Realne funkcije više varijabli Oznake Neka je D neprazan podskup trodimenzionalnog realnog prostora R3. Funkcija f koja pridružuje realan broj f (x, y, z) svakoj točki (x, y, z) iz D naziva se realna funkcija tri varijable. Skup D se naziva domena od f, a skup vrijednosti f (x, y, z) naziva se slika od f. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kratki katalog ploha drugog reda Krivulje u xy-ravnini definirane jednadžbama drugog stupnja u x i y su konike (čunjosječnice): kružnica, elipsa, parabola, hiperbola. Plohe u trodimenzionalnom prostoru definirane jednadžbama drugog stupnja u x, y, z (∗) Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Hx + I y + Jz + K = 0, zovu se kvadrike (plohe drugog reda). Jednadžba (∗) sadrži članove s xy, xz, yz. Ovi članovi mogu se eliminirati prikladnom zamjenom varijabli. Zato su kvadrike kod nas definirane jednadžbom Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + Fz + H = 0 gdje nisu svi A, B,C nula. (Ako su svi A, B,C nula, nemamo jednadžbu drugog stupnja.) Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kratki katalog ploha drugog reda Kvadrike možemo promatrati kao trodimenzionalne analogone konika. One spadaju u devet različitih klasa. 1. Elipsoid. 2. Jednoplošni hiperboloid. 3. Dvoplošni hiperboloid. 4. Eliptički konus (stožac). 5. Eliptički paraboloid. 6. Hiperbolički paraboloid. 7. Parabolički cilindar. 8. Eliptički cilindar. 9. Hiperbolički cilindar. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kratki katalog ploha drugog reda Elipsoid Elipsoid ima središte u ishodištu i simetričan je s obzirom na sve tri koordinatne osi. Siječe koordinatne osi u šest točaka: (±a, 0, 0), (0,±b, 0), (0, 0,±c) koje zovemo tjemenima. Ova ploha je omeđena jer je sadržana u kugli x2 + y2 + z2 ≤ a2 + b2 + c2. Sva tri traga su elipse, npr. trag u xy-ravnini (skup z = 0) je elipsa Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kratki katalog ploha drugog reda Jednoplošni hiperboloid Ova ploha je neograničena, ima središte u ishodištu i simetrična je s obzirom na koordinatne ravnine. Siječe koordinatne osi u četiri točke: (±a, 0, 0), (0,±b, 0). Trag u xy-ravnini (skup z = 0) je elipsa Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kratki katalog ploha drugog reda Dvoplošni hiperboloid Ploha siječe koordinatne osi samo u dva vrha (0, 0,±c). Sastoji se od dva dijela: jedan za koji je z ≥ c, drugi za koji je z ≤ −c. To možemo vidjeti napisavši jednadžbu u drugom obliku Mora biti Svaki od ovih dvaju dijelova je neograničen. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kratki katalog ploha drugog reda Eliptički stožac Ploha siječe koordinatne osi samo u ishodištu. Ploha je neograničena. Simetrična je s obzirom na sve tri koordinatne ravnine. Trag u xz-ravnini je par pravaca: z = ±x/a. Trag u yz-ravnini je također par pravaca: z = ±y/b. Trag u xy-ravnini je samo ishodište. Presjek s ravninom paralelnom xy-osi je elipsa. Ako je a = b, ovi presjeci su kružnice i imamo rotacionu plohu koja se najčešće naziva dvostrani kružni stožac ili samo stožac. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kratki katalog ploha drugog reda Eliptički paraboloid Ova ploha nema točaka ispod xy-ravnine, a odozgo je neograničena. Ishodište se naziva tjeme. Presjeci plohe s ravninama paralelnim xy-ravnini su elipse, presjeci plohe s ravninama paralelnim drugim dvjema koordinatnim ravninama su parabole. Zato se ploha i zove “eliptički paraboloid”. Ploha je simetrična s obzirom na xz-ravninu i yz-ravninu. Također je simetrična s obzirom na z-os. Ako je a = b, onda je ploha rotacioni paraboloid. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kratki katalog ploha drugog reda Hiperbolički paraboloid Ovdje imamo simetriju s obzirom na xz-ravninu i yz-ravninu. Presjeci s ravninama paralelnim xy-ravnini su hiperbole, presjeci s ravninama paralelnim drugim koordinatnim ravninama su parabole. Stoga i naziv “hiperbolički paraboloid”. Ishodište je minimum za trag u xz-ravnini, ali maksimum za trag u yz-ravnini. Ishodište se zove sedlasta točka ove plohe. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kratki katalog ploha drugog reda Neka je C proizvoljna krivulja u ravnini. Svi pravci koji sijeku C i okomiti su na ravninu u kojoj C leži čine plohu. Takva ploha naziva se cilindar a okomiti pravci zovu se izvodnice tog cilindra. Parabolički cilindar x2 = 4cy Ova ploha sastoji se od svih pravaca koji prolaze točkama parabole x2 = 4cy (parabola leži u xy-ravnini) i okomiti su na xy-ravninu. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kratki katalog ploha drugog reda Eliptički cilindar Ploha se sastoji od svih pravaca koji prolaze točkama elipse (elipsa leži u xy-ravnini) i okomiti su na xy-ravninu. Ako je a = b, imamo uobičajeni uspravni kružni cilindar. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Kratki katalog ploha drugog reda Hiperbolički cilindar Ploha ima dva dijela, svaki od njih generiran jednom granom hiperbole (u xy-ravnini) Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Plohe Projekcije Neka su S1 : z = f (x, y) i S2 : z = g(x, y) dvije plohe u trodimenzionalnom prostoru koje se sijeku u prostornoj krivulji C. Krivulja C je skup svih točaka (x, y, z) za koje je z = f (x, y) i z = g(x, y). Skup svih točaka (x, y, z) takvih da je f (x, y) = g(x, y) (Ovdje je z neograničen.) je vertikalni cilindar koji prolazi kroz C. Skup svih točaka (x, y, 0) takvih da je f (x, y) = g(x, y) (Ovdje je z = 0.) zove se projekcija od C na xy-ravninu. Na slici gore to je krivulja u xy-ravnini koja leži upravo ispod C. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Nivo krivulje Nivo krivulje Neka je f nekonstantna funkcija definirana na nekom području u xy-ravnini. Ako je c broj u slici funkcije f, onda možemo odrediti krivulju f (x, y) = c. Takva krivulja zove se nivo krivulja od f. Dobiva se kao projekcija presjeka grafa funkcije f (skupa točaka oblika (x,y,f(x,y)), gdje (x,y) ide po domeni funkcije f ) i horizontalne ravnine z = c na xy-ravninu. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Nivo krivulje Na ovim i idućim slikama ucrtane su nivo krivulje za više različitih realnih brojeva c. Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Nivo krivulje Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Nivo krivulje Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Nivo krivulje Applet za bolje upoznavanje nivo krivulja. Na webu, adresa: http://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/salas/0471698040/calc_applets/figure15_3_6/contours.htm Trebate imati instaliranu i omogućenu upotrebu Jave u vašem pregledniku Salas, Hille, Etgen Calculus: One and Several Variables Copyright 2007 © John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.