کنترل پیش بین سیستم های هایبرد و واقعه گسسته ارائه دهنده: شهرام بهمردی کلانتری استاد درس: دکتر توحیدخواه زمستان 89

مقدمه ای از کنترل پیش بین کلاسیک 1 کنترل پیش بین وقایع گسسته 2 کنترل پیش بین سیستم های هایبرید 3 نتیجه گیری 4

کنترل پیش بین سیستم­های کلاسیک این روش از صنعت وارد علم کنترل شد. روش کنترل پیش­بین مبتنی بر مدل(MPC) از اواخر دهه­ی 1970 به طور قابل ملاحظه­ای شروع به رشد کرد. MPC یک روش یگانه نیست و یک مجموعه روش­های مختلف راپوشش می دهد.

کنترل پیش بین سیستم­های کلاسیک تخمین خروجی آینده سیستم تشکیل تابع هزینه جهت بهینه سازی بدست آوردن دنباله کنترلی از مینیمم سازی و اعمال تنها اولین سیگنال آن تکرار فرآیند با ورود اندازه گیری جدید

کنترل پیش بین سیستم­های کلاسیک الگوريتم‌هاي مختلف كنترل پيش‌بين تنها از نظر موارد زير با يكديگر تفاوت دارند: مدل نوع تابع هزينه‌اي

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته مشخصات ويژة يك سيستم وقايع گسسته اين است كه دینامیک آن به جاي حركت در زمان با وقايع هدایت مي‌شود. مثال‌هاي معمول سيستم‌هاي توليد قابل انعطاف، شبكه‌هاي مخابراتي، سيستم‌هاي پردازش موازي، سيستم‌هاي كنترل ترافيك و سيستم‌هاي منطقی هستند. براي يك سيستم توليد وقايع ممكن شامل: تكميل بخشي از يك ماشين، خرابي ماشين، يا خالي شدن بافر یا ورود قطعه مي‌باشد.

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته تعداد زيادي مدلسازی و چهارچوب‌هاي تحليلي براي سيستم‌هاي وقايع گسسته مثل شبكه‌هاي Petri-net، ماشين‌هاي حالت متناهي، شبكه‌هاي صفي، اتوماتا، ماشين‌هاي حالت گسترش­یافته، پروسه­های شبه ماركوف، جبر max-plus و... وجود دارند. سيستم‌هاي وقايع گسسته‌اي كه در آنها تنها synchronization و نه cocurrency اتفاق مي‌افتد را مي‌توان با دو عمل ماكزيمم كردن و جمع مدل كرد. Maxplus Algebra

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته دو عمل اصلي جبر max-plus ماكزيمم كردن و جمع است كه با ⊗,⊕ به ترتيب نشان داده خواهند شد. 𝑥⊕𝑦=max(𝑥,𝑦)        &        𝑥⊗𝑦=𝑥+𝑦 𝑥,𝑦∈ ℝ 𝜀 = 𝑑𝑒𝑓 ℝ∪ −∞ 𝜀=−∞

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته عملیات ماتریسی 𝐴⊕𝐵 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 ⊕ 𝑏 𝑖𝑗 =max( 𝑎 𝑖𝑗 , 𝑏 𝑖𝑗 𝐴⊗𝐶 𝑖𝑗 = ⊕ 𝑘=1 𝑛 𝑎 𝑖𝑘 ⊗ 𝑐 𝑘𝑗 = max 𝑘 ( 𝑎 𝑖𝑘 + 𝑐 𝑘𝑗 𝐴 ⊗ 0 = 𝐸 𝑛     ,     𝐴 ⊗ 𝑘 =𝐴⊗ 𝐴 ⊗ 𝑘−1             𝑓𝑜𝑟      𝑘=1,2,...

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته تک ماشین بدون حلقه

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته ui(k): زمانی که k-امین قطعه از نوع i که i=1,…,p آماده برای پردازش توسط ماشین است. ­yj(k): زمانی که در آن k-امین قطعه از نوع j که j=1,2,…,q از سیستم خارج می­گردد. S­i(k): زمان سرویس مورد نیاز توسط ماشین برای پردازش k-امین قطعه از نوع i که i=1,…,q. xi(k): زودترین زمانی که ماشین پردازش k-امین قطعه از نوع i که i=1,…,q تمام می­کند که بدان زمان تکمیل k-امین قطعه نوع i اطلاق می­گردد.

