عمل الطالبة : هايدى محمد عبد المنعم حسين بسم الله الرحمن الرحيم تابع مقاييس التشتت عمل الطالبة : هايدى محمد عبد المنعم حسين تحت إشراف : د / حسن الباتع

تابع مقاييس التشتت الانحراف المتوسط Mean Deviation الانحراف المعيارى Standard Deviation هايدى محمد عبد المنعم حسين

اولا - الإنحراف المتوسط : Mean Deviation وهو مجموع القيم المطلقة لإنحراف قيم الظاهرة عن المتوسط مقسوما على عدد قيم الظاهرة . مجموع القيم المطلقة للانحرافات عدد الدرجات الانحراف المتوسط =

اولا - حساب الإنحراف المتوسط للدرجات : مجـ س ن ) م = ( حساب المتوسط الحسابى للدرجات . حساب القيم المطلقة لإنحرافات الدرجات عن متوسطها نطبق القانون . ( س – م ) مجـ |س – م| ن

مثال 1: احسب الانحراف المتوسط للقيم التالية : 10 + 9 + 8 + 5 + 3 10 ، 9 ، 8 ، 5 ، 3 المتوسط (م) = نحسب انحراف القيم عن متوسطها الانحراف المتوسط = 10 + 9 + 8 + 5 + 3 5 مجـ س ن = 7 = الدرجة(س) الانحراف(س - م) 10 +3 9 +2 8 +1 5 - 2 3 - 4 المجموع 12 12 5 2.4 =

مثال 2 : احسب الانحراف المتوسط للقيم التالية : 60 ، 104 ، 97 ، 96 ، 105 ، 120 المتوسط (م) = نحسب انحراف القيم عن متوسطها الانحراف المتوسط = 60 + 104+ 97+ 96 +105 +120 6 = 97 الدرجة(س) الانحراف(س - م) 60 -37 104 +7 97 صفر 96 -1 105 +8 120 +23 المجموع 76 76 6 12.6 = تمرين

ثانيا - حساب الإنحراف المتوسط لتكرار الدرجات : مجـ ك س مجـ ك حساب المتوسط الحسابى للدرجات . حساب القيم المطلقة لإنحرافات الدرجات عن متوسطها نطبق القانون . مجـ |ح | ك مجـ ك مجموع القيم المطلقة للانحرافات × التكرار مجموع التكرار =

مثال 1 : اخذت عينة عشوائية من مائة تلميذ فوجد ان درجاتهم كانت كالآتى : الدرجة (س) 10 20 25 45 50 التكرار ( ك ) 8 22 30 15

ك × س 1- حساب المتوسط الحسابى مجـ ك س المتوسط = مجـ ك 3145 الدرجة (س) التكرار (ك) ك × س 10 8 80 20 22 440 25 30 750 45 1125 50 15 المجموع 100 3145 المتوسط = المتوسط ( م ) = 31.45 مجـ ك س مجـ ك 3145 100

2 - حساب القيم المطلقة لإنحراف الدرجات عن متوسطها . الدرجة (س) التكرار (ك) ك × س الإنحراف (ح) ( س – م ) 10 8 80 21.45 20 22 440 11.45 25 30 750 6.45 45 1125 13.44 50 15 18.55 المجموع 100 3145

ك × ح الدرجة (س) التكرار (ك) ك × س الإنحراف (ح) (س – م) 10 8 80 21.45 171.6 20 22 440 11.45 251.9 25 30 750 6.45 193.5 45 1125 13.55 338.75 50 15 18.55 278.25 المجموع 100 3145 1234

3 - تطبيق القانون الإنحراف المتوسط = مجـ ح × ك مجـ ك 1234 100 = 12.34

مثال 2 : فيما يلى درجات خمسة وعشرون طالب فى احد المواد الدراسية ، المطلوب حساب الانحراف المتوسط : الدرجة (س) 20 21 22 23 24 25 عدد الطلاب( ك ) 3 7 6 5 2

