4-1): حل المتباينة: 3x -7 < 8 الحـــل أضف 7 إلى كلا من طرفي المتباينة فينتج: 3x - 7 + 7 < 8 + 7 or 3x < 15 وبقسمة الطرفين على 3 ينتج أن: x < 5 وهذا يعنى أن فئة الحل تتكون من جميع الأعداد في الفترة (- , 5) مثال (4-2): حل المتباينة: -7 - 3x < 5x + 29 بطرح 5x من الطرفين نجد أن: -7 - 8x < 29 بضرب الطرفين في (-1) وعكس اتجاه المتباينة ينتج أن:7 + 8x > -29 بطرح 7 من الطرفين تؤول المتباينة إلى: 8x > -36 بقسمة الطرفين على 8 نحصل على الحل: x > -9/2 ويمكن التعبير عن الحل على صورة فترة : جميع قيم x في الفترة ( -9/2 , )

مثال (4-3): أوجد قيم x من المتباينة: 3/x < 5 إذا كان ( x  0 ) الحـــل بالنظر للمتباينة يتضح أن الحل يحتاج إلى الضرب في x للطرفين ولكن نظرا لأننا لا نعرف ما إذا كانت x موجبة أو سالبة لذا يجب أن نعتبر كل حالة على حدة : أولا : نفرض أن x > 0 أي أن x موجبة وبالتالي فإن الضرب في x يحفظ اتجاه المتباينة فنجد أن: 3 < 5x وبالقسمة على 5 ينتج أن: x > 3/5 وهذا يعنى أننا يجب أن نبحث عن جميع الأعداد التي تحقق كلتا المتباينتين: x > 0 , x > 3/5. ومن الواضح أن أي عدد أكبر من 3/5 يكون موجبا وعلى ذلك يتكون الحل في هذه الصورة من جميع قيم x في الفترة ( 3/5 ,  )

ثانيا : نفرض أن x < 0 أي أنها سالبة فالبضرب في x يعكس اتجاه المتباينة فنجد أن : 3 > 5x or 3/5 > x نبحث الآن عن قيم x التي تحقق كلتا المتباينتين x < 0 , x < 3/5 فيكون الحل فى هذه الحالة هو جميع قيم x فى الفترة (-  , 0) ولتجميع النتيجة فى الحالتين نقول بأن فئة الحل تتكون من جميع الأعداد x التي لا تقع في الفترة المغلقة [ 0 , 3/5 ] شكل (4-4) 3/5 ) (- 0 شكل (4-4)

مثال (4-4): أوجد قيم x من المتباينة: الحـــــل كما حدث في المثال السابق يجب أن نفرق هنا بين الحالتين حسب ما إذا كان (x + 2) موجب أو سالب. الحالة الأولى : x + 2 > 0 بالضرب في 3( x + 2 ) ينتج أن: 6x - 9 < x + 2 بإضافة ( 9 - x ) إلى كلا من الطرفين نجد أن: 5x < 11 or x < 11/5 وحيث أننا فرضنا أن: x + 2 > 0 فإن x يجب أن تكون أكبر من (-2) وأقل من 11/5 أي أن: -2 < x < 11/5 أي أن: فئة الحل تتكون من جميع قيم x في الفترة ( -2 , 11/5 )

الحالة الثانية : x + 2 < 0 6x - 9 > x + 2 ومنها نحصل على: 5x > 11 or x > 11/5 وفى هذه الحالة تكون x أقل من -2 وأكبر من 11/5 وهذا محال وبالجمع بين الحالتين نحصل على فئة الحل التي تتكون من جميع الأعــــداد في الفترة ( -2 , 11/5 ) كما في شكل (4-5) 11/5( 0 )-2 شكل (4-5)

وتخضع القيمة المطلقة للخواص التالية : -2 القيمة المطلقة Absolute Value تعرف القيمة المطلقة لعدد موجب a بأنها العدد الموجب نفسه أما إذا كان العدد a سالب فإن قيمته المطلقة تعرف بأنها العدد الموجب لـ -a والقيمة المطلقة للصفر تساوى صفرا ويستعمل الرمز a للدلالة على القيمة المطلقة للعدد a ، فمثلا : 7 = 7 , -13 = 13 , 2-5 = -3 = 3 وتخضع القيمة المطلقة للخواص التالية : أولاً :القيمة المطلقة لمجموع جبري من الأعداد لا يزيد عن مجموع القيم المطلقة لهذه الأعداد أى أن a + b  a + b

فمثلا إذا كان a = -3 , b = -7 ، فإن: (-3) + (-7) = -10 = 10 (-3) + (-7) = -10 = 10 ويكون أيضا -7 = 3 +7 = 10 + -3 أي أن (-3) + (-7) = -3 +  -7 أما إذا كان العددين مختلفي الإشارة تكون القيمة المطلقة لمجموع العددين كالتالي (+3) + (-7) = -4 = 4 في حين أن مجموع القيمتين لهذين العددين هي: -7 = 3 +7 = 10 + +3 (+3) + (-7) < +3 + -7

ثانيا :القيمة المطلقة للفرق بين عددين تكون أكبر من أو تساوى الفرق بين القيمتين المطلقتين لهذين العددين ، أي أن: ثالثا :القيمة المطلقة لحاصل الضرب تساوى حاصل ضرب القيمة المطلقة ، أى أن: a . b  = a .  b  رابعا :القيمة المطلقة لخارج قسمة تساوى خارج قسمة القيمة المطلقة للمقسوم على القيمة المطلقة للمقسوم عليه، أي أن: خامسا :القيمة المطلقة لقوة ذات أس صحيح موجب تساوى نفس القيمة المطلقة للأساس، أى أن: والخاصية الثالثة والرابعة والخامسة تأتى مباشرة من تعريف القيمة المطلقة

مثال (4-5): أوجد قيمة x من x-7 = 3 الحـــــل تبعا لتعريف القيمة المطلقة فإن المعادلة تعنى أن: x - 7 = 3 or -3 لأنه في كلتا الحالتين تكون القيمة المطلقة تساوى 3 فإذا كان x -7 = 3 فإن x = 10 أما إذا كان x - 7 = -3 فإن x = 4 لذلك توجد قيمتين للمجهول x تحققان المعادلة المعطاة، أي أن: x = 4 , x = 10

بحل كلا من هاتين المعادلتين نحصل مثال (4-6): حل المعادلة: 2x-6 = 4 - 5x الحـــل هناك احتمالين وهما: 2x - 6 = 4 - 5x and 2x - 6 = - (4 - 5x) بحل كلا من هاتين المعادلتين نحصل على الحلين: x = 10/7 , x= -2/3

ملاحظة : إذا كانت x هي رقم ما يحقق المتباينة x< 4 فإن ذلك يعنى أن يكون x أي عدد في الفترة الممتدة من -4 إلى +4 وإذا استعملنا رمز الفترة لأن هذا الشرط يعنى أن x يجب أن تقع في الفترة (-4 , 4) وإذا استعملنا المتباينات فإن العلاقة: -4 < x < 4 وبدون استعمال القيمة المطلقة تكون مكافئة للمتباينة x< 4 وبالمثل فإن x - 3< 5 تعنى أن: x - 3 تعنى أن تقع في الفترة ( -5 , 5 ) ويمكن أيضا كتابتها على الصـــورة: -5 < x - 3 < 5 أي أن قيمة x يجب أن تحقق كلتا المتباينتين في العلاقة الأخيرة . وبإضافة 3 إلى كلا من أطراف المتباينة المزدوجة الأخيرة نحصــل على -2 < x < 8 وهذا يعنى أن x يجب أن يقع في الفترة (-2 , 8 ) كما في شكل (4-6 ) )8 0 -2( شكل (4-6 )

مثال (4-7): أوجد قيم x إذا كان: 2 - 5x < 3 الحـــل )1 0 -1/5( شكل (4-7)

4-3 الكميات الثابتة والكميات المتغيرة Constant and Variables -3-1 كميات ثابتة وهى الكمية التي لا تتغير قيمتها أثناء أي عملية رياضية تدخل فيها هذه الكمية ..... وهناك نوعين من الكميات الثابتة : 1- كمية ثابتة عددية مثل 1 , 2 , 3 , 1/2 , 3/4 , 12 ...... 2- كمية ثابتة جبرية ويرمز لها عادة بالحروف الأولى الهجائيــة مثل: a , b , c , d , .... وتسمى الكميات التي تحتفظ بقيمتها في جميع الأحوال بالثوابت المطلقة Absolute Constants فمثلا عجلة الجاذبية ثابت مطلق والنسبة بين محيط دائرة وقطرها ثابت مطلق أيضا ويرمز له بالرمز  وتساوى 22/7 أو 3.14159 تقريبا. 4-3-2 الكميات المتغيرة وهى الكميات التي تأخذ أي قيمة تشاء أي أنها لا تكون ثابتة فمثلا تتغير مساحة الدائرة بتغير نصف القطر وتتغير المسافة التي يقطعها جسم متحرك بتغير الزمن. وهكذا فإن هذه الكميات الطبيعية مثل المساحة ، نصف القطر ، المسافة ، الزمن كميات متغيرة ويرمز لها عادة بحروف هجائية.

4-4 الدالة Function تعريف: إذا كانت كل قيمة لمتغير ما x تناظرها قيمة معينة لمتغير آخر y فإننا نقول أن y دالة في x وتكتب عادة y = f (x) , y =  (x) ويسمى x متغير مستقل Independent Variable بينما يسمى y بالمتغير التابع Dependent Variable لأن أي تغير في قيمة x ينتج عنه تغير في قيمة y وتتوقف هذه التسمية على وضع الدالة ، لأنه إذا كان المتغير y دالة في للمتغير x فإن المتغير x يمكن أن يكون أيضا دالة للمتغير y أي أنه: إذا كـــــانت y = f ( (x ) فإنه ينتج عن ذلك أيضا أن: x = f (y) وفى الحالة الأولى تكون x المتغير المستقل ، y المتغير التابع . بينما في الحالة الثانية تكون y المتغير المستقل ، x المتغير التابع. وفى هاتين الصورتين إذا اعتبرنا أن الصورة الأولى دالة أصلية فإن الصورة الثانية دالة عكسية.

الدالة والدالة العكسية لها : y = x2 y = sin x y = log x الدالة العكسية x =  x = sin –1y x = ey

4-4-1 أنواع الدوال Types of Functions (1) الدوال الجبرية والدوال الغير جبرية الدوال الجبرية الدالة الغير جبرية (المسترسلة) y = sin x , y = log10 x

(2) الدوال الزوجية والدوال الفردية فالدالة الزوجية هي التي لا تتغير قيمتها في المقدار أو في الإشارة إذا وضعنا (-x) بدلا من x أي أنه يكون f (-x) = f (x) أما الدالة الفردية فهي التي تتغير قيمتها في الإشارة فقط إذا وضعنا (-x) بدلا من x أى أن : f (-x) = f (x) فمثلا : y = x2 +5 بوضع (-x) بدلا من x ينتج أن: y = ( -x)2 + 5 = x2 +5 أي أن: y = f (-x) = f (x)  فهي دالة زوجية Even function أما إذا كانت الدالة كهذا : y = 2x3 - 4x بوضع (-x) بدلا من x ينتج أن: y = 2 (-x)3 - 4 (-x) 2x3 + 4x = - (2x3 - 4x) = -y أي أن: (f (-x) = - f (x وبذلك تكون الدالة فردية add function ويكون منحنى الدال متماثلا إلى نقطة الأصل

وعلى هذا الأساس تكون : دالة زوجية cos -x = cos x دالة فردية sin -x = - sin x دالة فردية tan -x = - tan x ويفيد التعرف على نوع الدالة في التعرف على شكل المنحنى الممثل للدالة من حيث التماثل حول المحاور الرئيسية ونقطة الأصل. فمن تعريف الدالة الزوجية نستنتج أن المنحنى الذي يمثلها متماثلا بالنسبة لمحور الصادات (y) ومنحنى الدالة الفردية يكون متماثلا بالنسبة لنقطة الأصل.