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته U(k): k-امین بردار زمان­های ورودی است که به صورت زیر تعریف می­گردد. 𝑈(𝑘)= 𝑢 1 (𝑘 𝑢 2 (𝑘 ⋯ 𝑢 𝑞 (𝑘 𝑇 X(k): k-امین بردار زمان­های تکمیل یا بردارهای حالت است که به صورت زیر تعریف می­گردد. 𝑋(𝑘)= 𝑥 1 (𝑘 𝑥 2 (𝑘 ⋯ 𝑥 𝑞 (𝑘 𝑇 Y(k): k-امین بردار زمان­های خروجی است که به صورت زیر تعریف می­گردد. 𝑌(𝑘)= 𝑦 1 (𝑘 𝑦 2 (𝑘 ⋯ 𝑦 𝑞 (𝑘 𝑇 =𝐶𝑋(𝑘

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته با فرض کنید p=q، ماشین تنها زمانی قادر به شروع کار بر روی قطعه (k+1)-ام نوع 1 است که (k+1)-امین قطعه نوع 1 آماده برای پردازش بوده و همچنین ماشین k-امین عمل خود را بر روی قطعه نوع q صورت داده باشد. 𝑥 1 (𝑘+1)=max( 𝑢 1 (𝑘+1), 𝑥 𝑞 (𝑘))+ 𝑆 1 (𝑘+1          = 𝑆 1 (𝑘+1)⊗ 𝑢 1 (𝑘+1)⊕ 𝑆 2 (𝑘+1)⊗ 𝑥 𝑞 (𝑘 𝑥 𝑖 (𝑘+1)=max( 𝑢 𝑖 (𝑘+1), 𝑥 𝑖−1 (𝑘))+ 𝑆 𝑖 (𝑘+1          = 𝑆 𝑖 (𝑘+1)⊗ 𝑢 𝑖 (𝑘+1)⊕ 𝑆 𝑖 (𝑘+1)⊗ 𝑥 𝑖−1 (𝑘)        𝑓𝑜𝑟     𝑖=2,3,...,𝑞

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته 𝜙(𝑘)= 𝜀 𝜀 𝜀 ⋯ 𝜀 𝑆 2 (𝑘+1 𝜀 𝜀 ⋯ 𝜀 𝜀 𝑆 3 (𝑘+1 𝜀 ⋯ 𝜀 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 𝜀 … 𝜀 𝑆 𝑞 (𝑘+1 𝜀 𝐴 𝑘 = 𝜀 ⋯ 𝜀 𝑆 1 (𝑘+1 𝜀 ⋯ ⋯ 𝜀 ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 𝜀 ⋯ ⋯ 𝜀 𝐵 (𝑘)= 𝑆 1 (𝑘+1 𝜀 ⋯ 𝜀 𝜀 𝑆 2 (𝑘+1 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 𝜀 𝜀 ⋯ 𝜀 𝑆 𝑞 (𝑘+1

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته 𝑋(𝑘+1)=𝜙(𝑘)⊗𝑋(𝑘+1)⊕ 𝐴 (𝑘)⊗𝑋(𝑘)⊕ 𝐵 (𝑘)⊗𝑈(𝑘+1 𝐴(𝑘)= 𝜙 ∗ (𝑘)⊗ 𝐴 (𝑘 𝐵(𝑘)= 𝜙 ∗ (𝑘)⊗ 𝐵 (𝑘 𝜙 ∗ (𝑘)= 𝜙 𝑞−1 (𝑘)⊕ 𝜙 𝑞−2 (𝑘)⊕...⊕𝜙(𝑘)⊕𝐸 𝐸= 0 𝜀 ⋯ 𝜀 𝜀 0 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 𝜀 𝜀 ⋯ 𝜀 0