ك × س 1- حساب المتوسط الحسابى مجـ ك س المتوسط = مجـ ك 552 الدرجة (س) التكرار (ك) ك × س 20 3 60 21 7 147 22 6 132 23 5 115 24 2 48 25 502 المجموع 552 المتوسط = المتوسط ( م ) = 22.08 مجـ ك س مجـ ك 552 25

2 - حساب القيم المطلقة لإنحراف الدرجات عن متوسطها . الدرجة (س) التكرار (ك) ك × س الإنحراف (ح) ( س – م ) 20 3 60 - 2.08 21 7 147 - 1.08 22 6 132 - 0.08 23 5 115 0.92 24 2 48 1.92 25 502 2.92 المجموع 552

ك × ح الدرجة (س) التكرار (ك) ك × س الإنحراف (ح) 20 3 60 - 2.08 6.24 21 7 147 - 1.08 7.56 22 6 132 - 0.08 0.48 23 5 115 0.92 4.6 24 2 48 1.92 3.84 25 502 2.92 5.84 المجموع 552 28.56

3 - تطبيق القانون الإنحراف المتوسط = مجـ ح × ك مجـ ك 28.56 25 = 1.14

ثالثا - حساب الإنحراف المتوسط لفئات الدرجات : مجـ ك س مجـ ك نحسب المتوسط الحسابى . نوجد القيم المطلقة لإنحرافات مراكز الفئات عن متوسطها . نطبق القانون . مجـ | ح | ك مجـ ك مجموع القيم المطلقة للانحرافات × التكرار مجموع التكرار =

مثال 1 : قام احد الباحثين بسحب عينة عشوائية من مائة عامل فوجد انتاجيتهم تتوزع كما فى الجدول الآتى : فئات الانتاج 80- 90- 100- 110- 120- 139-140 المجموع عدد العمال 5 15 35 30 9 6 100

اولا حساب المتوسط للانتاجية اولا حساب المتوسط للانتاجية فئات الانتاج عدد العمال (ك) مراكز الفئات (س) ك × س 80 - 5 85 425 90 - 15 95 1425 100 - 35 105 3675 110 - 30 115 3450 120 - 9 125 1125 130-140 6 135 810 المجموع 100 10910 المتوسط الحسابى = مجـ ك س مجـ ك 10910 100 م = م = 109.1

اولا حساب المتوسط للانتاجية اولا حساب المتوسط للانتاجية فئات الانتاج عدد العمال (ك) مراكز الفئات (س) ك×س ح (س-م) |ح| |س-م| ك|ح| (ك|س-م|) 80 - 5 85 425 -24.1 24.1 120.5 90 - 15 95 1425 -14.1 14.1 211.5 100 - 35 105 3675 -4.1 4.1 143.5 110 - 30 115 3450 5.9 177 120 - 9 125 1125 15.9 143.1 130-140 6 135 810 25.9 155.4 المجموع 100 10910 951

مجـ | ح | ك مجـ ك الانحراف المتوسط = 951 100 = = 9.51

مثال 2 : احسب الانحراف المتوسط لاجور العمال تبعا للجدول الآتى : الفئات عدد العمال (ك ) 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 5 8 10 13 6 المجموع 50

الاجابة : المتوسط الحسابى = مجـ ك س مجـ ك 1995 50 م = م = 39.9 الفئات العمال (ك) مراكز الفئات (س) ك×س 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 5 8 10 13 6 27 32 37 42 47 52 135 256 370 546 376 312 المجموع 50 1995 المتوسط الحسابى = مجـ ك س مجـ ك 1995 50 م = م = 39.9

الاجابة : الفئات العمال (ك) مراكز الفئات (س) ك×س ح (س-م) |ح| |س-م| ك|ح| (ك|س-م|) 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 5 8 10 13 6 27 32 37 42 47 52 135 256 370 546 376 312 -12.9 -7.9 -2.9 2.1 7.1 12.1 12.9 7.9 2.9 64.5 63.2 29.0 27.3 56.8 72.6 المجموع 50 1995 313.4