(3) الدوال فردية القيمة والدوال متعددة القيمة : أ- الدالة فردية القيمة هي التي تأخذ فيها y قيمة واحدة إذا أعطينا للمتغير x قيمة واحدة. فالدالة : y = x2 - 3 دالة فردية القيمة لأنه إذا أخذت x القيمة (1) فإن y تأخذ القيمة (-2) وإذا أخذت x القيمة (3) فإن y تأخذ قيمة واحدة هي (6) ب- الدالة متعددة القيمة هي الدالة التي تأخذ فيها y أكثر من قيمة إذا أعطيت x قيمة واحدة فقط. فالدالة : y = x فإنه إذا أخذت x القيمة (4) مثلا فإن y تأخذ قيمتين 2 أي قيمتين متساويتين في المقدار ومختلفتين في الإشارة فهذه الدالة تعتبر متعددة القيم مادامت تأخذ أكثر من قيمة لكل قيمة من قيم المتغير المستقل. ومن الدوال المتعددة القيم أيضا الدالة : y = sin-1 x فإذا أخذت (x) القيمة 1/2 فإن: y تساوى 30o أو 30o + 360o ، 30o + 720o ، 30o +1080o وهكذا فإن y يمكن أن تأخذ عدد لانهائي من القيم ... فالدالة إذا هي دالة متعددة القيم.

(4) الدوال الصريحة والدوال الضمنية أ- الدالة الصريحة هي الدالة التي تكون فيها العلاقة بين المتغير المستقل والمتغير التابع على الصورة الصريحة: y = f (x) أي أننا عبرنا عن y صراحة بدلالة x وتسمى الدالة y في هذه الحالة دالة صريحة Explicit Function لمتغيرها المستقل x. ب ـ الدالة الضمنية هي الدالة التي تكون فيها العلاقة التي تربط x , y على الصــــورة f (x , y) = 0 قيل أن y دالة ضمنية Implicit Function فمــــــثلا: xy2 - sin y = 3 دالة ضمنية. ويمكن في بعض الأحوال تحويل الصورة الضمنية إلى الصورة الصحيحة فإذا كان: x2 - 3xy + 4x - 2y = 1 فإن: ولا يمكن دائما تحويل الصورة الضمنية إلى الصورة الصريحة بسهولة في حين أنه يمكن تحويل الصورة الصريحة إلى الصورة الضمنية فمثلا: y = 3x2 -5 يمكن أن تكتب على الصورة الضمنية هكذا: y - 3x2 + 5 = 0 أو y - 3x2 = -5

(6) الدوال المعرفة والدوال الغير معرفة بجميع قيم x (5) الدوال العكسية والدوال المباشرة إذا كانت y = f (x) فإن أي قيمة تأخذها y تتبعها قيمة معينة للمتغير x وبالعكس إذا أخذت y قيمة ما تتعين قيمة x أو قيم y المناظرة من العلاقة التي تربطها. أي أنه إذا كانت y دالة فإنه يمكن اعتبار x دالة في y وتسمى الدالة الأولى بالدالة المباشرة والدالة الثانية بالدالة العكسية .....فمثلا الدالة التالية: y = 3 + 1/x دالة مباشرة، بينما x = 1/y - 3 دالة عكسية. (6) الدوال المعرفة والدوال الغير معرفة بجميع قيم x أ- الدوال المعرفة لجميع قيم x : هي الدالة التي يمكن إيجاد قيمتها إذا أخذ المتغير x أي قيمة تشاء مثل الدوال التالية: فكلما أخذت x قيمة فنحصل على قيمة لـ y وهى قيمة محدودة أي لا تساوى مالا نهاية.

ب ـ الدوال الغير معرفة لمجموع قيم x الدوال التالية: دوال غير معرفة لجميع قيم x فالدالة الأولى دالة معرفة عندما x = 0 أو x تساوى أي كمية موجبة فقط. أما إذا أخذت x أي كمية سالبة فهذه الدالة غير معرفة. أما الدالة الثانية معرفة فقط إذا كانت x كمية موجبة وإذا أخذت أى كمية سالبة أو صفر فإنها تكون غير معرفة ...... فمثلا لا يوجد لوغاريتم -1/2 أو-3/4 لأن الكميات السالبة تعتبر كميات تخيلية ولوغاريتم صفر -. أما الدالة الثالثة دالة معرفة لجميع قيم x ماعدا x=3 , x=1 فعند هاتين القيمتين تكون الدالة غير معرفة.

الكميات التالية كميات غير معينة: (7) الكميات الغير معينة الكميات التالية كميات غير معينة: فإذا فرض أننا نريد الحصول على قيمة ما عندما x = 1 من المعادلة التالية  الدالة: هي دالة غير معينة عندما x = 1

ولكن إذا لاحظنا قبل عملية التعويض أنه يوجد عامل مشترك بين البسط والمقام ولا نستطيع أن نقول أن f(x) = 2 عندما x = 1 لأن الأصل في إيجاد قيمة الدالة عند أخذ x كمية معينة هو التعويض في الطرفين ولذلك نقول على الحل بعد إجراء عمليات التحليل بأنها نهاية الدالة وليس قيمة الدالة وتكتب على الصورة:

وإذا نظرنا إلى المعادلة مثل هذه الدالة لإيجاد نهايتها limit لابد من معرفة طرق أخري لإيجاد مثل هذه القيم لأنه لا يوجد عامل مشترك بين البسط والمقام وهذا يتطلب دراسة سريعة لعلم النهايات.

-5 نهاية الدالة The limit of function نفرض أن y = f (x) هي دالة معرفة في فترة ما حول النقطة x=a يقال للدالة f (x ) أنها تقترب من النهاية A عندما يقترب x من a إذا تحقق الآتي: لكل عدد موجب مهما صغر “” يمكن إيجاد عدد موجب مناظر “” يعتمد على “” بحيث أنه لجميع قيم x التي تحقق المتباينة يكون ويكتب هذا التعريف إلى الصورة التالية : والشكل (4-8) يوضح هذه النهاية على منحنى الدالة y = f (x) كما يلي :

حيث أن المتباينة يترتب عليها المتباينة فمعنى هذا أن كل النقط x التي لا تبعد عن النقط a بأكثر من “” تقابلها نقط M على منحنى الدالة تقع جميعها في الشريط الأفقي الذي عرضه “2”ويحدده المستقيمان y = A +  , y = A -  ملاحظة : ليس من الضروري أن تكون الدالة معرفة عند النقط a حتى تتواجد نهايتها عندما xa ذلك لأننا عندما نبحث عن النهاية تعتبر قيم الدالة عند النقط التي تقع في جوار a والتي تختلف عنها والمثال التالي يوضح ذلك

مثال (4-9): اثبت أن: الحـــــل فى هذا المثال نجد أن الدالة: غير معرفة عند x = 2 لأنها لا تساوى (0/0) والمطلوب إثباته الآن أنه لأي قيمة اختيارية صغيرة  توجد  صغيرة بحيث تحقق المتباينة إذا تحقق ويكون عندما x 2 فإن المتباينة الأولى تساوى المتباينة . وهكذا لأي عدد  اختياري تتحقق المتباينة الأولى إذا تحقق المتباينة الأخيرة مع العلم بأن  =  كمية متناهية في الصغر وهذا يعنى أن الدالة المعطاة تكون لها النهاية 4 عندما x2. لذلك فعندما نقول أن دالة f (x) تقترب من النهاية A عندما xa

-5-1 النظريات الأساسية للنهايات Basic Theorems of limits فمعنى هذه العبارة أنه إذا كانت x تأخذ قيم قريبة جدا منa فنستطيع أن نجعل الفرق بين قيمتي f (x) والعدد ِA صغيرا صغرا كافيا أي أن f (x) = A +  حيث  يدل على كمية متناهية الصغر .... تؤول إلى الصفر كلما اقتربت x من a قربا كافيا. ولإيجاد نهايات الدوال المختلفة سنذكر بعض النظريات الهامة في علم النهايات وبدون برهان حيث أنه قد سبق للطالب دراستها. -5-1 النظريات الأساسية للنهايات Basic Theorems of limits أولا : نهاية المجموع الجبري لعدد محدود من الدوال تساوى نفس المجموع الجبري لنهايات هذه الدوال. مثال (4-10):

ثانيا : نهاية حاصل ضرب أي عدد محدود من الدوال يساوى حاصل ضرب نهايات هذه الدوال . مثال (4-11): إذا كان: الحـــــل نعرف أولا الدالة f(x) على أنها حاصل ضرب دالتين g (x) , f (x) فيكون وبحساب نهاية المجموع f (x) + h (x) نجد أن:

ثُالثا : نهاية خارج قسمة دالتين تساوى نهاية البسط مقسوما على نهاية المقام بشرط أن تكون نهاية المقام لا تساوى صفرا. مثال (4-12):

مثال (4-13): أوجد قيمة: الحـــــل نلاحظ أن الدالة غير معرفة عند x = 2 فلا يصلح التعويض المباشر وإذا رمزنا للكمية التي تحت الجذر بالرمز f ( ) فنجد أنه عندما x  2 أن: إذا الدالة g (x) معرفة لجميع قيم x كما نلاحظ أن f (x) = g (x) باستثناء عند x = 2 وعلى هذا تكون النهاية المطلوبة هي:

-5-2 إيجاد قيم بعض النهايات المشهورة أولا نهاية الدالة: أي أن نهاية جيب الزاوية مقسوما على نفس الزاوية عندما تؤول الزاوية إلى الصفر تساوى واحد صحيح ...... وبرهان هذا القانون يكون هندسيا كما بلى: فلإيجاد هذه النهاية ترسم دائرة نصف قطرها الوحدة كما في الشكل وترمز الزاوية المركزية A O M بالرمز x حيث 0 < x < /2 ومن الرسم يتضح أن المستقيم AN أقل من القوس AM وهذا بدوره أقل من المستقيم AC أي أن <AC A C M N < AN وبالقسمة على OA ينتج أن:

وبقسمة جميع الحدود على sin x : فإن الدالة تقع بين كميتين لهما نفس النهاية (الوحدة ) وعلى ذلك يكون:

نتيجة : حيث أن x مقاسه بالتقدير الدائري فإن: مثال (4-14): ( لأنه عندما x 0 فإن 8x  0 أيضا )

مثال (4-15)

ثانيا ـ النهاية : هذه النهاية صحيحة لجميع قيم n الجذرية الموجبة والسالبة . ولإثبات هذه النهاية نفرض أن y = x - a فعندما xa فإن y 0 وبالتعويض في المعادلة الأصلية ينتج أن : وتبعا لنظرية ذات الحدين نجد أن : وبالتعويض في العلاقة السابقة ينتج أن : فإذا اقتربت x من a تؤول y إلى الصفر فنحصل على:

مثال (4-16): مثال (4-17):

ثالثا ـ النهاية : حيث e = 2.7182818 القيمة التقريبية كأساس للوغاريتمات الطبيعية وكذلك فإن النهاية وباستخدام نظرية ذات الحدين فأن مفكوك المقدار له نهاية عندما n تقترب من مالا نهاية. وهذه النهاية تقع بين 3 , 2.5 ويرمز له بالرمز e لذلك فإن الدالة تقترب من النهاية e عندما تقترب x من مالا نهاية . وإذا كتبنا u = 1/x فإنه عندما x   نجد أن u 0 ويمكن كتابة النهاية السابقة على الصورة التالية :