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته 𝐴(𝑘)= 𝜀 𝜀 𝜀 𝑆 1 (. 𝜀 𝜀 𝜀 𝑆 1 (.) 𝑆 2 (. 𝜀 𝜀 𝜀 𝑆 1 (.) 𝑆 2 (.) 𝑆 3 (. 𝜀 𝜀 𝜀 𝑆 1 (.) 𝑆 2 (.) 𝑆 3 (.) 𝑆 4 (. 𝐵(𝑘)= 𝑆 1 (. 𝜀 𝜀 𝜀 𝑆 1 (.) 𝑆 2 (. 𝑆 2 (. 𝜀 𝜀 𝑆 1 (.) 𝑆 2 (.) 𝑆 3 (. 𝑆 1 (.) 𝑆 2 (. 𝑆 3 (. 𝜀 𝑆 1 (.) 𝑆 2 (.) 𝑆 3 (.) 𝑆 4 (. 𝑆 2 (.) 𝑆 3 (.) 𝑆 4 (. 𝑆 3 (.) 𝑆 4 (. 𝑆 4 (. 𝑋(𝑘+1)=𝐴(𝑘)⊗𝑋(𝑘)⊕𝐵(𝑘)⊗𝑈(𝑘+1

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته

𝑦 (𝑘)=𝐻⊗ 𝑢 (𝑘)⊕𝑔(𝑘

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته یک ترجمه مستقیم ولی نامناسب 𝐽 𝑜𝑢𝑡 (𝑘)= 𝑦 (𝑘)− 𝑟 (𝑘 𝑇 ⊗ 𝑦 (𝑘)− 𝑟 (𝑘 =2 ⊕ 𝑗=1 𝑁 𝑝 ⊕ 𝑖=1 𝑙 𝑦 (𝑘+𝑗|𝑘)− 𝑟 𝑖 (𝑘+𝑗 =2 max 𝑗=1,..., 𝑁 𝑝 max 𝑖=1,...,𝑙 𝑦 (𝑘+𝑗|𝑘)− 𝑟 𝑖 (𝑘+𝑗 اين تابع هدف اجباري براي تفاوت بين خروجی و ورودی مرجع ندارد كه كوچك باشد از آنجائيكه هيچ قدرمطلقي در آن وجود ندارد. بنابراين در عمل خيلي مفيد واقع نمي‌شود.

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته توابع هزینه برروی خروجی 𝛥 2 𝑦 (𝑘)= 𝑦 (𝑘)−2 𝑦 (𝑘−1)+ 𝑦 (𝑘−2

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته توابع هزینه برروی ورودی 𝐽 𝑖𝑛,Σ =− 𝑗=1 𝑁 𝑝 𝑖=1 𝑚 𝑢 𝑖 (𝑘+𝑗−1 𝐽 𝑖𝑛,𝛥 =− 𝑗=1 𝑁 𝑝 −1 𝑖=1 𝑙 | 𝛥 2 𝑢 𝑖 (𝑖𝑘+𝑗 |

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته مشروط به: اين مسئله را مسئلة MPL MPC مي‌نامند.

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته الگوريتم‌هاي حل مسئلة MPL MPC بهينه‌سازي غير خطي: روش‌هاي بهينه‌سازي محلي غيرمحدب غيرخطي با چند نقطه آغازي استاندارد روش ELCP: 𝜑 𝑖 = 𝑗| ℎ 𝑖𝑗 ≠𝜀 توابع هدف به طور يكنواخت غيرنزولي: با تعدیل سازی مسئله را به فرم ساده تری درآورد و حل کرد.

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته مسئله زمان شمارنده رخداد k به طور مستقیم با یک زمان خاص در ارتباط نمی­باشد. قبلا فرض بر این بود که موقعی که بهینه­سازی برای یافتن ورودی­های کنترلی آینده صورت می­گیرد، تمامی عناصر x(k) در دسترس می­باشند. در عمل تمامی عناصر x(k) به طور همزمان در یک لحظه خاص شناخته شده نیستند.

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته l(t) را کوچکترین عدد صحیحی بگیرید که رابطه [xtrue(k-l(t))]i<t برای تمامی i=1,…,n برقرار باشد. اگر [xest(k-l(t))]i=[xtrue(k-l(t))]i تعریف کنیم می­توان حالت­های نامعلوم را با استفاده از رابطه بازگشتی زیر تخمین زد.

