ניתוח זמן ריצה (על קצה המזלג) קרן כליף
ביחידה זו נלמד: מהו ניתוח זמן ריצה ניתוחי זמן ריצה בסיסיים מוטיבציה הגדרה ניתוחי זמן ריצה בסיסיים קבוע לינארי ריבועי לוגריתמי 2 © Keren Kalif
משפחות של פונקציות לינאריות: כאשר a ו- b קבועים f(n) = a∙n + b ריבועיות: כאשר a,b ו- c קבועים f(n) = a∙n2 + b∙n + c מעריכיות (אקספוננציליות): f(n) = 2n 3 © Keren Kalif
ניתוח זמן ריצה - מוטיבציה כאשר אנחנו מריצים את התוכניות שלנו, נראה לנו שהן רצות מאוד מהר, ואנחנו לא עוצרים לחשוב כמה עבודה באמת מבוצעת ע"י המחשב ב"עולם האמיתי" לעיתים יש חשיבות לכל מיקרו שנייה שהתוכנית רצה נרצה לדעת להעריך האם התוכנית שכתבנו יעילה, כלומר כמה עבודה המחשב באמת מבצע נרצה לבחון האם יש דרך לכתוב את התוכנית בצורה יותר יעילה 4 © Keren Kalif
זמן ריצה - הגדרה זמן ריצה של תוכנית הוא סדר גודל של מספר הפעולות שהתוכנית מבצעת ביחס לגודל הקלט סדר גודל אינו מספר מדויק אלא הערכה של מספר הפעולות המבוצעות בתוכנית 5 © Keren Kalif
ניתוח זמן ריצה – זמן ריצה קבוע לעומת זמן ריצה תלוי משתנה ניתוח זמן ריצה – זמן ריצה קבוע לעומת זמן ריצה תלוי משתנה כמה זמן לוקח למחשב לחשב את: x = x + y; התשובה תלויה במהירות המחשב, אך הנחה סבירה היא שפעולה זו על אותו מחשב בזמנים שונים תיקח זמן זהה for (i=1 ; i <= n ; i++) x += i; במקרה זה זמן הריצה תלוי בגודלו של n שאינו ידוע מראש, ולכן צריך לקחתו בחשבון בזמן הניתוח התיאורטי, שכן יהיה הבדל משמעותי אם n=10 או n=100,000,000... 6 © Keren Kalif
ניתוח זמן ריצה – זמן ריצה קבוע O(1) void main() { int num; cout << “Please enter a number: “; cin >> num; cout << “The number is ” << num << endl; } בתוכנית זו מספר הפעולות תמיד יהיה זהה, לא משנה מה ערכו של num 7 © Keren Kalif
ניתוח זמן ריצה – זמן ריצה קבוע O(1) מציאת הערך הקטן והערך הגדול: void main() { int num1, num2, small, big; cout << “Please enter 2 numbers: “; cin >> num1 >> num2; small = num1; big = num2; if (small > big) small = num2; big = num1; } עדיין במקרה זה מספר הפעולות קבוע בכל הרצה, אפילו אם ערכם של num1 ו- num2 מאוד גדול, ולכן זמן הריצה של תוכנית זו הוא O(1) בעת חישוב ניתוח זמן ריצה נסתכל תמיד על המקרה הגרוע ביותר, כלומר המקרה בו יהיו הכי הרבה פעולות ולכן בדוגמא זו נניח כי ה- if מבוצע 8 © Keren Kalif
ניתוח זמן ריצה – תלות בגודל הקלט (לינארי) חישוב עצרת: void main() { int num, fact=1; cout << "Enter a number: “; cin >> num; for (int i=1 ; i <= num ; i++) fact *= i; cout << num << “! = “ << fact << endl; } מספר הפעולות בתוכנית זו הוא O(1) עבור הפעולות הקבועות ועוד O(1) פעולות בכל איטרציה של הלולאה, ומאחר ויש num איטרציות: O(main) = O(1) + num*O(1) כאשר num מאוד גדול זמן הריצה הקבוע זניח ולכן נאמר כי: O(main) = O(1) + O(num) = O(num) מספר הפעולות בתוכנית זו תלוי בערכו של num: התוכנית תבצע תמיד את הפעולות הקבועות של קבלת הקלט והדפסת התוצאה, אבל מספר הפעמים שהלולאה תרוץ תלוי בקלט. = O(1) + O(num*1) = O(1) + O(num) 9 © Keren Kalif
ניתוח זמן ריצה – תלות בגודל הקלט (לינארי) (2) void main() { int num; cout << "Please enter a number: “; cin >> num; cout << "All even numbers from 1 to “ << num << “: “; for (int i=0 ; i < num ; i+=2 ) cout << i << “ “ ; cout << endl; } מספר הפעולות בתוכנית זו הוא O(1) עבור הפעולות הקבועות ועוד O(1) פעולות בכל איטרציה של הלולאה, ומאחר ויש num/2 איטרציות: O(main) = O(1) + (num/2)*O(1) כאשר num מאוד גדול זמן הריצה הקבוע זניח ולכן נאמר כי: O(main) = O(num/2) = O(num) הדפסת המספרים הזוגיים עד מספר מסוים: = O(1) + O((num/2)*1) = O(1) + O(num/2) =O (num/2) 10 © Keren Kalif
ניתוח זמן ריצה – תלות בגודל הקלט (ריבועי) void main() { int width, height; cout << "Enter a rectangle's width and height: "; cin >> width >> height; for (int i=1 ; i <= height ; i++) for (int j=1 ; j <= width ; j++) cout << “*”; cout << endl; } סה"כ זמן הריצה של התוכנית: O(height *width) הדפסת מלבן: O(1) width*O(1) = O(width) heigth*O(width) = O(height*width) אם width == height == n סדר גודל זמן הריצה היה O(n2) 11 © Keren Kalif