مثال (4-18): مثال (4-19):

6- حساب التفاضل Differential Calculus 6-1 المشتقة الأولى للدالة إذا كانت y = f (x) هي دالة معرفة خلال فترة معينة: فإذا أخذنا قيمتين اختياريتين للمتغير المستقل x في منطقة تعريف الدالة مثل النقطة A على محور السينات ويرمز لها بالرمز x والنقطة B ويرمز لها بالرمز x + x حيث x هي الكمية التي تغير بها المتغير المستقل x في انتقاله من القيمة الأولى إلى القيمة الثانية ويطلق عليه اسم الزيادة في المتغير المستقل. 0 A B x

والقيمتين: x , x + x للمتغير المستقل تناظرهما قيمتين محددتان للدالة هما: y , y + y فإذا كانت القيمة الابتدائية للدالة هي: y = f (x) فإن قيمتها المتغيرة تكون: y + y = f (x + x) وبالطرح نحصل على الزيادة في الدالة y نتيجة للزيادة x في x  y = f (x + x) – f (x) ولإيجاد متوسط معدل التغير الحادث في الدالة في الفترة (y) بالنسبة إلىx في الفترة (x , (x + x)) توجد النسبة حيث أنها مقياس لسرعة تغير الدالة في هذه الفترة فنجد أن:

وحيث أن y تعتمد على x فإن النسبة تعتمد أيضاً على x وبذلك عندما تؤول x إلى الصفر فإن y تؤول إلى الصفر أيضاً وتقترب من نهاية محددة عندما تؤول x إلى الصفر ويرمز لهذه النهاية بالرمزx) )َ f أو )َ y) أو أو أو Dy أو Df :

مثال (6-1): أوجد المشتقة الأولى للدالة عندما x > 0 الحـــــل ويمكن كتابتها على الصورة:

ملحوظة: لاحظ أن الرمز ليس معناه خارج قسمة مقدارين .. إنما يقصد به الدلالة على المشتقة ، أي نهاية النسبة ككل لذلك يجب اعتباره وحدة واحدة وليس كسراً يمكن فصل بسطه عن مقامه.

يكون الجسم قد انتقل مسافة قدرها: -1-1 السرعة : The velocity نفرض أن أي جسم يتحرك يخضع في حركته إلى العلاقة: s = f (t) حيث أن "s "هي المسافة ، "t "هي الزمن وهما الكميتان الأساسيتان الممكن قياسهما والمطلوب إيجاد سرعة الجسم في لحظة ما "t "فمن العلاقة السابقة نجد أنه في الزمن "t"يحتل الجسم الموضع "s "بحيث : s = f(t) وفي الزمن t + t يكون الجسم في الموضع : s + s = f (t + t) وعلى هذا ففي الفترة من t إلى يكون الجسم قد انتقل مسافة قدرها: s = f (t + t) – f (t)

وتكون السرعة اللحظية عند الزمن t هي نهاية السرعة المتوسطة عندما ونعرف أن السرعة المتوسطةAverage velocity هي معدل تغير المسافة بالنسبة للزمن وتكون السرعة اللحظية عند الزمن t هي نهاية السرعة المتوسطة عندما ، أي أن: ومن تعريف المشتقة ينتج أن :

مثــــــال (6-2) : أوجد سرعة جسم سقط تحت تأثير الجاذبية الأرضية الحــــــل حيث أن الجسم الساقط تحت تأثير الجاذبية الأرضية يخضع للعلاقة التالية : حيث أن s : المسافة ، t : الزمن ، : g عجلة الجاذبية الأرضية . والسرعة هي معدل تغير المسافة بالنسبة للزمن

-1-2 المعنى الهندسي للمشتقة الأولى : The Geometric meaning of the Derivative إذا كانت الدالة f(x) دالة متصلة في مدى معين ورسمنا منحنى هذه الدالة y = f(x) بيانياً، ثم أخذنا على كل منحنى نقطتين متجاورتين P(x,y) , Q(x +∆x, y+∆y) فإذا رسمنا القاطع PQفإن زاوية ميل هذا القاطع مع الاتجاه الموجب لمحور السينات هي الزاوية (( التي ظلها: y=f (x) (x+x, y+y) x y p Q y x x+y (x,y)

أي أن ميل القاطع: وإذا اقتربت من الصفر فإن النقطة Q تقترب على المنحنى من النقطة P ويدور القاطع حول النقطة P ويصبح مماساً للنقطة P عندما تؤول للصفر وتتغير بالتالي الزاوية  لتصل إلى نهاية معينة P عندما ، وبذلك يمكن القول أنه عندما ينطبق القاطع PQ على المماس للمنحنى عند النقطة P الذي ميله tan ومن هذا يكون: أي أن قيمة المشتقة عند قيمة معينة x تساوى ميل المماس منحنى الدالة f (x) عند النقطة (x , y).

مثـــــال (6-3) : أوجد ميل المماس للمنحنى 3+ y = x2 عند النقطة (1,4) P الحــــــل ميل المماس tan  = 2x  ميل المماس عند النقطة P (1,4) هو: tan = f,(1)= 2 x 1=2

6-2 القوانين الأساسية للتفاضل: The fundamental laws of differentiation أولاً : مشتقة الدالة الثابتة تساوى صفراً عند أي نقطة x (تفاضل أي مقدار ثابت يساوي صفر) فإذا كانت y = c حيث c مقدار ثابت ، فهذا يعنى ثبوت y مهما زادت x أي أنه للزيادة x في x تكون الزيادة y مساوية الصفر، ومنها: وهذا يعنى أن الدالة y = c تعبر عن مستقيم يوازي محور x وميله يساوى صفر

ثانياً:. مشتقة الدالة y = x n ثانياً: مشتقة الدالة y = x n حيث n عدد حقيقي موجب أو سالب جذري أو غير جذري. ويمكن إثبات ذلك باستخدام الخطوات الأربع السابق شرحها لإيجاد المشتقة الأولى.

ثالثاً: مشتقة حاصل ضرب ثابت ودالة y = c. f(x) حيث c مقدار ثابت أي أن المعامل الثابت يمكن سحبه خارج علامة التفاضل ويمكن إثبات هذه القاعدة باستخدام الخطوات الأربع السابق شرحها لإيجاد المشتقة الأولى بالمبادئ الأولية. رابعاً: مشتقة مجموع عدد محدود من الدوال تساوى المجموع المناظر لمشتقات الدوال. فإذا كانت: y = u(x) + v(x) + w(x) حيث أن جميع الدوال قابلة للتفاضل في فترة معينة للمتغير (x)عند القيمة( ) يكون:

مثال (6-4) : أوجد مشتقة الدالة: 9 + 5x +y = 12 x3 - 6x2 الحــــل مثال (6-5) : أوجد مشتقة الدالة: الحـــــل

خامساً: مشتقة حاصل ضرب دالتين: الدالة الأولى مضروبة في مشتقة الثانية + الدالة الثانية مضروبة في مشتقة الأولى. أي أن : لإثبات ذلك نتبع خطوات إيجاد المشتقة الأولى من المبادئ الأولية كما يلي: نفرض أن:

والحد الأخير في الطرف الأيمن عبارة عن حيث أن v , u لا تعتمد على وتكون u= f(x) دالة قابلة للتفاضل ومستمرة وبالتالي فإن: وبذلك فإن هذا الحد الأخير يكون مساوياً للصفر ونحصل على

وهذا الإثبات يوصلنا إلى قاعدة عامة لتفاضل حاصل ضرب أي عدد محدود من الدوال ... فإذا كان لدينا حاصل ضرب ثلاث دوال y = u . v . w فإنه يمكن تمثيل الطرف الأيمن كحاصل ضرب u في (vw) فنجد أن

وبهذه الطريقة يمكننا الحصول على قاعدة عامة لتفاضل حاصل ضرب أي عدد محدود من الدوال أى إذا كان un..... y =u1 u2 فإن: ويمكن كتابة قانون تفاضل حاصل ضرب دالتين على الصورة الآتية: وذلك بقسمة كل من حدود القانون على u.v .... ومنها يمكن أيضاً الحصول على صورة عامة لتفاضل حاصل ضرب أي عدد من الدوال فنجد أن :

مثال (6-6) : فاضل بالنسبة لـ x الدالة: y =( x2 + 2x) (3x + 1) الحـــــل من الواضح أنه يمكن إيجاد التفاضل بفك الأقواس أولاً ثم نفاضل الناتج ، لكن بفرض أن الدالة عبارة عن حاصل ضرب دالتين كالآتي: u =( x2+2x) , v=(3x+1) وبتطبيق قاعدة حاصل ضرب دالتين ينتج أن:

سادساً: مشتقة خارج قسمة دالتين سادساً: مشتقة خارج قسمة دالتين مشتقة خارج قسمة دالتين عبارة عن حاصل ضرب (دالة المقام في مشتقة دالة البسط مطروحا منه حاصل ضرب دالة البسط في مشتقة دالة المقام ) مقسوما على مربع دالة المقام. نتيجـــة: إذا كانت c مقدار ثابت ، v دالة يمكن تفاضلها فإن:

6-3 دالـة الدالــة نفرض أن: فإذا وضعنا فمن الواضح أن "u "دالة في" x "وممكن أن تمثل كما يلي : u = f(x) وعلى هذا فالدالة المفروضة: تصبح دالة " u " التي هي بدورها دالة " x " فإذا كتبنا y = f (u) ،u = f(x) فإن: y = f [f(x)] وتسمى دالة الدالة. ومثال لدالة الدالة أيضاً نجد: y = sin x3

وهي دالة الدالة نظراً لأنه يمكن أن تكون: y = sin u = sin (x)3 وعلى هذا فهي دالة الدالة. مشتقة دالة الدالة: إذا كانت: = g(x) u، y = f(u) دالتين يمكن تفاضلهما، فإن مشقة دالة الدالةy = f[g(x)] تعطى بالعلاقة : ويمكن تعميم هذه النظرية للدوال الأكثر تعقيداً فمثلاً إذا كان: y = f(u) , u = (t) , t = (x) فإن:

مثال(6-7) : أوجد مشتقة الدالة: 3(y = (1 + x2 الحـــــل نضع u = (x) = 1 + x2 فتصبح y = f(u) = u3 وتكون المشتقة المطلوبة: 2x . 2(1 + x2). 2x = 3. 3 u2 ويمكن الحصول على نفس النتيجة مباشرة بدون فرض الدالة الداخلية “u” كالآتي: تفاضل الدالة الخارجية y بالنسبة للقوس فنحصل على 2(1 + x2) 3 ثم نضرب الناتج في تفاضل القوس نفسه (الدالة الداخلية) بالنسبة إلى “x” أي (2x) .

مثــــال (6-8) : أوجد مشتقة الدالة: الحــــــل

6-4 المشتقة الأولى للدالة الضمنية: سبق أن عرفنا أن الدالة الضمنية هي الدالة التي تظهر في الصورة: f (x , y) = 0 وللحصول على المشتقة الأولى لهذه الدالة نتبع الخطوات التالية : تفاضل كل حد من حدود العلاقة الضمنية هذه بالنسبة للمتغير x فنحصل على متساوية على الصورة: f(x , y , dx/dy ) = 0 نضع المقادير التي تحتوى على dy/dx)) كعامل مشترك في الطرف الأيسر من المتساوية والمقادير الخالية من dy/dx)) في الطرف الآخر من المعادلة . يقسم كل من الطرفين على معامل dy/dx)) وبذلك نحصل على المشتقة المطلوبة .

