دکتر حسين بلندي- دکتر سید مجید اسما عیل زاده بسم ا... الرحمن الرحيم سیستمهای کنترل خطی پاییز 1389 دکتر حسين بلندي- دکتر سید مجید اسما عیل زاده

Recap. Solution of State Space Equation. 2nd Order systems Design Specifications

PERFORMANCE INDICES AND OPTIMAL SYSTEMS

مقدمه سیستم کنترل بهینه : سیستمی است که طراحی آن مقدار یک تابع انتخاب شده بعنوان شاخص عملکرد را بهینه سازی می کند. تفاوت سیستم بهینه با یک سیستم ایده آل : سیستم بهینه بهترین سیستم قابل حصول با وجود محدودیت های فیزیکی است و حال آنکه یک سیستم ایده آل ممکن است یک هدف غیر قابل حصول باشد. شاخص های عملکرد : در طراحی یک سیستم کنترل بهینه، برای تعیین یک تصمیم کنترلي تحت محدودیت های خاص لازم است قانونی پیدا کنیم که معیاری از انحراف از عملکرد ایده آل را به حداقل برساند. آن معیار توسط شاخص عملکرد انتخاب شده فراهم می گردد. لذا شاخص عملکرد تابعی است که مقدار آن بعنوان نشانه ای از میزان تطبیق عملکرد واقعی با عملکرد مطلوب درنظر گرفته می شود.

مقدمه بهينه‌سازي به عنوان هنر بدست آوردن بهترين نتيجه تحت شرايط موجود است كه مي‌تواند در تمام ابعاد سيستم‌هاي مهندسي نظير طراحي، نگهداري و ... مطرح شود. متناسب با اين مطلب تصميمات مديريتي و تکنولوژيکي در سطوح مختلف مطرح مي‌شود که نتيجه نهايي اين نگاه اتخاذ تصميماتي براي کمينه‌سازي يا بيشينه‌سازي پارامترهاي مطلوب مي‌باشد که در وضعيت کاربردي مورد نظر مطرح است. آرزوي انسان براي رسيدن به كمال توضيح فلسفة بهينه‌سازي و تبيين‌کنندة تئوري بهينه‌سازي مي‌باشد

بهينه‌سازي به دنبال بهبود عملكرد در رسيدن به نقطه يا نقاط بهينه است. مقدمه بدين ترتيب بهينه‌سازي به عنوان فرآيندي که متغيرهاي مسئله را به منظور برخورداري از شرايط بهينگي مقدار تابع هدف، پيدا مي‌کند؛ تعريف مي‌شود.باید توجه کرد که: بهينه‌سازي به دنبال بهبود عملكرد در رسيدن به نقطه يا نقاط بهينه است.   معمولاً در الگوريتم‌هاي بهينه‌سازي تمركز بر همگرايي است و اين سوال که آيا روال اتخاذ شده به نقطه بهينه مي‌رسد يا نه!؟  

مي توان هدف از فرآيند‌هاي جستجو را در سه دسته زير بيان كرد: مقدمه توجه به بهينه‌سازي مي‌تواند از منظر مصالحه بين دقت و سرعت در تصميم‌گيري بهينه مورد توجه قرار گيرد. مي توان هدف از فرآيند‌هاي جستجو را در سه دسته زير بيان كرد: بهينه‌سازي يافتن جواب عملي شبه بهينه‌سازي

مقدمه از ديدگاه کنترلي اغلب صنايع داراي پيچيدگي هاي خاص خود هستند: استفاده از كنترل‌كننده‌هاي ساده در آنها بهره‌وري مناسبي نداشته و در بسياري موارد ناكارآمد مي‌باشند. از طرفي گستردگي و پيچيدگي اين صنايع و نيز وابستگي بخش‌هاي مختلف به هم، سبب شده است تا براي پياده‌سازي كنترل‌كننده‌هاي پيشرفته، بستر سخت‌افزاري و نرم‌افزاري پيشرفته نياز باشد كه برون رفت <=======. راهکار: استفاده از ساختارهاي بهينه

History

انواع بهینه سازی On-line Off –line

بهینه سازی Off-line مسئله مجزاي از سيستم مطرح مي‌شود. ارتباطي بين تغييرات و شرايط کنوني سيستم با مسئله وجود ندارد، به عبارت ديگر مسئله از يک ساختار ايستا و ثابت برخوردار است.