مجـ | ح | ك مجـ ك الانحراف المتوسط = 313.4 50 = = 6.27

ثانيا - الإنحراف المعيارى : Standard Deviation ويعني مدى تقارب أو تباعد الدرجات عن المتوسط الحسابي و هو ادق مقاييس التشتت واكثرها استعمالا ويتميز عن الانحراف المتوسط انه لا يهمل الاشارات السالبة . وهو الجذر التربيعى الموجب لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن متوسطها و يرمز له بالرمز ( ع) .

اولا : حساب الإنحراف المعيارى من الدرجات : مجـ س ن حساب متوسط الدرجات . ( م = ) حساب انحرافات الدرجات عن متوسطها ( س – م ) . حساب مربع الانحرافات ( ح 2 ) تطبيق القانون مجـ ح 2 ن مجموع مربعات الانحرافات عدد الدرجات الانحراف المعيارى (ع) = =

مثال 1 : اوجد الانحراف المعيارى للدرجات الآتية : 2 ، 4 ، 5 ، 6 ، 8 1 - المتوسط ( م ) = 2 - حساب انحرافات الدرجات عن متوسطها ( ح = س – م ) 2 + 4 + 5 + 6 + 8 5 = 5

3 - حساب ح2 . 4 - ع = ع = ع = 2 الدرجة (س) ح ( س – م ) ح2 2 4 5 6 8 3 - حساب ح2 . 4 - ع = ع = ع = 2 الدرجة (س) ح ( س – م ) ح2 2 4 5 6 8 3 – 1 – صفر 1 3 9 المجموع 20 مجـ ح 2 ن 20 5

المطلوب حساب الانحراف المعيارى مثال 2 : فصل يتكون من 10 تلاميذ اعطوا اختبارا فى الجبر وحصلوا على الدرجات الآتية : 4 ، 3 ، 6 ، 5 ، 8 ، 2 ، 7 ، 5 ، 5 ، 5 المطلوب حساب الانحراف المعيارى

الاجابة : = 5 = 1.7 الدرجة (س) الانحراف (ح) ح2 المجموع 28 50 10 4 3 6 5 8 2 7 1 - 2 - 1 + صفر 3 + 2 + 1 9 المجموع 28 الاجابة : 50 10 1 – المتوسط(م) = 2 - ح = الدرجة(س) – المتوسط(م) ع = = 5 مجـ ح 2 ن 28 10 = 1.7

)2 ( ( )2 طريقة اخرى : ع = - ع = - 27.8 - 25 ع = 1.7 ع = الدرجة (س) (س2) 4 3 6 5 8 2 7 16 9 36 25 64 49 50 278 )2 مجـ س ن ( مجـ س2 ن ع = - 50 10 ( 278 10 )2 ع = - 27.8 - 25 ع = 1.7 ع = تمرين

ثانيا : حساب الإنحراف المعيارى من تكرار الدرجات : حساب مجموع حاصل ضرب التكرار فى الدرجة المقابلة له ( مجـ ك × س ) حساب مربع كل درجة ( س2 ) حساب مجموع حاصل ضرب التكرار فى مربع الدرجة المقابلة ( مجـ ك × س2 ) تطبيق القانون )2 مجـ ك س مجـ ك ( مجـ ك س2 مجـ ك ع = -

مثال 1 : اعطى مدرس تلاميذه امتحانا فى اللغة العربية فاذا كان عدد التلاميذ 50 نجد ان الدرجات على النحو التالى : الدرجة (س) 4 5 6 7 8 9 المجموع التكرار (ك) 17 13 50