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته برای عناصر 𝑢 (𝑘−𝑙(𝑡)+𝑗−1,𝑡)   که کمتر از t می­باشند، زمان­های ورودی­های اعمال­شده واقعی در فرمول وارد می­گردد و برای بقیه عناصر مقادیر محاسبه شده از مسئله بهینه سازی مرحله قبل لحاظ می­شوند. نهایتا مقادیر حالت­ها که برای محاسبه کنترلر MPL-MPC در زمان t مورد نیاز است به صورت زیر است:

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته تنظیم پارامترها انتخاب دنباله ورودی مرجع r(k): شیب آن متناسب با ماکزیمم مقدار ویژه سیستم در حوزه maxplus می باشد. 𝐴⊗𝜐=𝜆⊗𝜐 𝜆 ∗ =max 𝐴 ⊗ 𝑘 𝑖𝑖 𝑘 :𝑖,𝑘∈ ℕ 1,𝑛

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته 𝜆=0 یا 𝜆<0 باعث سرریزشدن بافر ورودی می شود. برای معیار عملکرد ورودی(Jin) در فرایند بهینه­سازی غالب شده که به ماکزیمم­سازی ورودی کنترلی می­انجامد. در نتیجه ورودی در نبود یک حد بالا نامتناهی خواهد شد و به تاخیر خروجی نامحدود(y(k)-r(k)) منجر می­گردد. به این ترتیب پارامتر باید نابرابری ارضا نماید و معمولا تا جایی که ممکن است کوچک انتخاب می­گردد.

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته بازه [1,Np] باید دینامیک بحرانی پروسه و نیز اطلاعات مهم ورودی مرجع را در بر گیرد. برای حصول اطمینان از اینکه تمامی دینامیک­های بحرانی در افق پیش­بین در نظر گرفته شده­اند، یک حد پایین برای افق پیش­بین می­تواند طول پاسخ ضربه سیستم باشد. دنباله 𝑒(𝑘 𝑘=0 ∞ با 𝑒(0)=0و 𝑒(𝑘)=𝜀یک ضربه واحد جبر maxplus است. دنباله خروجی که از اعمال ضربه واحد به سیستم MPL بدست می­آید، پاسخ ضربه سیستم نامیده می­شود.

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته N­c را معمولا برابر با مرتبه سیستم در نظر می­گیرند که از نظر محاسباتی نیز کار را ساده می­نماید. انتخاب افق بزرگتر زمانی که محدودیت­های سخت بر روی سیستم داشته باشیم می­تواند جذاب باشد. از طرفی افق پیش­بین کوچکتر مقاوم­تر بودن سیستم در برابر خطای مدلسازی را در پی خواهد داشت. انتخاب N­c=1 اغلب به یک رفتار حلقه بسته ناپایدار یا ضعیف منجر خواهد شد و این مسئله به خاطر کم­بودن درجه آزادی می­باشد.

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته مثال: قید

کنترل پیش بین سیستم­های واقعه گسسته فرض كنيد N c=5 و N c=8 ، k=0 ، u(-1)=0, x(0)=[0 0 10]­­T و 𝑟 (𝑘)= 40 45 55 66 75 85 90 100 . نتایج حاصل از حل این مسئله با کنترل پیش بین با 𝜆=1 𝑢 ∗ (𝑘)= 12 24 35 46 58 70 82 94 𝑦 ∗ (𝑘)= 33 45 56 67 79 91 103 115

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید سيستم­هاي هايبريد سيستم­هايي هستند که ديناميك آن­ها در برگيرنده دو يا چند نوع ديناميك مختلف و تعاملات ميان آن­هاست. به طور كلي رفتار اين سيستم ها مي تواند متاثر از ديناميك، گزاره هاي منطقي و محدوديت هاي مختلف باشد. برای مدل کردن کليدهاي روشن/خاموش يا دريچه­ها، انتخاب کننده هاي سرعت يا دنده­ها، حرکت هاي دوراني وابسته به قوانين اگر- آنگاه کاربرد دارند. ايده اوليه توسط آقاي ويتسنهاوزن درسال 1966 اشاره كرد.