2x + 3x(dy/dx) + 3y + 10y(dy/dx) +6- 3(dy/dx) = 0 مثال (6-9) : أوجد المشتقة الأولى dy/dx)) بدلالة x ,y للدالة الضمنية الآتية: x2 + 3xy + 5y2 + 6x - 3y + 12 = 0 الحــــل مشتقة x2 هي 2x أما الحد 3xy فيجب تناوله على أنه حاصل ضرب دالتين فتكــــون مشتقته هي: dy/dx) + 3y ) 3x في حين أن مشتقة 5y2 هي: 10y (dy/dx) ، مشتقة 6x هي 6 ومشتقة -3y هي -3 (dy/dx) ومشتقة 12 هي الصفر إذن: 2x + 3x(dy/dx) + 3y + 10y(dy/dx) +6- 3(dy/dx) = 0 (dy/dx) x (3x + 10 y -3) = -2x-3y -6

مثال(6-10) : أوجد المشتقة الأولى للدالة الآتية: مثال(6-10) : أوجد المشتقة الأولى للدالة الآتية: y5 +3x2 y3 - 7x6 - 8 = 0 الحـــــــل 5y4 + 3y2 . 3x2 3y3. 2x - 42x5 = 0+

-5 الدوال المثلثية :هناك ست نسب مثلثية لأي زاوية ولتكن  هي: sin  , cos  , tan  , cot  , sec  , cosec  أو sin x , cos x , tan x , cot x , sec x , cosec x والدوال المثلثية هي في الواقع دوال دورية أي أن منحنى هذه الدوال يكرر نفسه كل فترة أي أن: f(x +na) = f(x) حيث a ثابت ، n عدد صحيح .فنجد أن الدالتين sin x, cos x ومقـــلوبها cosec x , sec x كلها دوال دورية دورة كل منها (2) وذلك لأن : 2) = sin x +x)sin 2) = cos x +x)cos

نلاحظ أن المنحنى يخرج من نقطة الأصل لأن: sin 0 = 0 وتأخذ الدالة في التزايد مع الزاوية حتى تصل إلى القيمة (1) عند x=/2 ثم تعود إلى التناقص حتى تصل إلى الصفر عند x=  وتتوالى في التناقص حتى تصل إلى (-1) عند x= 3/2 ثم تعاود التزايد إلى أن تصل إلى الصفر عند x= 2 y = sin x

وحيث أن sin x دالة دورية كما ذكرنا في دورتها 2 فإنها تتكرر بعد ذلك كل فترة طولها 2 كذلك نجد أن هذه العلاقة فردية نظراً لأن: sin (-x) = - sin x ومنحناها متماثل بالنسبة لنقطة الأصل في الشكل . كذلك نلاحظ أن الدالة sin x مستمرة عند أي قيمة للمتغير x كما هو واضح من اتصال منحناها .

y = cos x كذلك يوضح الشكل التالي منحنى الدالة cos x =y نلاحظ أنها تبدأ بالقيمة (1) عندما x=0 وتتناقص حتى تصل إلى القيمة (-1) عند x = ثم تتزايد حتى تصل إلى الصفر عند x = 3/2 وتستمر في التزايد حتى تصل ثانية إلى أكبر قيمة لها وهي (+1) عندx = 2 y = cos x ونلاحظ أن هذه الدالة متصلة وزوجية لأن cos (-x) = cos x ومنحناها متماثل بالنسبة لمحور الصادات ونلاحظ أن منحنى الدالة cos x ينشأ من منحنى الدالة sin x بإزاحة محور الصادات إلى اليمين مسافة /2 وهو واضح من العلاقة:

كذلك فإن الدالتان. y = tan x , y = cot x tan ( + x) = tan x , cot ( + x) = cot x وذلك لجميع قيم x. y = tanx 1- الدالة مستمرة عند جميع قيم x المحدودة فيما عدا النقط: أي أن منحنى الدالة غير متصل عند النقط:

وهذا واضح من العلاقة : حيث ينعدم المقام cos x عند هذه القيم وتصبح الدالة غير معرفة عند هذه النقط. 2- الدالة tan x فردية أي أن: tan (-x) = -tan x. 3- الدالة tan x غير مقيدة ويمكن أن تأخذ القيم من - إلى + أى أن مدى الدالة غير محدود. 4- الدالة دورية دورتها .

وهذه الدالة فردية ومنحناها متماثل بالنسبة لنقطة الأصل: ويمكن إستنتاج منحنى الدالة y = cot x من منحنى الدالة tan x باعتبار أن: أو من الدالتين: sin x , cos x باعتبار أن: ومنحنى الدالة y = cot x يكون متصلاً في جميع النقط إلا عند قيم x التي ينعدم عندها المقام sin x أي عند النقط: x = n , n = 0, ±1 , ±2 وهذه الدالة فردية ومنحناها متماثل بالنسبة لنقطة الأصل: cot (-x) = -cot x كما أن الدالة دورية دورتها  وهي غير مقيدة فتأخذ جميع القيم بين - و +.

كذلك يمكن استنتاج منحنى الدالة sec x باعتبارها مقلوب الدالة cos x كذلك يمكن استنتاج منحنى الدالة sec x باعتبارها مقلوب الدالة cos x وعلى هذا فإن: sec x تكون مستمرة في جميع قيم x فيما عدا النقط التي ينعدم عندها cos x أي عند: وهي دالة زوجية ومنحناها متماثل بالنسبة لمحور الصادات : sec (-x) = sec  كما أنها دورية دورتها 2 : وحيث أن مدى الدالة cos x هو (-1 , 1) فإن مدى الدالة sec x هو جميع الأعداد التي لا تقع في الفترة المفتوحة (-1 , 1) أي أن منحنى الدالة يقع خارج الشريط الأفقي المحدد بالمستقيمين: y = ±1.

بالنسبة للدالة. y = cosec x بالنسبة للدالة y = cosec x فإنه يمكن استنتاج منحناها بقلب منحنى الدالة sin x على اعتبار أن: وعلى هذا فإن الدالة مستمرة عند جميع قيم x فيما عدا عند القيم التي ينعدم عندها المقام أي عند: x = n , n = 0 , ±1 , ±2 وهذه الدالة غير مقيدة وتأخذ جميع القيم التي لا تقع في الفترة (-1 , 1) وهي دالة فردية ومنحناها متماثل بالنسبة لنقطة الأصل. كما أنها دورية ودورتها 2.

المشتقة الأولى للدوال المثلثية: أولاً : مشتقة الدالة: y = sin x حيث أن الخمسة دوال المثلثية الأخرى معرفة بدلالة sin x إذن يكفي يجاد مشتقة sin x بالمبادئ الأولية للتفاضل ومنها يمكن استنتاج باقي المشتقات للدوال المثلثية الأخرى. وعلى ذلك فإن خطوات إيجاد المشتقة الأولى للـــدالة y = sin x من المبادئ الأولية تكون كما يلى:

وإذا كانت "U " أية دالة في x ويكمن تفاضلها أي. u =  (x) وإذا كانت "U " أية دالة في x ويكمن تفاضلها أي u =  (x) وكانت y = sin u فمن قانون دالة الدالة نحصل على: مثال (6-11) : إوجد مشتقة كل من الدوال الآتية: الحـــــل

ثانياً : مشتقة الدالة: y = cos x نلاحظ أن: ومنها ينتج أن: وإذا كانت y = cos u حيث u =  (x) فإن:

ثالثاً : المشتقة الأولى للدالة: y = tan x حيث أن: وبتطبيق قانون مشتقة خارج قسمة دالتين نجد أن: وإذا كانت y = tan u حيث u = (x) فإن:

رابعاً : المشتقة الأولى للدالة: y = cot x يمكن إيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة إما على أساس: أو على أساس أن: فإذا إعتبرنا العلاقة الأخيرة. أى أن:

خامساً : المشتقة الأولى للدالة: y = sec x

سادساً : المشتقة الأولى للدالة: y = cosec x بإعتبار أن:

مثال (6-12): إوجد مشتقة كل من الدوال التالية: الحـــــل بتطبيق قوانين المشتقات السابقة تجد أن:

لايجاد مشتقة هذه الداله نلاحظ أنه يمكن تبسيطها كالأتى :

-6 المشتقة الأولى للداله اللوغاريتمية: سبق أن أثبتنا في الباب الرابع أن: وأمكننا حساب قيمة (e) مقربه لأي عدد يشاء من الأرقام العشرية. ويسمى اللوغاريتم طبيعيا إذا كان للأساس (e) ويرمز للوغاريتم الطبيعي بالرمز Log x دون ذكر للأساس أو بالرمز Ln x وللتحويل من اللوغاريتم الطبيعي إلى لوغاريتم لأي أساس a مثلا نستخدم العلاقة: وللأساس 10 أهميه خاصة كما نعلم من الحسابات باستخدام اللوغاريتم وإذا كانت y = loga x هي داله لوغاريتمية لأي أساس a بحيث أن 0  x   فإنه لإيجاد المشتقة الأولى لهذه الدالة نجد أن:

نضع: فتكون: وبأخذ النهايات عندما  x  0 وملاحظة أنه عندما  x  0 فإن m  0 وبذلك فالمشتقة الأولى للداله اللوغاريتمية لأي أساس ( a ) هى:

أما إذا كانت الدالة لوغاريتمية طبيعية للأساس (e) تكون المشتقة هي : وعليه إذا كان y = Ln u حيث u =  ( x ) فإن: وبالنسبه للداله اللوغاريتمية لأي أساس ( a ) تكون: ويمكن كتابتها أيضا على الصورة:

مثال (6-13) : إوجد مشتقة الدالة : y = Loga (x2 + 2 ) الحــــــل مثال (6-14): فاضل بالنسبه إلى x الدالة : الحــــــل يمكن كتابة المعادلة على الصورة الأبسط بأخذ اللوغاريتم أولا :

مثال (6-15): إوجد المشتقة الأولى للدالة: مثال (6-15): إوجد المشتقة الأولى للدالة: y = Ln sin x الحــــــــــل

أي أن: -7 المشتقة الأولى للدوال العكسية: إذا كان للدالة y = f ( x ) داله عكسيه x =  ( y ) (بالطريقة السابق شرحها) وكان لهذه الدالة العكسية عند النقطة y مشتقة لا تساوى الصفر فإنه عند النقطة المناظرة x يكون للداله: y = f ( x ) مشتقة أي أن: تساوى

ولإثبات ذلك نفاضل طرفي العلاقة العكسية x =  ( y ) بالنسبة إلى x أخذين في الاعتبار أن y داله في x نجد أن : وهو المطلوب .

المشتقة الأولى للدوال المثلثية العكسية: أولا : الدالة: y = sin-1 x أولا : الدالة: y = sin-1 x ويقصد بهذه الداله أن y عباره عن الزاوية التي جيبها x أى أن: x = sin y وتسمى الصورة الأخيرة بالداله المباشرة والصورة الأولى بالداله العكسية ولإيجاد مشتقة هذه الدالة تفاضل طرفي العلاقه x = sin y بالنسبه إلى y :

وقد أخذت الإشارة الموجبة أمام الجذر لأن الدالة: y = sin-1 x تأخذ قيما في الفتره وبالتالى يكون cos y  0 وإذا كانت “u” داله للمتغير “x” فإنه باستخدام دالة الدالة يمكن إثبات أن:

مثال (6-16): إوجد تفاضل الدالة y بالنسبه إلى x إذا كان: y = sin-1 (tan x ) الحـــــــــل

من تعريف هذه الدالة العكسية على أنها الدالة العكسية للدالة x = cos y ثانيا : الداله: y = cos-1 x من تعريف هذه الدالة العكسية على أنها الدالة العكسية للدالة x = cos y " ولإيجاد مشتقة دالة جيب التمام العكسية تفاضل طرفي العلا قه x = cos y بالنسبه إلى " y " كما سبق في الحالة السابقة. ( حيث u داله للمتغير x ).