الاجابة : مجـ س × ك حساب مربع كل درجة ( س2 ) مجـ ك × س2 الدرجة (س) التكرار (ك) س × ك س2 ك × س2 4 5 6 7 8 9 17 13 16 30 102 91 32 54 25 36 49 64 81 150 621 637 256 486 المجموع 50 325 2205 مجـ س × ك حساب مربع كل درجة ( س2 ) مجـ ك × س2

( )2 ( )2 4 . تطبيق القانون ع = - ع = - ع = 42.25 - 44.1 = 1.4 1.85 مجـ ك س مجـ ك ( مجـ ك س2 مجـ ك )2 ع = - 325 50 ( 2205 50 )2 ع = - ع = 42.25 - 44.1 = 1.4 1.85 ع =

مثال 2 : فيما يلى درجات خمسة وعشرون طالب فى احد المواد الدراسية الدرجات (س) 20 21 22 23 24 25 المجموع عدد الطلاب (ك) 3 7 6 5 2

الاجابة : مجـ ك × س حساب مربع كل درجة ( س2 ) مجـ ك × س2 الدرجة (س) التكرار (ك) ك × س س2 ك × س2 20 21 22 23 24 25 3 7 6 5 2 60 147 132 115 48 50 400 441 484 529 576 625 1200 3087 2904 2645 1152 1250 المجموع 552 12238 مجـ ك × س حساب مربع كل درجة ( س2 ) مجـ ك × س2

)2 ( )2 ( ع = - ع = - ع = 489.52 487.52 - = 1.4 2 ع = مجـ ك س مجـ ك مجـ ك س2 مجـ ك ع = - )2 552 25 ( 12238 25 ع = - ع = 489.52 487.52 - = 1.4 2 ع =

ثالثا : حساب الإنحراف المعيارى من فئات الدرجات : نحسب مراكز الفئات ( س ) حاصل ضرب مراكز الفئات فى التكرار المقابل لها ( س × ك ) حساب مجموع حاصل ضرب مراكز الفئات فى التكرار المقابل لها ( مجـ س2 × ك ) تطبيق القانون )2 مجـ ك س مجـ ك ( مجـ ك س2 مجـ ك ع = -

مثال 1 : اوجد الإنحراف المعيارى من فئات الدرجات الآتية : فئات الدرجات ( ف) 40- 50- 60- 70- 80- 90-100 المجموع عدد الطلاب (ك) 10 15 30 22 14 9 100

حساب مراكز الفئات س حساب س × ك س2 × ك فئات الدرجات (ف) عدد الطلاب (ك) حساب س × ك س2 × ك فئات الدرجات (ف) عدد الطلاب (ك) مراكز الفئات (س) س× ك س2 × ك 40- 50- 60- 70- 80- 90-100 10 15 30 22 14 9 45 55 65 75 85 95 450 825 1950 1650 1190 855 20250 45375 126750 123750 101150 81225 المجموع 100 6920 498500

)2 ( )2 ( 4 . تطبيق القانون ع = - ع = - ع = - ع = 14.01 مجـ ك س مجـ ك مجـ ك س2 مجـ ك ع = - )2 6920 100 ( 498500 100 ع = - ع = 4788.64 - 4985 ع = 14.01

مثال 2 : اعطى اختبار فى العلوم لمجموعة من التلاميذ عددهم 100 فوجد ان درجاتهم تتوزع كالآتى : فئات الدرجات 5- 9- 13- 17- 21- 25- 29- 33- 37- المجموع عدد الطلاب 2 3 5 12 17 25 21 10 100 المطلوب حساب الانحراف المعيارى لدرجات الاختبار

الاجابة : فئات الدرجات (ف) عدد الطلاب (ك) مراكز الفئات (س) ك × س ك × س2 5- 9- 13- 17- 21- 25- 29- 33- 37- 2 3 5 12 17 25 21 10 7 11 15 19 23 27 31 35 39 14 33 75 228 391 675 651 350 195 98 363 1125 4332 8993 18225 20181 12250 7605 المجموع 100 2612 73172