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید مثال توپ در حال سقوط ربات هاي راه رونده رشد و تقسيم سلولي بيولوژيکي ترموستات دستگاههاي شيميايي با دريچه مدل هاي کنترل براي سيستم هاي پيچيده مانند کنترل کرد هوشمند در اتومبيل ها ، مُد خلبان اتوماتيک در هواپيما

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید برخي از انواع مهم ساختارهای مدلسازي سيستم­هاي هايبريد : ساختار اتوماتون زماندار (TA) ساختار اتوماتون هايبريد خطي (LHA) ساختار مرکب منطقی دینامیکی (MLD) مدل تكه اي خطي (PWL) مدل تكه اي مستوی (PWA) مدل MMPS مدل LC مدل ELC

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید ساختار MMPS f(x) را يك تابع MMPS مي ناميم اگر توسط گرامر بازگشتي زير تعريف (ساخته) شود: که در آن 𝛼,𝛽∈ℝ,   𝑖∈1,...,𝑛 ،خود 𝑓 𝑘 و 𝑓 𝑙 توابعي MMPS از Rn به Rm هستند؛ علامت | نشانگر "يا" مي باشد؛ عملگرهاي max و min به صورت عنصر به عنصر عمل مي كنند. يك سيستم MMPS، سيستمي است به فرم زیر است 𝑥[𝑘+1]= 𝑀 𝑥 (𝑥[𝑘],𝑢[𝑘],𝑑[𝑘] 𝑦[𝑘]= 𝑀 𝑦 (𝑥[𝑘],𝑢[𝑘],𝑑[𝑘] 𝑀 𝑐 (𝑥[𝑘],𝑢[𝑘],𝑑[𝑘])≤𝑐

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید ساختار PWA سيستمي است به فرم 𝑥[𝑘+1]= 𝐴 𝑖 𝑥[𝑘]+ 𝐵 𝑖 𝑢[𝑘]+ 𝑓 𝑖 𝑦[𝑘]= 𝐶 𝑖 𝑥[𝑘]+ 𝐷 𝑖 𝑢[𝑘]+ 𝑔 𝑖 ,   𝑓𝑜𝑟    𝑥[𝑘 𝑢[𝑘 ∈ 𝛺 𝑖 كه در آن 𝛺 𝑖 چند وجهي های محدبي در فضاي حالت/ورودي هستند؛ تذكر: اگر در تعريف فوقfi=gi=0 باشد، آنگاه سيستم PWL خواهيم داشت.

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید ساختار MLD سيستمي است به فرم كه در آن x و u و y به ترتيب حالت، ورودي، و خروجي و z و متغيير هاي كمكي هستند. هر عنصر از [k]z متعلق به R و هر عنصر از متعلق به {0,1}مي باشد و

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید ساختار ELC سيستمي است به فرم كه در آن d(t)متغير كمكي است و هر مولفه آن متعلق به مجموعه اعدادحقيقي مي باشد.

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید اتوماتون هايبريد یک ماشین حالت محدود است که به هر یک از حالت های گسسته آن، یک دینامیک پیوسته نظیر شده است. مثال: توپ در حال جهش

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید معادل بودن کلاس های مدلسازی

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید سیستم­های مرکب منطقی دینامیکی(MLD) سيستم­هاي مرکب منطقی دینامیکی يک مجموعه گسترده از مدل­ها از جمله سيستمهاي هايبريد خطي ، ماشين هاي حالت متناهي، دسته هايي از سيستم­هاي وقایع گسسته ، سيستم­هاي خطي قيد­دار و يا سيستم هاي غير خطي که غير خطي بودنشان را مي توان با توابع خطي تکه اي نشان داد (يا به طور مناسبي تخمين زد) را در يک دسته کلي قرار مي­دهند.