بهینه سازی On-line بنابراين ميزان وابستگي مسئله به تغييرات سيستم و سطح بهينه‌سازي، در انتخاب روش‌هايي سريع و درعين حال قدرتمند براي حل دستگاه‌هاي معادلات با پيچيدگي بالا را بسيار حائز اهميت است مسئله به علت تعامل با سيستم مورد نظر داراي ماهيت متغير مي‌باشد و به شرايط و تغييرات سيستم وابسته است . از داده‌هاي موجود در سيستم براي طرح و تعريف مسئله استفاده مي‌کند .

در بخش بهينه‌سازي On-line : سرعت و دقت براي پيداکردن نقاط بهينة فرآيند در هرلحظه باتوجه به شرايط از اهميت مضاعفي برخوردار مي‌باشد. بکارگيري کامپيوترهاي سريع و ارائه مسئله‌اي استاندارد و در عين حال فراگير مورد توجه قرار مي‌گيرد . براي اجتناب از معادلات پيچيده فعاليت هاي زير را انجام مي دهيم: 1- فرض‌هاي ساده کننده و معقول 2- برخي چشم پوشي‌ها و صرف‌نظر کردن‌ها 3- تقريب و خطي سازي مدل

زیر بخش های سیستم بهينه‌سازي on-line بخش بهینه سازی بخش کنترل بخش فرآیند

مراحل کار ابتدا سنسورها مقادير متغيرها را از فرآيند در حال کار مي‌گيرند . بعد از حذف اغتشاشات به عنوان پارامترهاي ورودي بهينه‌گر مورد استفاده قرار مي‌گيرند. بهينه‌گر بهترين جواب ممکن را با توجه به شرايط کاري فرآيند تعيين مي‌کند و اين جواب به عنوان مقادير پايا در کنترل کننده‌ها در آمده و به فرآيند برمي‌گردد.

گام‌هاي بهينه‌سازي On-Line مرحلة 1: شناسايي حالت ماندگار مرحلة 2: اعتبار سنجي داده و مصالحه در مسئله مرحلة 3: تخمين پارامتر مرحلة 4: بهينه سازي نتيجه جهت بدست آوردن سيستم بهينه مرحلة 5: اعمال

مراحل فرمول بندي و حل مسائل بهينه‌سازي On-Line مرحله1: شناسايي متغيرهاي فرآيند مرحله2: انتخاب تابع هدف مرحله3: توسعة مدل فرآيند و توصيف قيود. مرحله4: ساده‌سازي مدل و تابع هدف مرحله5: محاسبة نقطة بهينه مرحله6: انجام بررسي‌هاي حساسيت

AUTOMATION AREA Management objectives BUSSINES DOMAIN Product opportunities, sales, pricing, Logistics Feedstock selection,Pricing, Purchasing, Logistic Process simulation Model Performance Monitoring Accruing Data Reconciliation (DR) Central Historian On-line Optimization Scheduling Planning DCS Historian Interface MVC/APC Physical Processing Unit Historian nterface APC layer DCS layer Physical Plant layer BUSSINES DOMAIN PLANT DOMAIN

BUSINESS DOMAIN OBJECTIVES

SUPPLY CHAIN MANAGEMENT ENTERPRISE RESOURCE PLANNING

CONTROL HIERARCHY TYPICAL TIMING

Typical Cost/Benefit Relation due to Plant Domain Automation based on Automation Level

موارد مورد نیازبرای مسائل کنترل بهينه معادلات سیستم بازه بردارهای مجاز کنترل محدودیت های بر روی مسئله شاخص عملکرد پارامترهای سیستم حل مسئله کنترل بهینه، تعیین بردار کنترل بهینه u(k) در میان بازه بردارهای مجاز کنترل است. این بردار به عوامل زیر بستگی دارد : ماهیت شاخص عملکرد ماهیت محدودیت ها حالت اولیه یا خروجی اولیه حالت مطلوب یا خروجی مطلوب هدف در کنترل بهينه بدست آوردن سيگنال کنترل بهينه است. منظور از بهينه كردن، ممكن است كمينه سازي يا بيشنه سازي باشد.

در اتوماسيون صنعتي: کنترل کننده‌اي متناسب با نوع فرآيند استفاده می شود که: عملکرد مطلوب را براي فرآيند پيگيري مي کند پارامترهاي كنترل‌كننده‌ بايستي با توجه به تغييرات سيستم مجدداً تنظيم شوند که اين كار با يك عمليات بهينه‌سازي بر روي كنترل‌كننده صورت مي‌پذيرد. طول بازة تعريف شده براي بهينه سازي با توجه به ساختار On Line مي‌بايست مورد توجه قرار گيرد.

