کنترل پیش بین مقاوم Min-Max استاد مربوطه : دکتر فرزاد توحید خواه ارائه دهنده : شیدا قپانی 88123122 دی ماه 1389

فهرست : کنترل پیش بین کنترل پیش بین مقاوم کنترل پیش بین Min-Max MMMPC مبتنی بر پیش بینی های حلقه باز MMMPC مبتنی بر پیش بینی های حلقه بسته گسترش روش MMMPC برای سیستم های مختلف 2

کنترل پیش بین : MPC به دلیل سادگی آن در کار کردن با محدودیت ها و مقاوم بودن ذاتیش یک تکنیک بسیار متداول است یکی از معایب مهم MPC‌ وابستگی آن به مدل می باشد که این امر در صورت وارد شدن اغتشاش به سیستم و یا دقیق نبودن MPC باعث کاهش عملکرد آن می شود مسئله ی MPC مقاوم مطرح می شود روش های زیادی برای فرموله کردن MPC مقاوم مطرح شده که وابسته به توصیف عدم قطعیت در مدل و روش بهینه سازی است 3

4

کنترل مقاوم : وقتی گفته می شود که یک سیستم کنترلی مقاوم است به این معنا می باشد که پایداری سیستم در حین کنترل آن حفظ شده و شاخص های عملکرد برای یک رنج خاص از تغییرات مدل و یک کلاس از سیگنال های نویز (رنج عدم قطعیت ) برقرار خواهد بود بهینه سازی مقاوم یعنی این که ما یک مسئله بهینه سازی با عدم قطعیت در اطلاعات مسئله داریم . هدف مینیمم کردن یک سری توابع هدف درعین تضمین یک مجموعه از محدودیت ها برای همه ی عدم قطعیت های ممکن می باشد 5

Min-Max formulation: worst case optimized design MPC مقاوم : تضمین پایداری مقاوم نگه داشتن متغیرهای حالت در داخل یک ناحیه برآورده شدن محدودیت های مقاوم اصلاح عملکرد در حضور عدم قطعیت و اختلالات اصلاح روباستنس در نظر گرفتن عدم قطعیت های سیستم در حین طراحی Min-Max formulation: worst case optimized design 6

مزایای MPC مقاوم : مقاوم بودن الگوریتم کنترل مشکلات زیر را که در اثر حضور عدم قطعیت در سیستم بوجود می آیند از بین می برد : خارج شدن پاسخ سیستم از ناحیه ی محدودیت به دلیل خطای مدلینگ غیرممکن بودن مسئله ی بهینه سازی 7

MMMPC عملکرد و مقاومت بهتری در مقابل عدم قطعیت دارد مثال : MMMPC عملکرد و مقاومت بهتری در مقابل عدم قطعیت دارد 8

تعاریف 1 : 9

تعاریف 2 : 10

تعاریف 3 : سیستم نامعلوم را در نظر بگیرید ، مجموعه ی یک مجموعه ی تغییرناپذیر مثبت معین مقاوم خواهد بود اگر برای تمامی و ، برقرار باشد با توجه به محدودیت های یک مجموعه ی تغییرناپذیر کنترل مقاوم برای سیستم فوق و خواهد بود اگر برای تمامی یک ورودی قابل قبول وجود داشته باشد به گونه ای که برای تمامی داشته باشیم 11

کنترل پیش بین Min-Max : الگوریتم کنترل Min-max مقاوم برای اولین بار توسط Witsenhausen در سال 1968 پیشنهاد شد . وی روش کنترل Min-max را برای سیستم های خطی نمونه برداری شده پیشنهاد داد . بعد از آن Morari و Campo در سال 1987 از این تکنیک در زمینه ی MPC مقاوم استفاده کردند . روش کنترل پیش بین Min-Max یکی از تکنیک هائی است که قابلیت پایدارسازی مقاوم سیستم های نامعین دارای محدودیت به خصوص سیستم های غیرخطی را دارد 12

باید توجه کرد که علی رغم نوعشان همه ی آنها کنترلرهای فیدبک می باشند انواع MMMPC یک بخش وسیعی از MMMPC را می توان به دو دسته ی کلی تقسیم بندی کرد 1. آنهائی که از پیش بینی حلقه باز استفاده می کنند 2. آنهائی که از پیش بینی حلقه بسته استفاده می کنند باید توجه کرد که علی رغم نوعشان همه ی آنها کنترلرهای فیدبک می باشند 13

Min-Max MPC مبتنی بر پیش بینی های حلقه باز 14

MMMPC‌ مبتنی بر پیش بینی حلقه باز : کنترلرهای مبتنی بر پیش بینی حلقه باز تا سال 1987 کامل ترین الگوریتم ها در زمینه ی MMMPC‌ محصوب می شدند( Campo & Morari ) . در این نوع روش کنترلی فرض می شود که عدم قطعیت های وارد به سیستم در طول کنترل سیستم ثابت خواهد بود . این دسته از کنترلرها از محافظه کاری موجود در سیر پیش بینی فرآیند که منجر به عملکرد ضعیف و یا غیرممکن بودن بهینه سازی می شود رنج می برند . اما چنانچه به درستی تنظیم شوند به خوبی کار خواهند کرد . در این روش تکنیک هائی وجود دارد که علی رغم افزایش حجم محاسبات متناسب با بعضی پارامترها، می توان این روش را برای رنج وسیعی از سیستم ها به کار برد 15