ثالثا : الدالة : y = tan-1 x تعرف هذه الدالة بأنها الدالة العكسية للداله x = tan y وهذه الدالة معرفه لجميع قيم x في الفتره -   x   وتعطى قيمتها الفترة: أى أن مداها هو: ولإيجاد مشتقة هذه الدالة نتبع نفس الخطوات السابقة: x = tan y ( حيث u داله للمتغير x ) .

رابعاً : الدوال: cot-1 x , cosec-1 x , sec-1 x بنفس الطريقة السابقة يمكن حساب مشتقات الدوال المثلثية العكسية الباقية وهي كالآتي:

باستخدام دالة الدالة أي إذا كانت "u " داله للمتغير " x " فإن :

مثال (6-17): إوجد للداله: y = tan-1 ( tan x ) الحـــــــ‎‎‎ل وعندما d y /d x يساوى واحد معنى هذا أنه تفاضل المقدار “x” .. وهذا يمكن ملاحظته إذا حاولنا نفهم معنى المقدار tan-1 (tan x ) فهو يعنى الزاوية التي ظلها ظا x فتكون هي الزاوية “x” وتفاضل “x” بالنسبه لـ “x” يساوى الواحد الصحيح

وعلى ذلك تكون قاعدة هامة بالنسبه لجميع النسب المثلثية كالآتي : y = sin-1 ( sin x ) = x y = cos-1 (cos x ) = x y = tan-1 (tan x ) = x وكذا بالنسبه لباقى النسب المثلثيه . مثال (6-18): إوجد d y / d x للداله: y = cot-1 x3 الحـــــــــل

-8 المشتقة الأولى للداله الأسية: من المعروف أن الدالة العكسية للداله اللوغاريتمية x = loga y تكون الدالة الأسيه y = ax (حيث -   x   , a  0) ولإيجاد مشتقة الداله الأسيه y = ax تفاضل الـــداله اللوغاريتمية x = loga y بالنسبه إلى “x”: أما في حالة a = e فإن: ( حيث Ln e = 1 )

ويوضح الشكل التالي منحنى الدالتين: y = ln x , y = ex حيث تنشأ إحداهما كصورة انعكاس للدالة الأخرى على المســـتقيم y = x ومن الملاحظ أن مشتقة الدالة y = ex هي نفسها أي أنها لم تتأثر بعملية التفاضل وهذا يعنى بيانيا أن ميل المماس عند أي نقطة على منحنى الدالة y = ex يساوى الإحداثي الصادي لهذه النقطة.

مثال (6-19): أوجد المشتقة الأولى لكل من الدالتين الآتيتين: الحــــــــل مما سبق نجد أن بالتفاضل بالنسبة إلى x فإن :

-9 التفاضل اللوغاريتمي: أحيانا يطلب منا إيجاد مشتقة بعض الدوال المعقدة مثل الدوال التي يدخل في تكوينها عمليات ضرب وقسمة دوال " x "وأحيانا رفع دوال”x” إلى قوى هي في حد ذاتها دوال ”x” في هذه الحالة نلجأ إلى تبسيط الدالة المعطاة بأخذ اللوغاريتم للأساس “e” لكل من الطرفين ثم نجرى عملية التفاضل بعد ذلك فمثلا: حيث u , v دالتين لــــ x y = uv  ln y = ln uv = v ln u وبالتفاضل بالنسبة إلى x نحصل على:

وبالضرب في y = uv ينتج أن :

مثــال (6-20): أوجد مشتقة الدالة : y = xx الحـــــــل

-10 مشتقة دالة بارامترية: نفرض أن y دالة x ممثلة بارامتريا بالمعادلتين x = f (t) , y = (t) وتثبت صحة هذا القانون من العلاقة وبأخذ النهايات عندما تؤول x وبالتالي t إلى الصفر أيضا

أوجد قيمة (dy/dx) للدالة y = f (x) الممثلة بالمعادلتين البارامتريتين مثــال (6-21): أوجد قيمة (dy/dx) للدالة y = f (x) الممثلة بالمعادلتين البارامتريتين x = a cos t , y = a sin t الحـــل

-11 المشتقات العليا للدالة Derivative of Higher Orders إذا كانت y = f (x) دالة يمكن تفاضلها، وقد عرفنا كيف يمكن إيجاد مشتقتها الأولى dy/dx = f'(x) وإذا كانت f’(x) نفسها يمكن تفاضلها فإنه يمكن حساب مشتقتها وهذه نسميها المشتقة الثانية للدالة y ويمكننا أن نكرر هذه العملية لنحصل على مشتقات من رتب أعلى ويرمز لهذه المشتقات برموز كثيرة منها: إذ ا كانت المشتقة الأولى: فإن المشتقة الثانية تكون : المشتقة النونية :

ويمكن أن يرمز أيضا للمشتقات الرابعة والخامسة والرتب الأعلى بالأعداد الرومانية كما يلى : yiv , yv , yvi , ........ حتى نتفادى كتابة رتبة المشتقة بين قوسين فمثلا إذا كانت الدالة y = x6 فإن: y’ = 6 x5 , y’’ = 30 x4 , y’’’ = 120 x3 , yiv = 360 x2 , yv = 720 x , yvi = 720 , yvii = y (7) = y (8) = .......0

مثــال (6-22) : أوجد المشتقات العليا للدالة y = xn حيث n عدد صحيح موجب الحــــــــل

مثــال (6-23) : أوجد المشتقات النونية للدالة y = nmx حيث m كمية ثابتة الحـــــــل

أوجد y (n) للدوال 1) y = sin x 2) y = cos x مثــال (6-24) : أوجد y (n) للدوال 1) y = sin x 2) y = cos x الحــــــــل

ملخص قوانين التفاضل الأساسية تفاضلها Derivative الدالة Function الثابت Constant 1 x Cos x Sin x c cos x Sin cx - sin x Sec2 x Tan x - cosec2 x Cot x Sec x . tan x Sec x -cosec x . cot x Cosec x Sin-1 x Cos-1 x Tan-1 x Cot-1 x Sec-1 x Cosec-1 x ex ax ln a ax loga x 1/x Ln x

تطبيقات على التفاضل معدلات التغير (المعادلات المرتبطةRelated Rates ): إذا ارتبط متغيران أو أكثر بعلاقة على شكل معادلة وكانت هذه المتغيرات تتوقف على الزمن t فإن معدلات التغير بالنسبة للزمن t لإحدى هذه المتغيرات يمكن حسابها إذا علمت معدلات التغير في المتغيرات الأخرى بالنسبة إلى الزمن t ويتم ذلك إذا فاضلنا العلاقات التي تربط هذه المتغيرات بعضها ببعض بالنسبة للزمن t ، كما يتضح من الأمثلة التالية:

v = حجم الماء (ft3) فى الخزان عند الزمن t(min) . مثال (7-1): خزان على شكل مخروطي دائري قائم رأسه لأسفل وارتفاعه 10ft، نصف قطر قاعدته 5 ft ، يسكب فيه الماء بمعدل ثابت 24 ft3/min أوجد معدل ارتفاع سطح الماء عندما يكون عمق الماء في المخروط 4 ft . الحــــل نفرض أن: v = حجم الماء (ft3) فى الخزان عند الزمن t(min) . x = نصف قطر (ft) يقطع المخروط عند سطح الماء. =y ارتفاع الماء(ft) في الخزان عند اللحظة t. y 10

معنى أن الماء يسكب في الخزان بمعدل ثابت 24 ft3/min هو أن: والمطلوب الآن تعيين dy/dt عندما y=4  العلاقة التي تربط حجم الماء v بالعمق y هي وهى تحتوي على المتغير الإضافي x بجانب y , v إلا أنه يمكننا حذف x من تشابه المثلثات:- ومن هذا ينتج أن:-

وبحساب مشتقة الطرفين بالنسبة إلى الزمن t نحصل على العلاقة بين المعدلين أي:- ومنها نجد أن:- وعندما يكون y=4 , dy/dt =24 تصبح:

مثال (7-2): سلم طوله 13 قدم يستند بطرفه العلوي على حائط رأسي وبطرفه السفلي على أرض أفقية. سحب السلم من طرفه السفلي بعيدا عن الحائط بمعدل ثابت 6 قدم / ثانية. احسب المعدل الذي ينزلق به الطرف العلوي للسلم على الحائط في اللحظة التي يبعد فيها عن الأرض 12 قدم. الحـــل 13 ft 6 ft/sec x y X Y نفرض أن السلم في أي وضع من أوضاعه يأخذ الشكل والأبعاد المبينة بالشكل. والعلاقة التي تربط y , x عند أي لحظة t هي: x² + y² = 13² = 169

والمطلوب إيجاد dy/dt عند اللحظة التى يكون فيها: ,حيث أنه عندما y=12 ، تكون x=5 من العلاقة الأولى. فبالتعويض ينتج أن: أي أن رأس السلم ينزلق إلى أسفل (وهذا ما تعنيه الإشارة السالبة من تناقص القيمة y ) بمعدل 2.5 ft/sec

مثال (7-3): صفيحة من المعدن مثلثة الشكل تتمدد بالحرارة وارتفاعها يساوي نصف قاعدتها. أوجد طول القاعدة عندما يكون معدل زيادة المساحة 0.05 cm2/sec ومعدل زيادة طول قاعدتها مساويا 0.01 cm/sec . الحــــل نفرض أن الارتفاع h وطول القاعدة L والمساحة S

ومن حل الأمثلة السابقة يمكن أن نستنتج خطوات عامة لحل مثل هذه المسائل كما يلي: يرسم شكل مبسط يمثل المسالة وتوضح عليه الكميات العددية التي تبقى ثابتة خلال المسألة. يعبر عن الكميات والمتغيرات التي تتغير مع الزمن برموز جبرية ثم توجد علاقة أو علاقات تربط هذه المتغيرات مع بعضها. نفاضل مباشرة بالنسبة للزمن فنحصل على معدلات التغير للمتغيرات المختلفة. نعوض عن الكميات والمعدلات المعروفة من المسألة بقيمتها الحسابية للحصول على المعدل المطلوب إيجاده.

ومن هندسة الشكل يتضح أن: مثال (7-4): طائر على ارتفاع 1000 متر يطير أفقيا بسرعة 360كم/س يمر مباشرة فوق مراقب. أوجد معدل اقتراب الطائر من المراقب عندما يكون على بعد 2000 متر. الحــــل في هذه المسألة الارتفاع ثابت بالنسبة للطائر ولا يتغير لذا فقد وضع على الرسم المسافة x تتغير مع الزمن وكذلك S لذا فقد وضعت على هيئة رمز جبري. S 1000 m المراقب X ومن هندسة الشكل يتضح أن: نفاضل طرفي المعادلة بالنسبة إلى الزمن t

المطلوب في المسألة هو حساب معدل اقتراب الطائر من المراقب أن dS/dt عندما تكون S= 2000 m فإن: بالتعويض في المعادلة (1) ينتج أن:

-2 الدوال المتزايدة والدوال المتناقصة: Increasing and Decreasing Functions الدوال المتزايدة هي الدوال التي تزداد بزيادة x ، كما أن الدالة المتناقصة هي التي تنقص كلما زادت x. وهناك نظرية تحدد الشرط الرياضي الذي يجب توافره في كل نوع عن طريق مشتقات هذه الدوال كما يلي:- نظرية : إذا كانت الدالة f(x) مستمرة في الفترة [a , b] وقابلة للتفاضل في الفترة (a ,b) بحيث كان f’(x)>0 للقيم a<x<b فإن هذه الدالة تتزايد في الفترة [a , b] أما إذا كانت f’(x) <0 فإن f(x) تتناقص في الفترة [a , b].