انواع متعارف مسائل بهينه‌سازي در اتوماسيون صنعتي 1- شرايط عملياتي: دماي راکتور 2- تخصيص: بکارگيري سوخت، انتخاب خوراک موجود 3- طرح ريزي: تميزکاري

دست‌يابي به توليد محصول با خلوص بيشتر و بازدهي بالاتر جايگاه بهينه‌سازي بهنگام در اتوماسيون صنعتي باتوجه به تغيير پارامترهاي پوياي فرآيند در طول زمان و غيرخطي بودن و متغير با زمان بودن سيستم دست‌يابي به توليد محصول با خلوص بيشتر و بازدهي بالاتر گسترش بهينه‌سازي On-line

در نگاهي فراتر از کنترل فرآيند که بحث در مورد غلبه بر اغتشاش و نوع تغيير نقطة پاياي فرآيند مورد توجه قرار مي‌گيرد بهينه‌سازي بهنگام براي محاسبة مجدد نقطة بهينه در شرايط جاري مطرح مي‌شود که با توجه به نيازمندي هاي سيستم و مسئله مي تواند از يک ساعت تا يک روز باشد. بنابراين در اين سطح به حل تکراري يک مسئله بهينه‌سازي حات ماندگار مقيد روي مي‌آوريم

مثال: توابع هدف در صنايع پتروشيمي کمينه‌سازي مصرف انرژي کمينه‌سازي حداکثر نياز خنک‌سازي کمينه‌سازي فشار بيشينه‌سازي ميزان جداسازي کمينه‌سازي ضايعات و مواد مضر و ...

بررسي توابع معيار(شاخص عملكرد) مسئله حداقل زمان مسئله کنترل وضعيت نهايي مسئله کنترل حداقل تلاش مسئله تعقيب و رديابي مسئله تنظيم کننده

مسئله حداقل زمان برای انتقال سیستمی از شرایط اولیه دلخواه به یک مجموعه هدف S در حداقل زمان، تابعی معیاری که باید حداقل شود را به صورت زیر در نظر می گیریم.

مسئله کنترل حداقل تلاش در واقع منظور از مسئله کنترل حداقل تلاش، انتقال سیستمی از یک وضعیت اولیه به مجموعه هدف مشخص شده با مصرف حداقل نیروی کنترل می باشد. به عنوان نمونه، تابعی معیار برای حداقل کردن مصرف سوخت

مسئله تعقيب و رديابي نزدیک کردن و نگه داشتن حالت های سیستم ( ) تا حد ممکن به وضعیت مطلوب در بازه ی زمانی را مسئله ردیابی(تعقیب) گویند. :ویژگی های ماتریس Q(t) 1- ماتریس حقیقی و متقارن است. 2- یک ماتریس نیمه معین مثبت است.

مسئله کنترل وضعيت نهايي هدف، حداقل کردن انحراف وضعیت نهایی سیستم از یک مقدار مطلوب می باشد. تابع معیار با توجه به این هدف، به صورت زیر است:

مسئله تنظيم کننده مسئله تنظیم کننده در واقع حالت خاص مسئله ردیابی(تعقیب کننده) است که تمام حالت های مورد نظر سیستم باید به صفر ختم شوند.

نمايش کلي تابعي معيار زماني که مي گوييم سيگنال کنترل بهينه سبب مي شود که تابعي معيار حداقل شود، بدان معني است که نامساوي زير هميشه برقرار باشد.

مدل رياضي يك مسئله كنترل بهينه در حالت كلي: تابعي معيار را با نمايش مي دهند، تابعي معيار در نهايت يک عدد حقيقي نتيجه مي دهد که يک معيار مقايسه است. سيگنال كنترلي كه در تمام مدت در محدوديت هاي كنترل صدق نمايد، به كنترل قابل قبول معروف است.

The resulting system is termed optimal with respect to the selection criteria. Parameter Adjuster Performance index

Simplified description of a control system

Performance Indices Elevator

Elevator input and output When the fourth floor button is pressed on the first floor, the elevator rises to the fourth floor with a speed and floor level accuracy designed for passenger comfort. Push of the fourth-floor button is an input that represent a desired output, shown as a step function. The performance can be seen from elevator response curve in the figure.2 Two major measures of performance are apparent : the transient response and the steady-state error. Passenger comfort and passenger patience are dependent upon the transient response. If this response is too fast, passenger comfort is sacrificed; if too slow, passenger patience is sacrificed. The steady-state error is another important specification since passenger safety and convenience would be sacrificed if the elevator is not properly level. When the fourth floor button is pressed on the first floor, the elevator rises to the fourth floor with a speed and floor level accuracy designed for passenger comfort.