MMMPC حلقه باز : این روش مبتنی بر مدل هائی است که عدم قطعیت های سیستم را هم در نظر می گیرند Campo و Morari نشان دادند که با استفاده از نرم بینهایت می توان مسئله ی کنترل پیش بین Min-max را به یک مسئله ی برنامه ریزی خطی تبدیل کرد . علی رغم اینکه این الگوریتم برای پاسخ ضربه ی کوتاه شده مطرح شد ، به سادگی می توان آن را به مدل های دیگر نیز گسترش داد . 16

عدم قطعیت جمع شونده ی کران دار مدل سیستم : عدم قطعیت جمع شونده ی کران دار مقادیری که توسط کنترلر محاسبه می شود: که با در نظر گرفتن سیگنال کنترلی به صورت فیدبک معادله ی حلقه بسته به فرم زیر خواهد بود : 17

حلقه ی داخلی پیش پایدار ساز شمای کلی کنترلر : حلقه ی داخلی پیش پایدار ساز سیستم نامی 18

تابع هدف در این جا به صورت زیر تعریف می شود : با تعریف مسئله ی کنترل به صورت زیر خواهد بود : 19

که با تعریف به صورت : اگر مقدار مثبت μ وجود داشته باشد به گونه ای که برای هر و به ازای هر i=1,…, n*N ، باشد در این صورت واضح است که μ یک کران بالا برای خواهد بود و معادله ی پیش بینی به فرم زیر در نظر گرفته می شود : 20

نکات : زمانیکه محدودیت بر روی متغیرهای تحت کنترل نیز در نظر گرفته شوند ، مسئله به صورت زیر تغییر فرم می دهد . اگر برای هر یک تابع نسبی از w باشد ، ماکزیمم و مینیمم در یکی از رئوسW قابل حصول می باشد . 21

MMMPC با تابع هزینه ی کوآدراتیک : 22

در این حالت استراتژی Min-Max به صورت زیر خواهد بود : به این ترتیب محدودیت های مقاوم برآورده می شود . البته در رابطه ی بالا وابستگی به عدم قطعیت محدودیت ها به صورت offline برطرف شده است . تابع max از رابطه ی زیر و حداقل در یکی از رئوس W بدست می آید : 23

کاربرد تابع هزینه ی کوآدراتیک : برای دینامیک های به نسبت سریع مسئله ی Min-max را تنها زمانی می توان به صورت عددی حل کرد که تعداد تحققات عدم قطعیت بسیار کم باشد و این شرایط با کوچک بودن افق پیش بینی و یا استفاده از استراتژی های کاهش پیچیدگی امکان پذیر است . در واقع زمانی که دینامیک سیستم بسیار سریع باشد از روش Min-max نمی توان به صورت عددی استفاده کرد و باید تخمینی از آن را به کار برد . در این جا یک استراتژی متفاوت پیشنهاد می شود که در آن مسئله ی Min-max توسط یک مسئله ی برنامه ریزی کوآدراتیک جایگزین می گردد یک تخمین بسیار نزدیک به پاسخ Min-max اصلی تولید می کند . 24

کنترل MMMPC با استفاده از پیش بینی های حلقه بسته 25

MMMPC‌ مبتنی بر پیش بینی حلقه بسته : آغاز استفاده از این کنترلرها به سال های 1997 (Lee & Yu) و 1998 (Scokaert et al) بر می گردد و مبتنی بر مسائل min-max بازگشتی یا بهینه سازی یک مجموعه از رویه های کنترلی به جای یک توالی از مقادیر سیگنال های کنترلی می باشد . این دسته از کنترلرها از آن جائی که سیگنال کنترل را به فرم فیدبک اعمال کرده و عکس العمل کنترلر در مقابل عدم قطعیت ها را در پیش بینی وارد می کنند نسبت به کنترلرهای حلقه باز محافظه کاری کمتر و امکان اجرای بهتری دارند . هزینه ای که این دسته از کنترلرها دارند حجم محاسباتی بیشتر و گزینه های اجرائی کمتر است 26

در این جا رویه ی کنترل برای یک افق پیش بینی N به صورت زیر خواهد بود : باید توجه کرد که برای یک حالت داده شده ی x اولین ترم بالا یک فعل کنترلی خواهد بود و بنابراین به صورت بیان می شود . به این ترتیب تابع هزینه ای که برای سیر تکاملی سیستم در آینده در نظر گرفته می شود وابسته به رویه ی کنترل و تحقق آینده ی عدم قطعیت ها می باشد : که در رابطه ی بالا یک تابع مثبت معین می باشد . 27