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید اولین بار در سال 1999 مطرح گردید. 𝑥(𝑡+1)= 𝐴 𝑡 𝑥(𝑡)+ 𝐵 1𝑡 𝑢(𝑡)+ 𝐵 2𝑡 𝛿(𝑡)+ 𝐵 3𝑡 𝑧(𝑡 𝑦(𝑡)= 𝐶 𝑡 𝑥(𝑡)+ 𝐷 1𝑡 𝑢(𝑡)+ 𝐷 2𝑡 𝛿(𝑡)+ 𝐷 3𝑡 𝑧(𝑡 𝐸 2𝑡 𝛿(𝑡)+ 𝐸 3𝑡 𝑧(𝑡)≤ 𝐸 1𝑡 𝑢(𝑡)+ 𝐸 4𝑡 𝑥(𝑡)+ 𝐸 5𝑡 قیود در آن به صورت نابرابری صحیح-مرکب بیان می شوند. 𝑋≡𝑡𝑟𝑢𝑒)↔( 𝛿 1 =1 تناظر نابرابری های شامل متغیرهای پیوسته با متغیرهای باینری 𝑓(𝑥)≤0]↔[𝛿=1]⇔ 𝑓(𝑥)≤𝑀(1−𝛿 𝑓(𝑥)>𝑚𝛿

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید مثال 𝑥(𝑡+1)= 0.8𝑥(𝑡)+𝑢(𝑡)       𝑖𝑓 𝑥(𝑡)≥0 −0.8𝑥(𝑡)+𝑢(𝑡)    𝑖𝑓 𝑥(𝑡)<0 𝛿=1  ↔ 𝑥 𝑡 ≥0 −𝑚𝛿(𝑡)≤𝑥(𝑡)−𝑚, −(𝑀+𝜀)𝛿≤−𝑥−𝜀,

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید 𝑥 𝑡+1 =1.6𝛿 𝑡 𝑥 𝑡 −0.8𝑥 𝑡 +𝑢 𝑡 𝑥(𝑡+1)=1.6𝑧(𝑡)−0.8𝑥(𝑡)+𝑢(𝑡 𝑧(𝑡)≤𝑀𝛿(𝑡), 𝑧(𝑡)≥𝑚𝛿(𝑡), 𝑧(𝑡)≤𝑥(𝑡)−𝑚(1−𝛿(𝑡)), 𝑧(𝑡)≥𝑥(𝑡)−𝑀(1−𝛿(𝑡)),

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید روش های مطرح در کنترل هایبرید بیشتر حاصل تعمیم روش های کنترل کلاسیک است که این امر می تواند در حد خود یک ضعف نیز به شمار آید. روش های هوشمند چندان در زمینه کنترل سیستم های هایبریدی ظاهر نشده اند. روش های کنترل بهینه و مشتقات آن بیشترین سهم را در کنترل سیستم های هایبرید داشته اند. از میان اعضای خانواده کنترل بهینه، روش های کنترل پیش بین بیشتر مورد توجه قرار گرفته اند.

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید مسئله : با فرض داشتن يك حالت اوليه x0 و زمان پايانيT، بياييد (اگر وجود دارد) دنباله كنترلي كه حالت را از x0 منتقل به xf مي كند و شاخص عملكرد زیر را مينيمم سازد: با شرط : مسئله را مي توان با مسئله برنامه نويسي درجه دو با اعداد صحيح تركيب شده (MIQP) حل كرد.

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید مسئله كنترل بهينة زير را در نظر بگيريد:

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید براي مسائل ردیابی، هدف اين است كه خروجي y(t) از يك مسير مرجع r(t) پيروي كند.

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید ویژگی توابع هزینه 1- شامل متغیرهای باینری (علاوه بر متغیرهای گسسته و پیوسته) 2- سیگنال کنترلی از بهینه کردن تابع هزینه ای بدست می آید که مقید است 3- قیود روی جواب بهینه تابع هزینه در بعضی مواقع دارای متغیرهای باینری هستند. 4- دینامیک های وارد شده در تابع هزینه یکتا نیست و با تغییر برخی متغیرها عوض می شود.

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید 1- نداشتن حل بسته برای سیگنال 2- طولانی بودن زمان محاسبات وابستگی شدید زمان و پیچیدگی محاسبات به ابعاد مساله پیامد استفاده از روش های عددی به خاطر مسائل بالا این گونه مسائل از لحاظ سختی به کلاس NP متعلق اند و این بدان معناست که حجم محاسباتی به طور نمایی با افزایش اندازه مسئله افزایش می یابد.