لإثبات : إذا كانت x نقطة تقع خلال الفترة [a ,b] على الدالة f(x) فلو أعطينا زيادة قدرها ∆x ونعتبر العلاقة:- وحيث أنه من الفرض f’(x)>0 أي أنه للنقط القريبة قربا كافيا من x يؤول الكسر التالي إلى كمية موجبة، أي أنه لمثل هذه القيم يكون:

وهذا يعني أن لكل من أبسط والمقام نفس الإشارة وبالتالي ينتج أن: f(x+∆x)> <f(x) حينما تكون: (x+∆x)> <x وهذا يعني أن f(x) تتزايد عندما تتزايد قيمة x خلال الفترة [a , b] وبالمثل يمكن إثبات الجزء الآخر من النظرية. تعريف : تسمى الدالة f(x) متزايدة في المدى a < x <b إذا كان لكل قيمتين x1 , x2 في هذا المدى بحيث x1 < x2 تتحقق المعادلة f(x1) < f(x2) وبالمثل يمكن تعريف الدالة المتناقصة في مدى a<x<b .

ملاحظة: النظرية والتعريف السابقين يعبران عن الحقيقة الهندسية التالية: إذا كانت الدالة f(x) تتزايد في الفترة [a ,b] ، فأن الممــاس للمنحنى y = f(x) عند كل نقطة في هذه الفترة يصنع زاوية عادة  مع محور x أو يكون أفقيا كما في الشكل التالي (أ). b a (أ) (ب) b a أما إذا كانت الدالة f(x) متناقصة في الفترة[a ,b] فأن الزاوية التي يميل بها المماس على المحور x تكون منفرجة(أو يكون المماس أفقيا) كما في الشكل السابق (ب) وهذه الطريقة تمكننا من الحكم على الدالة إن كانت متزايدة أو متناقصة تبعا لاشارة مشتقتها.

مثال (7-2): حدد الفترات التي تتزايد أو تتناقص فيها الدالة: y = x3 – 6x2 + 9x – 1 الحــــل نوجد مشتقة الدالة المعطاة ونعين قيم x التي تكون عندها المشتقة موجبة أو سالبة. وواضح أن المشتقة تنعدم فقط عندما x=3 , x=1 وحينئذ يكون المماس للمنحنى أفقيا. وهاتان النقطتان تقسمان محور x على ثلاث مناطق (فترات) كما في الشكل المقابل: 3 3 -1 1 الأول - < x < 1 الثاني 1 < x < 3 الثالث 3 < x < 

ونلاحظ أنه فى الفترة الأولى dy/dx > 0 إذن فالدالة y متزايدة في هذه الفترة أما في الفترة الثانية dy/dx < 0 والدالة y تتناقص في هذه الفترة وفي الفترة الثالثة dy/dx>0 والدالة y تتزايد في هذه الفترة. ويمكن كتابة هذه النتائج في جدول كالآتي لتعيين المشتقة في كل فترة: الفترة إشارة (x-1) إشارة (x-3) إشارة dy/dx الدالة - < x < 1 1 < x < 3 3 < x <  - + متزايدة متناقصة

-3 النهاية العظمى والنهاية الصغرى للدالة: Maximum and minimum of a function: نعلم مما سبق أن الدالة قد تكون متزايدة وميل المماس للمنحنى (مشتقتهما) يكون موجبا dy / dx > 0 أو تكون دالة متناقصة وميل المماس للمنحنى يكون سالبا أي أن dy / dx < 0. أما إذا وجدت دالة تتزايد ثم تتناقص فإن معنى ذلك وجود نقطة نهاية عظمى للدالة والعكس صحيح أي إذا تناقصت الدالة ثم أخذت في التزايد فإنه توجد نقطة نهاية صغرى. وتعرف نقطة النهاية العظمى والصغرى (بنقط الرجوع) ويكون فيها المماس يساوي صفر dy / dx = 0 ويمكن تعريف نقطة النهاية العظمى بأنها النقطة التي يكون مقدار الدالة عندها أكبر من أي مقدار لها عند النقطة التي تسبقها مباشرة أو التي تليها مباشرة وتكون dy / dx موجبة قبل النقطة وسالبة بعدها، أما عند نقطة النهاية الصغرى فيكون مقدار الدالة أصغر من أي مقدار آخر لها عند النقطة التي تسبقها أو التي تليها مباشرة وتكون dy / dx سالبة قبل هذه النقطة وموجبة بعدها مباشرة. ومن الجدير بالذكر أن وجود نقطة عندها dy / dx = 0 لا يعني أنها نقطة رجوع مثل نقطة a) ) وتسمى هذه النقطة بنقطة الانقلاب وهي النقطة التي يغير عندها المنحنى اتجاه تقوسه.

ولإيجاد نقطة النهاية العظمى والصغرى نتبع الأتي: أوجد المشتقة الاولى للدالة أي dy / dx. عين القيم الحرجة للمتغير x وذلك بإيجاد جميع الجذور الحقيقية للمعادلة f”(x) = 0 وكذلك جميع فيم x التي تكون عندها المشتقة f”(x) غير مستمرة. اختبر إشارة المشتقة عن يسار وعن يمين كل نقطة حرجة (قيمة (x مباشرة. أوجد قيمة الدالة f(x) عند كل نقطة حرجة. والجدول الأتي يبين جميع الحالات الممكنة:

لا توجد نهاية (الدالة متزايدة) لا توجد نهاية (الدالة متناقصة) X < a X = a نوع النقطة الحرجة X > a + - dy/dx = 0 أو غير مستمرة نهاية عظمى نهاية صغرى لا توجد نهاية (الدالة متزايدة) لا توجد نهاية (الدالة متناقصة) a a a

اختبر الدالة الآتية من حيث النهاية العظمى والنهاية الصغرى الحـــل مثال (7-3): 1 2 3 X Y1 1- أوجد المشتقة الأولى Y2 2- أوجد جميع جذور المعادلة y’=0 3- اختبر النقط الحرجة وسجل النتائج . اختبر النقطة الحرجة الأولى x1 = 1 حيث أن:

وعلى هذا عند المرور من اليسار إلى اليمين بالقيمة x = 1 تتغير إشارة المشتقة من الموجب إلى السالب، وهذا يعني أن الدالة لها عند x1 = 1 النهاية العظمى الآتية: من الموجب إلى السالب، وهذا يعني أن الدالة لها عند x1 = 1 النهاية العظمى الآتية:

كذلك باختبار النقطة الحرجة الأخرى x2 = 3 نجد أن:

-4 استخدام المشتقة الثانية لاختبار نقط النهايات العظمى والصغرى للدالة: تعطي المشتقة الثانية طريقة سهلة لاختبار نقط النهايات العظمى والصغرى فلو فرضنا أن مشتقة الدالة y = f(x) تنعدم عندx = a أي f’(a) = 0 ونفرض أيضا أن المشتقة الثانية f”(x) تتواجد وتكون مستمرة في جوار معين للنقطة a . في هذه الحالة تنطبق النظرية التالية: نظرية : بفرض أن f’(a) = 0 تكون للدالة نهاية عظمى عند x = a إذا كانت f”(a)<0 ونهاية صغرى إذا كان f”(a)>0. ويمكن الوصول إلى صحة هذه النظرية إذا تذكرنا أن المشتقة الثانية هي عبارة عن المشتقة الأولى للمشتقة الأولى لميل المماس لمنحنى الدالة.

وإذا لاحظنا أن النهاية الصغرى هي منحنى مقعر إلى أعلى وأن النهاية العظمى هي منحنى مقعر إلى أسفل فمن الشكل التالي نلاحظ أيضا أن ميل المماس للمنحنى المقعر إلى أعلى (النهاية الصغرى) يتزايد في حين أن ميل المماس للمنحنى المقعر إلى أسفل (النهاية العظمى) يتناقص، وإذا رمزنا لميل المنحنى بالرمز m فإن مشتقته: يجب أن تكون موجبة في حالة ما إذا كان ميل المماس متزايدا (حالة النهاية الصغرى) وتكون d2y/dx2 سالبة في حالة ما إذا كان ميل المماس متناقصا (في حالة النهاية العظمى).

مثال (7-4): أوجد مواقع وقيم النهايات العظمى والصغرى للمنحنى ملاحظة : إذا انعدمت المشتقة الثانية أيضا عند x=a أي d2y/dx2=0 فمن الجائز أن يكون عند هذه النقطة إما نهاية عظمى أو نهاية صغرى أو لا هذه ولا تلك. وفي هذه الحالة نعود إلى الاختبار بواسطة الطريقة الأولى ويبين الجدول الآتي ملخص الاختبار بواسطة المشتقة: F’(a) F”(a) نوع النقطة الحرجة - + نهاية عظمى نهاية صغرى غير معروفة مثال (7-4): أوجد مواقع وقيم النهايات العظمى والصغرى للمنحنى y = f(x) = x4 - 8x3 + 22x2 - 24x +12 الحــــل

بحساب المشتقة الأولى والمشتقة الثانية نجد أن: ونحصل على النقط الحرجة للمنحنى بحل المعادلة f’(x) = 0 أي بحل: 4 (x3 - 6x2 + 11x – 6) = 0 4 (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0

نهاية صغرى f”(1) = 12x12 – 48 x 1 + 44 = +8 > 0 إذن نقط المنحنى الحرجة تقع عند x = 1, x = 2, x = 3 ولتعيين نوعها نعوض في d2y/dx2 فنجد أن: نهاية صغرى f”(1) = 12x12 – 48 x 1 + 44 = +8 > 0 نهاية عظمى f”(2) = 12x22 – 48 x 2 + 44 = -4 < 0 نهاية صغرى f”(3) = 12x32 – 48 x 3 + 4 = +8 > 0 7-5 أمثلة عملية على النهايات العظمى والصغرى: يراد تصنيع علبة أسطوانية من الصفيح بحيث تسع حجما معينا v من العصير، احسب النسبة بين بعديها بحيث تكون مساحة الصفيح المستعملة أقل ما يمكن. الحـــل نفرض أن نصف قطر قاعدة العلبة x وارتفاعها h v =  x2 h وإذا رمزنا للمساحة الكلية للعلبة بالرمز y ، وهذه المساحة عبارة عن مجموع مساحة الجزء الدوراني للعلبة ومساحتي القاعدة والغطاء، فإن:

وبذلك يكون المطلوب حساب النهاية الصغرى للدالة y dy/dx = 4x-(2v/x2) y = 2 x2+  x(v/  x2) y = 2x2+(2v/x) وبذلك يكون المطلوب حساب النهاية الصغرى للدالة y dy/dx = 4x-(2v/x2) وتنعدم dy/dx عندما 4x3 = 2v , 2x3 = v وللتأكد أنه حينئذ يكون للدالة نهاية صغرى نحسب المشتقة الثانية فنجد أن: d2y / dx2 = 4 + (4v/x3) وهي كمية موجبة دائما (على اعتبار أن x موجبة). إذن للدالة y نهاية صغرى عندما v = 2x3 ولكن v =  x2 h إذن  x3 =  x2 h 2x = h أي أنه لاستعمال أقل كمية من الصفيح ينبغي أن يكون ارتفاع العلبة مساويا لقطر قاعدتها.