در نهایت یک نوع کنترلر دیگر ناشی از مصالحه ی این دو دسته کنترلرها بوجود آمد که روش semi-feedback نامیده می شود و می توان آن را به صورت کنترلرهای مبتنی بر پیش بینی حلقه باز در نظر گرفت که به آن یک درجه ی آزادی از رفتار حلقه بسته در پیش بینی افزوده می شود 28

تعدادی از کارهای انجام گرفته بر روی MMMPC حلقه بسته : 1) کنترل حلقه ی داخلی – حلقه ی بیرونی در این جا سیستم خطی در نظر گرفته و یک قانون کنترل به صورت دو مد عملکرد طراحی می شود : کنترلرهای بیرونی و داخلی . در این روش حجم محاسبات بیشتر است اما عملکرد قابل اطمینان تر و سازگارتری دارد . 29

کنترلر بیرونی کنترلر داخلی این کنترلر زمانی وارد عمل می شود که متغیر حالت خارج از مجموعه ی ثابت مورد نظر بوده و آن را وارد مجموعه می کند . کنترلر بیرونی به فرم Min-Max MPC دارای فیدبک می باشد که در یک حالت افق پیش بینی محدود و در حالت دیگر متغیر در نظر گرفته می شود . کنترلر داخلی این کنترلر نیز متغیر حالتی را که در مجموعه قرار گرفته در درون آن نگه دارد . کنترلر درونی به فرم بوده و به گونه ای انتخاب می شود که تساوی برای مقدار متناهی s برقرار باشد . 30

به ازای افق کنترل ثابت کنترلر بیرونی به صورت زیر تعریف می شود : فرمول بندی افق متغیر : مزیت این روش وارد شدن متغیرهای حالت در مجموعه ی ثابت در زمان کمتر و اثبات پایداری سیستم به روش بسیار ساده تر است . همچنین این روش بار محاسباتی کمتری نسبت به افق ثابت دارد . 31

2) پایداری ISS روش MMMPC برای سیستم های غیر خطی و متغیر با زمان : مسئله ی مقاوم بودن روش MMMPC‌ برای سیستم های غیرخطی متغیر با زمان دارای محدودیت و اغتشاشات کران دار توسط آقای Chen مورد بررسی قرار گرفته است . وی در مقاله ی خود برای کاهش دادن حجم محاسبات به صورت online مسئله ی بهینه سازی Min-max را به یک مسئله مینیمم سازی با محدودیت هائی به صورت LMI و یک الگوریتم MPC‌ نیمه بهینه تبدیل می کند . 32

ویژگی های و معایب روش MMMPC افزایش پیچیدگی و بار محاسباتی روش با افزایش افق پیش بینی به صورت نرخ غیرنمائی استفاده از الگوریتم های عددی کارآمد (مانند آنچه که در QP می باشد ) برای محاسبه ی سیگنال کنترلی اجرای انعطاف پذیر به دلیل امکان تغییر پارامترها به صورت بلادرنگ قابلیت استفاده از محدودیت ها تضمین پایداری مقاوم 33

چگونه می توان روش MMMPC را به صورت بلادرنگ انجام داد ؟ پیشنهادات : استفاده از یک اجرای صریح که در آن مسئله ی Min-max برای حالات ممکن از قبل محاسبه می شود . حل یک مسئله ی Min-max معادل کاهش یافته جایگزینی بدترین حالت هزینه با یک تخمین بسیار نزدیک که بار محاسباتی کمتری دارد 34

مراجع : D. Limon, T. Alamo and E.F. Camacho ,” Robust stability of min-max MPC controllers for nonlinear systems with bounded uncertainties” P. O. M. Scokaert and D. Q. Mayne,” Min–Max Feedback Model Predictive Control for Constrained Linear Systems”, 1136 IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL, VOL. 43, NO. 8, AUGUST 1998 Alberto Bemporad, Francesco Borrelli, and Manfred Morari,” Min–Max Control of Constrained Uncertain Discrete-Time Linear Systems” 1600 IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL, VOL. 48, NO. 9, SEPTEMBER 2003 T. Alamo, D.R. Ramirez and D. Mu˜noz de la Pe˜na,” Min-Max MPC using a tractable QP Problem”, 44th IEEE Conference on Decision and Control, and the European Control Conference 2005 Seville, Spain, December 12-15, 2005 35

مراجع : 5) Qiu-Xia Chen, De-Feng He, and Li Yu,” INPUT-TO-STATE STABILITY OF MIN-MAXMPC SCHEME FOR NONLINEAR TIME-VARYING DELAY SYSTEMS”, Asian Journal of Control, Vol. 14, No. 6, pp. 1 13, November 2012 Published online in Wiley Online Library (wileyonlinelibrary.com). DOI: 10.1002/asjc.314 6) Daniel R. Ramirez & Eduardo F. Camacho,” Min-Max Model Predictive Control Implementation Strategies” 36

37