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید روش های الگوریتمی حل آن ها: روش هاي برش صفحه (Cutting plane methods) روش هاي تجزيه اي (Decomposition methods) روش هاي بر مبناي منطق (Logic-based methods) روش هاي شاخه و کران (Branch and Bound methods)

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید برای مسئله MIQP، Fletcher و Leyffer در سال 1995 روش های Generalized Benders’ Decomposition، Outer Approximation، LP/QP based branch and bound، Branch and bound را به عنوان مهم ترین حل کننده ها معرفی نمودند. بسیاری از مولفان نیز بر این عقیده اند که Branch an bound موفق ترین روش برای برنامه ریزی های مرکب صحیح است.

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید روش هاي شاخه و کران اگر مقدار بهینه Pi، zi باشد، مقدار بهینه P0 توسط 𝑧 0 = min 𝑖=1,...,𝑘 𝑧 𝑖 محاسبه می­شود.

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید هرس نمودن شاخه ها در صورت برقراری یکی ازسه شرط زیر: 𝑋 𝑖 =∅ -شرط موجه­نبودن حل زیرمسئله P­i را از قبل بدانیم-شرط بهینگی 𝑧 𝑖 ≥ 𝑧 0 -شرط مقدار غالب

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید برای اینکه بررسی کنیم که آیا این شروط برقرارند یا خیر، بدون اینکه Pi را حل نماییم، مسئله تعدیل شده در نظر گرفته می­شود. اگر RPi تعدیل­شده Pi و مقدار بهینه آن باشد، به عنوان یک حد پایین برای z­i می­باشد . شاخه درخت می­تواند در صورتی قطع گردد که جواب RPi، یکی از سه شرط زیر برقرار سازد. PRi غیرموجه باشد. جواب بهینه 𝑥 𝑖 𝑅 از مسئله RPi به مجموعه X­i متعلق باشد که در آن 𝑥 𝑖 𝑅 نیز یک جواب بهینه است. 𝑧 𝑖 𝑅 ≥ 𝑧 0 که z0 مقدار برخی از جواب­های موجه P­0 می­باشد.

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید چهار قانون پایه­ای روش هاي شاخه و کران قانون شاخه­شاخه­نمودن قانون کراندارنمودن قانون انتخاب قانون حذف

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید برای حل مسئله برنامه­ریزی مربعی مرکب صحیح زیر min 𝑥 𝑥 𝑇 𝑄𝑥+ 𝑏 𝑇 𝑥 𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡  𝑡𝑜    𝐶𝑥+𝑑≤0 𝑥= 𝑥 𝑐 𝑥 𝑑 , 𝑥 𝑐 ∈ ℝ 𝑛 𝑐 , 𝑥 𝑑 ∈ 0,1 𝑛 𝑑 ایده حل MIQP با روش B&B به تعدیل­سازی شرط باینری بودن آن برمی­گردد، به این صورت که می­توان متغیرهای باینری را در حوزه پیوسته [0,1] در نظر گرفت و مسئله را تعدیل بخشید.

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید روش‌های پایداری سازی متداول یک نکته قابل توجه در مورد راهکار کنترل پیش بینی آن است که حل مساله کنترل بهینه زمان متناهی مقید (CFTOC) در هر گام و اعمال عنصر اول دنباله بهینه‌ی حاصل به سیستم، پایداری سیستم حلقه بسته را تضمین نمی‌کند. با انتخاب شکل خاصی از هزینه نهایی (Terminal Cost) در تابع هدف کنترل کننده‌ی پیش‌بینی ، پایداری حلقه بسته را تضمین می‌کنند. دسته دوم شامل مجموعه‌ای از روش‌هاست که براساس شکل دهی یک مجموعه پایا حول نقطه تعادل کار می کند. قید برابری حالت نهایی به این خانواده از روش ها تعلق دارد که در آن مجموعه نهایی خود مبدا و کنترل کننده مذکور به شکل u(x)=0 است.