Push of the fourth-floor button is an input that represent a desired output, shown as a step function.

Transient response Passenger comfort and passenger patience are dependent upon the transient response. If this response is too fast, passenger comfort is sacrificed; if too slow, passenger patience is sacrificed. Two major measures of performance : the transient response and the steady-state error.

Steady-state error Passenger safety and convenience would be sacrificed if the elevator is not properly level.

Response of the system

ISE - Integral of Square of Error The upper limit T is a finite time chosen somewhat arbitrarily so that the integral approaches a steady-state value. It is usually to apply the settling time Ts.The criterion will discriminate excessively overdamped systems and excessively underdamped systems. The minimum value of the integral occurs for a compromise value of the damping.

The Integral Squared Error

Example 1: Mason’s Rule: Error transmittance: Error to step input:

Error signal: Error square: Integral square error :

Example 2:

IAE - Integral of the Absolute Magnitude of the Error This index is particularly useful for computer simulation studies.

ITAE - Integral of Time Multiplied by Absolute Error In order to reduce the contribution of large initial error to the value of the performance integral, as well as to place an emphasis on errors occurring later in the response. Provides the best selectivity of the performance indices; that is, the minimum value of the integral is readily discernible as the system parameters are varied.

ITSE - Integral of Time Multiplied by Squared Error

General form of the performance integral Where f [.] is a function of the error, input, output, and time. Cleary, one can obtain numerous indices based on various combinations of the system variables and time.

In general:

Performance criteria A single-loop feedback control system is shown in Fig.a , where the natural frequency is the normalized value, wn=1. Calculate three performance indices for various values of damping ratio.

Steady-state tracking & sys. types

Steady-State Error Steady-state error is defined as the difference between the input and output of a system in the limit as time goes to infinity (i.e. when the response has reached the steady state). The steady-state error will depend on the type of input (step, ramp, etc) as well as the system type (0, I, or II). Note: Steady-state error analysis is only useful for stable systems. It is your responsibility to check the system for stability before performing a steady-state error analysis. Many of the techniques that we present will give an answer even if the system is unstable; obviously this answer is meaningless for an unstable system.

Calculating steady-state errors Before talking about the relationships between steady-state error and system type, we will show how to calculate error regardless of system type or input. Then, we will start deriving formulas we will apply when we perform a steady state-error analysis. Steady-state error can be calculated from the open or closed-loop transfer function for unity feedback systems.

The Different Errors Percent Overshoot Settling Time Rise Time Steady-State Error Settling Time Demonstration illustrating why performance is vital when dealing with control.

Calculating steady-state errors Steady-state error can be calculated from the open or closed-loop transfer function for unity feedback systems. For example, let's say that we have the following system:                                                                  which is equivalent to the following system:                                                        

We can calculate the steady state error for this system from either the open or closed-loop transfer function using the final value theorem (remember that this theorem can only be applied if the denominator has no poles in the right-half plane):                                                                   

Now, let's plug in the Laplace transforms for different inputs and find equations to calculate steady-state errors from open-loop transfer functions given different inputs: Step Input (R(s) = 1/s):                                                                             Ramp Input (R(s) = 1/s2):                                                                    Parabolic Input (R(s) = 1/s3):                                                                      

Lastly, we can calculate steady-state error for non-unity feedback systems:                                                                  By manipulating the blocks, we can model the system as follows:                                                                            Now, simply apply the equations we talked about above.

In General: Unity feedback control: plant + e r(s) y(s) C(s) G(s) - + Go.l.(s) y(s) -

r(t) t

r(t) t

r(t)=R·1(t) r(s)=R/s r(t)=R·t·1(t) r(s)=R/s2 r(t)=R·1/2·t2 r(s)=R/s3 type 0 (N=0 a0≠0) Kp=b0/a0 ess=R/(1+Kp) Kv=0 ess=∞ Ka=0 type 1 (N=1 a0=0 a1≠0 b0≠0 ) Kp= ∞ ess=0 Kv=b0/a1 ess=R/Kv type 2, N=2 a0=a1=0 a2≠0,b0≠0 Kv= ∞ Kp=b0/a2 ess=R/Ka type≥3, N ≥ 3 a0=a1=a2=0 b0≠0 Ka= ∞ ref. input sys. type

Example of tank + C H -

r(s) + Kps+KI s + - r(s) e ωn2 s(s+2ξ ωn) 1 Ts+1 e.g.

example e(s) y(s) r(s) G(s)