)2 ( )2 ( تطبيق القانون ع = - ع = - ع = - ع = 49.4656 = 7.03 مجـ ك س مجـ ك س2 مجـ ك ع = - )2 2612 100 ( 73172 100 ع = - ع = 682.2544 - 731.72 ع = 49.4656 = 7.03

طريقة اخرى مختصرة لحساب الانحراف المعيارى من فئات الدرجات طريقة اخرى مختصرة لحساب الانحراف المعيارى من فئات الدرجات 1 - نوجد مراكز الفئات ( س ) 2 - نختار وسطا فرضيا ( مركز الفئة التى تقبل اكبر تكرار ) 3 - نحسب الانحرافات ( ف ) بوضع صفر امام الوسط الفرضى 4 - نوجد مجـ ك ف ، مجـ ك ف2 5 - تطبيق القانون )2 مجـ ك ف مجـ ك ( مجـ ك ف2 مجـ ك طول الفئة ع = -

مثال : فئات الدرجات ( ف) 40- 50- 60- 70- 80- 90-100 المجموع عدد الطلاب (ك) 10 15 30 22 14 9 100

1 . نوجد مراكز الفئات ( س ) فئات الدرجات (ف) عدد الطلاب (ك) مراكز الفئات (س) 40- 50- 60- 70- 80- 90-100 10 15 30 22 14 9 45 55 65 75 85 95 المجموع 100

3 - نحسب الانحرافات ( ف ) بوضع صفر امام الوسط الفرضى 2 - نختار وسطا فرضيا ( مركز الفئة التى تقبل اكبر تكرار ) 3 - نحسب الانحرافات ( ف ) بوضع صفر امام الوسط الفرضى فئات الدرجات (ف) عدد الطلاب (ك) مراكز الفئات (س) ( ف ) 40- 50- 60- 70- 80- 90-100 10 15 30 22 14 9 45 55 65 75 85 95 -2 -1 صفر 1 2 3 المجموع 100

4 – نوجد مجـ ك ف ، مجـ ك ف2 فئات الدرجات (ف) عدد الطلاب (ك) 4 – نوجد مجـ ك ف ، مجـ ك ف2 فئات الدرجات (ف) عدد الطلاب (ك) مراكز الفئات (س) ( ف ) ك ×ف ك×ف2 40- 50- 60- 70- 80- 90-100 10 15 30 22 14 9 45 55 65 75 85 95 - 2 - 1 صفر 1 2 3 20 - 15 - 28 27 40 56 81 المجموع 100 42 214

)2 ( 5 – تطبيق القانون طول الفئة ع = - ع = - - ع = مجـ ك ف مجـ ك ( مجـ ك ف2 مجـ ك طول الفئة ع = - 1764 10000 214 100 10 ع = - 0.1764 - 2.14 10 ع = ع = 10 × 1.401 = 14.01

المطلوب الانحراف المعيارى تمرين : اخذت عينة عشوائية مكونة من مائة من موظفى احدى الهيئات فوجد ان اجورهم تتوزع كالتالى : فئات الاجور 80- 90- 100- 110- 120- 130- 140- 150 المجموع عدد الموظفين 3 6 23 30 20 14 4 100 المطلوب الانحراف المعيارى

الاجابة : 3 2 1 فئات الاجور (ف) عدد الموظفين (ك) مراكز الفئات (س) ( ف ) ك ×ف ك×ف2 80- 90- 100- 110- 120- 130- 140- 150 3 6 23 30 20 14 4 85 95 105 115 125 135 145 -3 -2 - 1 صفر 1 2 9 - 12 - 23 - 28 12 27 24 56 36 المجموع 100 16 186

( )2 طول الفئة ع = - ع = - - ع = ع = 10 × 1.35 = 13.5 مجـ ك ف مجـ ك مجـ ك ف2 مجـ ك )2 طول الفئة ع = - 256 10000 186 100 10 ع = - 0.0256 - 1.86 10 ع = ع = 10 × 1.35 = 13.5