کنترل پیش بین سیستم­های هایبرید در دسته سوم از روش‌ها، پایداری به طور صریح به سیستم حلقه بسته اعمال می‌شود. کنترل پیش بینی انقباضی در این دسته قرار می‌گیرد. در این روش تابع لیاپانوف برای سیستم انتخاب می شود و شرط کاهش یافتن آن در گام‌های متوالی زمانی (انقباض) به طور صریح در مساله بهینه سازی گنجانده می‌شود.

نتیجه گیری وپیشنهادات آشنایی اجمالی با مدلسازی هایبرید و سسیتم های وقایع گسسته بررسی کنترل پیشبین آن ها بررسی کنترل پیش­بین سیستم­های MPL که بدان اغتشاش وارد می­گردد تضمین پایداری کنترل پیش­بین سیستم­های MPL بررسی کنترل پیش­بین سیستم­های MPL دارای قیود سخت و نرم ارائه الگوریتم های سریع تر برای حل مسئله بهینه سازی سیستم های هایبرید و MPL

منابع و مآخذ [1] B. De Schutter and B. De Moor, “The extended linear complementarity problem,” Mathematical Programming, 71(3):289-325, December 1995. [2] B.D. Schutter and T.J.J. van den Boom, “Model predictive control for discrete-event and hybrid systems,” Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control, 2003. [3] T.J.J. van den Boom and B. De Schutter, “ Properties of MPC for max-plus-linear systems,”European Journal of Control , 8(5), 2002. [4] I. Necoara, “Model Predictive Control for Max-Plus-Linear and Piecewise Affine Systems, ” PhD Thesis, Delft Center for Systems and Control, Delft University of Technology, The Netherlands, October 2006. [5] F.L. Baccelli, G. Cohen, G.J. Olsder, J.P. Quadrat, “Synchronization and Linearity, An Algebra for Discrete Event Systems, ”Wiley, Chichester,1992.

منابع و مآخذ [6] E. Menguy, J.L. Boimond, and L. Hardouin. “A feedback control in max-algebra.,” In Proceedings of the European Control Conference (ECC'97), Brussels, Belgium, paper 487, July 1997. [7] B. De Schutter,“Max-Algebraic System Theory for Discrete Event Systems,” PhD thesis,Faculty of Applied Sciences, K.U.Leuven, Leuven, Belgium, February 1996. [8] T.J.J. van den Boom and B. De Schutter, “ MPC for max-plus-linear systems with guaranteed stability,” In IFAC World Congress 2005, paper no. 02342, session Mo-E12-TO/1, Prague, Czech, July 2005. [9] B. De Schutter and T. van den Boom, “MPC for discrete-event systems with soft and hard synchronization constraints ,” International Journal of Control, vol. 76, no. 1, pp. 82-94, 2003. [10] T.V. den Boom, “Model predictive control for perturbed max-plus-linear systems,” Systems & Control Letters, vol. 19, 2002, pp. 0-14. 1992.

منابع و مآخذ [11] A.Bemporad, M.Morari, “Control of systems Integrating Logic, Dynamics, and Constraint,”Automatica 35,pp.407-427,1999. [12] John Lygeros, “Lecture Notes on Hybrid Systems,” Department of Electrical and Computer Engineering, University of Patras,2004. [13] G.Labinaz,M.M.Bayoumi and K.Rudie, “A survey of modeling and control of hybrid systems,” Annual reviews in control, vol.21,pp.79-92,1981. [14] Rossiter J.A, “Model-based predictive control:A practical approach,” CRC Press LLC, pp. 1-83, 2003. [15] M.Morari, M.Baotic,F.Borrelli , “Hybrid Systems Modeling and Control,” Europian Journal of Control, vol.9,no.2-3,pp.177-189,2003. [16] A. Doustmohammadi, “Modeling and Analysis of Production Systems by Modeling and Analysis of Production Systems,” PHD Thesis,2009. [17] جلال حبیبی، "کنترل پیش­بین سیستم­های هایبرید مرکب منطقی دینامیکی"، پایان­نامه برای دریافت درجه دکتری، دانشکده مهندسی برق، دانشگاه تهران، 1387.

Thank You !