نفرض أن مساحة قطعة الأرض y وأن أحد أضلاعها x كما في الشكل التالي. يراد إنشاء حديقة على قطعة أرض مستطيلة الشكل ، أحد أضلاعها محاذ لشاطئ نهر ويراد إحاطة أضلاعها الثلاثة الأخرى بسور من السلك طوله 400 متر. احسب أبعاد قطعة الأرض المسورة بحيث تكون مساحتها أكبر ما يمكن. الحــــل نفرض أن مساحة قطعة الأرض y وأن أحد أضلاعها x كما في الشكل التالي. Y = x (400 – 2x) = 400 x – 2x2 dy/dx = 400 – 4x وبوضع dy/dx = 0 ينتج أن للدالة فقطة حرجة عندما x = 100 ، وحيث أن d2y/dx2 =-4 دائما سالبة، إذن عند هذه النقطة توجد نهاية عظمى. أي أن أبعاد الأرض يجب أن تكون 100 ، 200 متر وهي حينئذ تعطي أكبر مساحة 20000 متر. 400 – 2x y x

مثال: خزان على شكل متوازي مستطيلات مفتوح القمة وبعد قاعدته x , y متر وارتفاعه x متر أيضا يراد إنشائه من صفائح معدنية مساحتها الكلية 1350 متر مربع بحيث يكون حجم الماء الذي يسعه الخزان أكبر ما يمكن. أوجد أبعاد الخزان التي تجعل سعته أكبر مما يمكن. الحـــل نفرض مساحة الأسطح: S = 3xy + 2x2 = 1350 m2 y = (1350 – 2x2) / 3x نفرض حجم الماء: V=x2y = (1350 x – 2x2) / 3 لكي يكون الحجم أكبر ما يمكن أو أصغر ما يمكن نضع: dV/dx = 0

وينتج أن للدالة نقطة حرجة عند x = 15 m dV/dx = (1350 / 3) – 2x2 = 0 وينتج أن للدالة نقطة حرجة عند x = 15 m وباختبار المشتقة الثانية نجد أن: d2V / dx2 = -4x وحيث أنها دائما سالبة فهو إذن نهاية عظمى عند هذه النقطة x = 15 أي أن الحجم أكبر ما يمكن عندما x = 15 وبالتالي: إذن أبعاد الخزان هي 15 ، 20 ، 15 متر على الترتيب.

8- التكاملIntegration تعريـف : تسمى الدالة F (x) الدالة المقابلة بالتفاضل Anti-derivative للدالهf (x) فى الفترة [a , b] إذا تحققت عند جميع نقط هذه الفترة المتساوية: مثال (8-1): أوجد الدالة المقابلة للداله: f(x) = x³ الحـــــل من التعريف نجد أن: هي الدالة القابلة حيث أن : ولكن من الواضح أن هذه الدالة المقابلة ليست الوحيدة فيمكن اعتبار الدوال التالية دوال مقابله للداله: f (x ) = x3

تعريــف: إذا كانت الدالة F(x) داله مقابله للداله f (x) فإن التعبير F(x)+c يسمى التكامل غير المحدود Indefinite integrate للدالة f(x) ويرمز له بالرمز : من التعريف ينتج أن: إذا تحقق وفى هذا التعبير تسمى الدالة f(x) موضوع التكامل والعلامة علامة التكامل كما يسمى العبارة f(x) dx عنصر التكامل ، c ثابت التكامل ويمكن ملاحظة أن التكامل الغير محدود هو مجموع دوال أو منحنيات على الصورة: y = F (x) + c

فأوجد معادلة المنحنى علما بأنه يمر بالنقطة: (-1,4). مثـال (8-2): إذا كان ميل المماس عند أي نقطه من منحنى يتعين من المعادلة: y = 15 x2 فأوجد معادلة المنحنى علما بأنه يمر بالنقطة: (-1,4). الحـــــل ميل المماس هو: وبالتحقيق مؤقتا نجد أن: وبما أن المنحنى يمر بالنقطة (-1,4) 4 = - 5 + c c = 9 وتكون معادلة المنحنى هي:

بعض خواص التكامل غير المحدود : 1- تفاضل التكامل غير المحدود يساوى موضوع التكامل أى أنه : فمثلا: تفاضله التكامل غير المحدود يساوى عنصر التكامل أي: وهذا ينتج مباشرة من الخاصية الأولى . التكامل غير المحدود بتفاضله ينتج داله ما تساوى نفس الدالة مضافا إليها ثابت اختياري أي أن : والإثبات بحساب تفاضل كل من الطرفين.

التفاضل غير المحدد للمجموع الجبري لعدد محدود من الدوال يساوى نفس المجموع الجبري لتكاملات هذه الدوال ، أي: ولإثبات ذلك نفاضل هذه العلاقة أخذين في الاعتبار الخاصية المشابهة لها في التفاضل فنجد أن :

يمكن أخذ المعامل الثابت في موضوع التكامل خارج علامة التكامل أي إذا كانتa قيمه ثابتة فإن: وهذه الخاصية تأتى من نظيرتها في التفاضل: أو بتفاضل طرفي المعادلة. 6- ضرب x في ثابت a : بتفاضل طرفي المعادلة الأخيرة نجد أن :

- إضافة ثابت b إلى x والإثبات بتفاضل طرفي المعادلة الأخيرة . 8- الجمع بين الحالتين (6) و (7)

جدول التكاملات الأساسية : هذه التكاملات مستنتجه من جدول قوانين التفاضل المذكور سابقا . وللتأكد من صحة أى تكامل تحسب مشتقته فنحصل على موضوع التكامل : التكامل Integral موضوع التكامل Integrand

مثال (8-3): مثال (8-4): مثال (8-5): مثال (8-6):

مثال ( 8-7): مثال ( 8-8) : مثال (8-9): مثال (8-10): مثال (8-11):

-2 بعض التكاملات القياسية العامـة : أولا : صورة التكاملات الآتية: نعلم من التفاضل أن :

والقانون (1) صحيح لجميع قيم n ما عدا القيمة الوحيدة n=-1 إذ أنه بتطبيقه على هذه الحالة الخاصة يعطى نتيجة ليس لها معنى معين ، غير أننا نعلم من التفاضل أن الدالــــــــــــة: ln (x+b) هي الدالة التي مشتقتها الأولى بالنسبة إلى (x) تساوى وعلى ذلك تكون :

كذلك نعلم من التفاضل أن: والقانون ( 3 ) صحيح لجميع قيم n ما عدا القيمة الو حيدهn= -1 وفى هذه الحالة الخاصة نرى كما سبق أن:

مثال (8-11): مثال (8-12):

ثانيا : قياسا على القواعد السابقة يمكننا إيجاد التكاملات القياسية العامة التالية :

أمثلــــه:

-3 تكامل الدوال المثلثيه: أولا : الدوال المثلثيه الأساسيه :

مثال (8-13): مثال (8-14):

مثال (8-15): إوجد قيمة :

ثانيا : تكاملات مربعات الدوال المثلثية الأساسية :

مثال (8-16): إوجد: الحـــــل

مثال (8-17): أوجد: الحـــــل

ثالثا : تكاملات حواصل ضرب الدوال المثلثية : لتقييم التكاملات الأتيه: نحول حاصل الضرب إلى مجموع باستخدام إحدى المتطلبات التالية :

أمثله محلوله:

7-3-1 التكامل بالتعويض : ( تحويل المتغير ) : -3 طرق التكامل : 7-3-1 التكامل بالتعويض : ( تحويل المتغير ) : Integration by substitution (Change of variable) نفرض أن المطلوب إيجاد التكامل وقد تعذر تعيين الدالة المقابلة للدالةF(x) مع علمنا أنها تتواجد فنحول المتغير في التعبير تحت علامة التكامل بوضع: داله مستمرة لها مشتقة مستمرة ودوال عكسية فيكون : حيث والمقصود هنا أننا بعد إجراء التكامل في الطرف الأيمن نعبر عن (u) في الناتج بدلالة (x) في العلاقة (1).

ملاحظات : 1- المفروض في تطبيق القاعدة السابقة أن نختار الدالة بحيث يمكن تقييم التكامل غير المحدود من الطرف الأيمن من المعادلة (2). إلا أنه من الناحية العملية يكون من الأوفق أحيانا أن نجرى عملية تحويل المتغير في الصورة بدلا من وتطبق القاعدة (2) في الاتجاه العكسي أي أن:

- كتطبيق الملاحظة السابقة تعتبر التكاملات التي على الصورة: بوضع نجد أن: من هذا نستخلص القاعدة التالية : إذا كان موضوع التكامل كسرا بسطه هو مشتقة المقام فإن التكامل يكون لوغاريتم المقام مضافا إليه ثابت اختياري .

- تعتبر التكاملات التى على الصورة : بوضع: بذلك نحصل على القاعدة التالية : إذا كان موضوع التكامل كسرا بسطه هو مشتقة المقدار تحت الجذر الموجود فى المقام فإن التكامل يصبح ضعف الجذر الموجود فى المقام مضافا إليه ثابت اختياري .

مثال (8-18): أوجد قيمة : الحــــــل في هذا المثال يمكن جعل البسط تفاضل المقام بضرب الأول في (2) وقسمة التكامل على (2) ينتج أن :

مثال (8-19): إوجد قيمة: الحـــــل

مثال (8-20): إوجد قيمة: الحـــــل

مثال (8-21): إوجد قيمة: الحـــــل

مثال (8-22): إوجد قيمة : الحـــــل مثال (8-23): إوجد قيمة : الحــــــل

مثال (8-24): إوجد قيمة : الحـــــل نجعل البسط مشتقة المقدار تحت الجذر في المقام ينتج أن :

مثال (8-25): إوجد قيمة: الحـــــل

مثال (8-27): إوجد قيمة: الحـــــل

مثال (8-30): احسب التكامل غير المحدود : الحــــــل

مثال (8-31): إوجد قيمة: الحــــــل

-3-2 التكامل بالتجزيء Integration by Parts تعتبر طريقة التكامل بالتجزيء أهم طرق التكامل فبواسطتها يمكننا إيجاد تكاملات حواصل الضرب التي تحتوى على الدوال اللوغاريتمية ln x أو الأسية أو إحدى الدوال المثلثية العكسية أو الدوال الجبرية ونظرية التكامل بالتجزيء هي العملية العكسية لقاعدة المعامل التفاضلي لحاصل ضرب دالتين . وتنحصر في تحويل التكامل المراد إيجاده إلى تكامل آخر أبسط من الأول كما يتضح ذلك مما يأتى: فلقد سبق أن علمنا من التفاضل أن :

وتسمى هذه العلاقة بعلاقة التكامل بالتجزيء وتستعمل بكثرة في تكامل الدوال التي يمكن كتابتها على صورة حاصل ضرب عاملين (u , dv) بشرط أن تكون عملية إيجاد v من du وحساب التكامل أبسط من الحساب المباشر للتكامل الأصلي وإذا لم يمكن إجراء عملية التكامل في الطرف الأيمن من (1) فإنه يمكن استخدام القانون البديل التالي أي نستبدل ترتيب الدوال المطلوب تكامل حاصل ضربها.

مثال (8-33) : إوجد قيمة: الحـــــل من المثال السابق يتضح أن اختيارنا كان موفقا فى فرضنا حيث:

فى حين أننا لو إخترنا بدلا من ذلك مثلا : فإننا نجد أن: والتكامل الأخير أكثر تعقيدا من التكامل الأصلي في الطرف الأيمن ، أي أن هذا الاختيار يؤدى إلى عكس المطلوب.