ניתוח זמן ריצה – תלות בגודל הקלט (ריבועי) void main() { int num; cout << "Please enter the base of the triangle: "; cin >> num; for (int i=1 ; i <= num ; i++) for (int j=1 ; j <= i ; j++) cout << “*”; cout << endl; } סדר גודל זמן הריצה של התוכנית הוא מספר הפעולות בסה"כ של הלולאה הראשית: 1+2+…+num, וזוהי סדרה חשבונית שסכומה: O(main) = O(num*(num+1)/2) הדפסת משולש: בדוגמא זו מספר הפעולות בלולאה הפנימית שונה בכל איטרציה, ולכן נבדוק ביתר קפידה כמה פעולות באמת מתבצעות: באיטרציה הראשונה של הלולאה הראשית לולאה הפנימית תרוץ פעם אחת, באיטרציה השנייה פעמיים וכו'.. = O((num2+num)/2) = O(num2 + num) = O(num2) 12 © Keren Kalif
ניתוח זמן ריצה – תלות בגודל הקלט (לוגריתמי) הדפסת חזקה: void main() { int num; cout << "Please enter a number: “; cin >> num; cout << "All 2 powers till “ << num << “: “; for (int i=1 ; i <= num ; i*=2) cout << i << “ “; cout << endl; מספר הפעולות בתוכנית זו הוא O(1) עבור הפעולות הקבועות ועוד O(1) פעולות בכל איטרציה של הלולאה, אך מהי כמות האיטרציות של הלולאה? 13 © Keren Kalif
ניתוח זמן ריצה – תלות בגודל הקלט (לוגריתמי) למשל עבור n=128: כמות האיטרציות היא כמות הפעמים שנכפיל ב- 2 עד שנגיע ל- n: 1248163264128 אפשר לשאול כמה פעמים הכפלנו את 2 בעצמו עד קבלת 128: 2? = 128 וזוהי בדיוק פעולת ה- log: log2128 לכן, כמות הפעולות שתרוץ עבור לולאה שקצב ההתקדמות שלה הוא כפל/חילוק הוא log 14 © Keren Kalif
ניתוח זמן ריצה לוגריתמי for (int i=1 ; i <= 240 ; i*=2) ….. כמות האיטרציות: 1 248163264128256 log2256 = 8 for (int i=1 ; i <= 240 ; i*=3) כמות האיטרציות: 13981243 log3243 = 5 כלומר, ככל שבסיס הלוג יותר גדול, כך כמות הפעולות קטנה (יותר יעיל) 15 © Keren Kalif
השוואת סדרי גודל כאשר אנו כותבים תוכנית נשאף שזמן הריצה יהיה נמוך ככל שניתן נזכור כי: O(1) < O(log3n) < O(log2n) < O(n) < O(n2) < O(n3) 16 © Keren Kalif
מאחר ולא ידוע לנו היחס בין n ל-m, נאמר שסדר הגודל הוא O(n+m) חיבור סדרי גודל void foo(int n, int m) { for (int i=1 ; i <= n; i++) cout << i; cout << endl; for (int i=1 ; i <= m; i++) } מאחר ולא ידוע לנו היחס בין n ל-m, נאמר שסדר הגודל הוא O(n+m) 17 © Keren Kalif
דוגמא 2: קבל מספר והחזר מהי הספרה המופיעה הכי הרבה פעמים אופציה 1: לספור כמה פעמים מופיעה הספרה 1 ע"י לולאה על כל המספר, הספרה 2 וכו' 10*O(n), כאשר n הוא מספר הספרות במספר 10*O(n) = O(n) אופציה 2: מיון דליים O(n), כאשר n הוא מספר הספרות במספר 18 © Keren Kalif
הקוד int countDigits1(int num) { int max=0, maxCount=0; for (int i = 0; i < 10; i++) int temp = num; int count = 0; while (temp > 0) if (temp % 10 == i) count++; temp /= 10; } if (count > maxCount) maxCount = count; max = i; return max; O(n) int countDigits2(int num) { int counters[10]; while (num > 0) counters[num % 10]++; num /= 10; } int max = 0; for (int i = 1; i < 10; i++) if (counters[i] > counters[max]) max = i; return max; O(n) 19 © Keren Kalif
ביחידה זו למדנו: מהו ניתוח זמן ריצה ניתוחי זמן ריצה בסיסיים מוטיבציה הגדרה ניתוחי זמן ריצה בסיסיים קבוע לינארי ריבועי לוגריתמי 20 © Keren Kalif
תרגיל 1: מהו זמן הריצה של התוכניות הבאות? for (int i=0 ; i <= n ; i+=2) cout << i << " "; void main() { int n; cout << "Enter a number: "; cin >> n; cout << "All even from 0 till " << n << ":\n"; } O(n) … for (int i=0 ; i <= n ; i++) { if (i%2 == 0) cout << i << " "; } O(n) ובכל זאת, למרות שהיעילות זהה, נעדיף את הפתרון העליון 21 © Keren Kalif
תרגיל 2: מהו זמן הריצה של התוכניות הבאות? void main() { int n; cout << "Enter a number: "; cin >> n; cout << "All 2 powers from 1 till " << n << ":\n"; } for (int i=1 ; i <= n ; i*=2) cout << i << " "; O(log2(n)) … for (int i=1 ; i <= n ; i++) { // check if i is a 2 power int j; for (j=1 ; j < i ; j*=2); if (j == i) cout << i << " "; } O(n*log2(n)) 22 © Keren Kalif