مثال (8-34) :

مثال (8-35): في التكامل في الطرف الأيمن له صوره مشابهة للتكامل الأصلي خفضت فيه قوة (x) الموجودة . فإذا كررنا التكامل بالتجزيء على التكامل الجديد. نصل في النهاية إلى التكامل التالي وهو من الصور القياسية : وتسمى هذه الطريقة بطريقة الاختزال المتتالي Successive reduction

مثال (8-39):

مثال (8-40):

-4 التكامل المحدود تعريف : سبق أن بينا أن : حيث : (c) ثابت اختياري لا يتوقف على ( x ) ولذلك سمى التكامل السابق بالتكامل الغير محدود لأن قيمة التكامل لا تكون محدودة . وعندما x = a فإن قيمة التكامل تصبح = f (a) + c وعندما x = b فإن قيمة التكامل تصبح = f (b) + c ويكون الفرق بين قيمتي التكامل للدالة المستمرة f(x) ومعرفه في الفترة a , b عندما x = a , x = b هو الفرق بين القيمتين السابقتين.

أي أن: ( f ( b ) + c ) - ( f (a) + c ) أي تساوى f (b ) - f (a ) حيث a < b ولهذه قيمه معينه مهما كانت قيمة الثابت (c) ويكتب التكامل فى هذه الحالة على الصورة: ويقرأ تكامل f(x) بالنسبة إلى x من a إلى b وتسمى (a) النهاية السفلي, (b) النهاية العليا للتكامل . ويتضح من ذلك أنه لتقدير أى تكامل محدود نوجد أولا التكامل غير المحدود المناظر له ثم نعوض فيه أولا بقيمة النهاية العليا ثم نعوض ثانيا بقيمة النهاية السفلي. ونطرح النتيجة الثابتة من الأولى كما يتضح من الأمثلة التالية

مثال (8-41): إوجد : مثال (8-42): إوجد قيمة: الحـــــل

مثال (8-43): إوجد قيمة: الحـــــل

مثال (8-44): إوجد قيمة : الحـــــل

مثال (8-45): إوجد قيمة: الحــــــل

Put x1 - x0 = a x1 x2 - x1 = a x2 xn - xn-1 = axn -4-2 المعنى الهندسى للتكامل المحدود : Y x0 x1 x2 xn-1 xn X نفرض أن y = f ( x) داله مستمرة معرفة في الفترة [a , b] كما في الشكل المبين . نقسم الفترة a , b إلى n من الأقسام (ليست بالضرورة متساوية ) بالنقط:x0 ,x1, ...xn m1 M1 a b Put x1 - x0 = a x1 x2 - x1 = a x2 xn - xn-1 = axn نرمز لأصغر وأكبر قيمه للدالة فى الفترة x0 , x1 بالرمز M1 , m1 وفى الفترةx1 , x2 بالرمز M2 , m2 وفى الفتره xn-1 , xn بالرمز Mn , mn وتكون المجموعتين :

يسمى المجموع Sn المجموع الأدنى ( للتكامل ) كما يسمى يمثل مجموع مساحات المستطيلات التي تغطى المنحنى بأكمله.

وإذا إخترنا نقطه فى كل من الفترات: [x0 , x1] , [x2 , x1], [xn-1 , xn] وسميناها 1, 2, …n على الترتيب كما فى الشكل المقابل حيث x0<1<x1,… xn- 1 <n<xn Y x01x1 2 x2 xn-1 n xn X نوجد قيمة الدالة عند النقط المختارة أي: f(n ), .. f (1) ويكون المجموع :

يسمى هذا المجموع بمجموع التكامل Integral sum للدالة f (x) في الفترة [a , b] وحيث أنه لأية قيمه اختياريه i في الفترة [xi-1 , xi] ويكون : وكل xI = 0 فإنه ينتج أن: mi xi  f (i) xi  Mi xi وبالجمع لجميع قيم i نحصل على :

نفرض أننا أجرينا عمليات تقسيم مختلفة للفترة [a , b] واعتبرنا اختيارات مختلفة للنقط i وحسبنا في كل مره المجموع f(i) xi وأخذنا نهاية هذا المجموع عندما max x  0 ووجدنا في جميع الحالات أن نهاية المجموع تكون دائما واحده فإننا نقول أن الدالة قابله للتكامل Integrable في الفترة [a , b] ونسمى النهاية الواحدة التي حصلنا عليها التكامل المحدود definite integration للدالة f(x) في الفترة [a , b] ويرمز له بالرمز: وتكتب:

يسمى العدد a النهاية السفلي للتكامل , b النهاية العليا للتكامل , كما تسمى الفترة [a , b] فترة التكامل والحرف x متغير التكامل. من الواضح أننا إذا اعتبرنا (في التقسيمات المختلفة للفترة) المجموع الأدنى Sn والمجموع الأعلى للتكامل عندما max x  0 فإن هذه المجاميع تؤول أيضا إلى نفس النهاية في المجاميع Sn أي إلى التكامل المحدد للداله f(x) .

وإذا رسمنا منحنى موضوع التكامل y = f(x) وكانت f(x) 0 فإن التكامل: يساوى عدديا المساحة المحددة بالمنحنى من أعلى والمستقيمين x = b , x = a ومحور x.

تغيير نهايتى التكامل أو (تحويل المتغير ): سبق أن عرفنا في التكامل بالتعويض بأنه يلزم في بعض التكاملات الغير محدودة. التعويض عن متغير التكامل بمتغير آخر ثم نعود بعد إجراء التكامل بوضع الناتج بدلالة المتغير الأصلي. وكثيرا ما يكون هذا التحويل إلى المتغير الأصلي معقدا , لذلك يمكن تغيير نهايتي التكامل وذلك بالتعويض عن قيمتي نهايتى التكامل اللتين يأخذهما المتغير الأصلي بالقيمتين المناظرتين اللتين يأخذهما المتغير الجديد كما يظهر ذلك من المثال التالي: إحسب قيمة: الحـــل

بعض الخواص الأساسيه للتكامل المحدود : أولا : وضع نهايتي التكامل المحدود كل محل الأخير يغير إشارته أى أن : البرهان : وفى حالة a = b يكون

ثانيا : يمكن تقسيم التكامل المحدود إلى أى عدد من التكاملات المحدوده فمثلا : لأية أعداد c , b , a تتحقق المتساويه . ثالثا : يمكن أخذ المعامل الثابت خارج علامة التكامل المحدد : رابعا : التكامل المحدد لمجموع جبري من دوال متعددة يساوى المجموع الجبري لتكاملات هذه الدوال ..... ففي حالة دالتين يكون :

خامسا : إذا كانت f ( x ) داله زوجيه مستمره فى الفتره ( - b , b ) فإن: الإثبات :

بإجراء التحويل dx = - du , x = -u نجد أن : فإذا كانت f(x) زوجيه يكون f(x) = f(-x) وبالتالى نحصل على ( 1 ) أما إذا كانت f(x) فرديه فإن f(-x) = -f(x) ونحصل على ( 2 ) .

أمثـــــــــــــله : ( 1 ) لأن x3 داله فرديه لأن الداله فرديه أيضاً: لأن x4 داله زوجيه:

- تطبيقات على التكامل المحدد Y (x , y) a x b XY -1 مساحة الأشكال المستخدمة: أولا: مساحة الأشكال المستوية المحدودة بمنحنى ومحور السينات لإيجاد مساحة الأشكال المستوية المحدودة بمنحنى y = f(x) ومحور السينات ومستقيمين متوازيين لمحور الصادات هما x=a, x=b نأخذ أي نقطة على المنحنى مثل (x,y) وتعتبر جزءا من المساحة على شكل مستطيل طوله y وعرضهx فتكون المساحة بالتقريب هي:

وتكون مساحة الشكل وبالتعويض عن y بدلالة x من معادلة المنحنى تنتج المساحة المطلوبة وهي:

احسب المساحة المظللة في الشكل المقابل والمحصورة بين مثال (9-1): احسب المساحة المظللة في الشكل المقابل والمحصورة بين المنحنى y = x2 ومحور x من x = 1 , x = 2 Y y = x2 A 1 2 X الحـل: إذا رمز المساحة المطلوبة بالرمز A فإن

أوجد المساحة المحددة بالمنحنى y = 4-x2 ومحور السينات مثال (9-3): أوجد المساحة المحددة بالمنحنى y = 4-x2 ومحور السينات Y (x , y) -2 x 2 X الحـل: المنحنى عبارة عن قطع مكافئ يقطع السينات في النقطتين 2 , -2 وذلك بجعل y =0 في معادلة المنحنى. وعلى ذلك فإذا اعتبرنا شريحة على شكل مستطيل قاعدته x وارتفاعه y فإن مساحته A تكون

وتكون المساحة الكلية تحت المنحنى هي: وحيث أن الدالة زوجية فإن المساحة تحسب كما يلي:

ثانيا: إيجاد مساحة المنحنى المحدد بالمنحنى ومحور الصادات إيجاد مساحة المنحنى المحدد بالمنحنى y = f(x) ومحور الصادات y ومستقيمين موازيين لمحور السينات y = L , y = K كما سبق نجد أن A = x. y وتكون المساحة بالتقريب هي: Y Yy y = K (x,y) y K y= L L X وتكون المساحة المضبوطة هي:

مثال (9-4): Y 4 1 X أوجد المساحة المحددة بالمنحنى y3 = 4x ومحور الصادات والمستقيمين y = 1 , y = 4 الحـل:

إذا اعتبرنا إشارة x موجبة فإن حاصل ضرب (y. x) يكون موجب إشارة المساحة إذا اعتبرنا إشارة x موجبة فإن حاصل ضرب (y. x) يكون موجب إذا وقع المنحنى فوق محور السينات و يكون سالب إذا وقع المنحنى تحت محور السينات. وعلى ذلك يكون الجزء FMG موجبا ، GLK سالبا ويكون M F (+) G K (-) X هوتعيين الفرق بين المساحتين. ولإيجاد المساحة المحددة بالمنحنى ومحور السينات يجب تحديد نقطة التقاطع G ثم نوجد المساحتين من F إلى G ومن G إلى K.

وكذلك إذا اعتبرنا إشارة y موجبة فإن حاصل ضرب (x. y) يكون موجب إذا وقع المنحنى على يمين محور الصادات و يكون سالب إذا وقع المنحنى على يساره. وعلى ذلك يكون الجزء FMG موجبا ، GLK سالبا ويكون هو تعيين الفرق بين المساحتين. ولإيجاد المساحة المحددة بالمنحنى ومحور الصادات يجب تحديد نقطة التقاطع G ثم نوجد المساحتين من F إلى G ومن G إلى K ونضيف الناتج حسابيا بصرف النظر عن الإشارة.

أوجد المساحة المحددة بالمنحنى y = x3 - 5 x2 + 6 x ومحور السينات الحـل: مثال (9-5): أوجد المساحة المحددة بالمنحنى y = x3 - 5 x2 + 6 x ومحور السينات الحـل: نوجد أولا نقط تقاطع المنحنى مع محور السينات Y (+) X 2 (-) 3

نوجد المساحة من 0 إلى 2 ومن 2 إلى 4 كل على حدة ثم نجمع المساحتين عدديا.  المساحة الكلية المحددة بالمنحنى AT تساوى المجموع العددي للمساحتين بغض النظر عن الإشارة.

مثال (9-6): أوجد المساحة المحصورة بين المنحنى y3 = 5 x ومحور الصادات والمستقيمين y = 4 , y = -3 الحـل: نوجد نقط تقاطع المنحنى مع محور الصادات بوضع x = 0

نوجد المساحة المحددة بالمنحنى y = 0 , y = -3