Modelarea matematica a proceselor biologice - Curs -

Structura cursului: Cap Structura cursului: Cap. 1: Introducere in modelarea numerica a proceselor biologice Cap. 2: Ecuatii de transport Cap. 3: Difuzia. Conductia termica. Cap. 4: Microcurgeri

Cap. 5: Micropicaturi Cap. 6: Transportul speciilor biochimice Cap Cap. 5: Micropicaturi Cap. 6: Transportul speciilor biochimice Cap. 7: Reactii biochimice Cap. 8: Curgerea si transportul de masa in domenii variabile Cap. 9: Transportul in camp magnetic Cap.10: Transportul in camp electric

BIBLIOGRAFIE: 1) Friedman M. H BIBLIOGRAFIE: 1) Friedman M.H. 2008, Principles and models of biological transport; Springer. 2) Kojic M, et al. 2008, Computer modeling in bioengineering; Wiley & Sons. 3) Berthier J., Silberzan P. 2005, Microfluidics for Biotechnology; Artech House, Boston/London. 4) Alberts B, et al. 2002 Molecular biology of the cell; 4th ed. New York, Garland Science. 5) Perthame B. 2007 Transport equations in biology; Birkhauser Verlag. 6) Dym C. 2004 Principles of mathematical modelling; Academic Press.

Capitolul 2: Ecuatii de transport A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) Capitolul 2: Ecuatii de transport 2.1 Ecuatia de continuitate 2.2 Ecuatia de transport a unei marimi fizice scalare 2.3 Conditii initiale si conditii pe frontiera 2.4 Adimensionalizare 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport (seminar)

A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.1 Ecuatia de continuitate (densitatea de flux) Forma integrala a ecuatiei de continuitate:

2.1 Ecuatia de continuitate -2- A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.1 Ecuatia de continuitate -2- Folosind teorema divergentei (Gauss) obtinem: de unde rezulta forma diferentiala (locala) a ecuatiei de continuitate: In absenta termenului sursa : In mecanica fluidelor : cu cazul particular pentru fluide incompresibile :

2.2 Ecuatia de transport a unei marimi fizice scalare A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.2 Ecuatia de transport a unei marimi fizice scalare Forma generala:

Tipuri de ecuatii cu derivate partiale: A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.2 Ecuatia de transport a unei marimi fizice scalare -2- Tipuri de ecuatii cu derivate partiale: – dupa dependenta de variabila timp stationare: solutia nu depinde de timp nestationare: solutia depinde de timp – dupa ordinul de derivare de ordinul I: de ordinul II: eliptice parabolice hiperbolice etc..

2.3 Conditii initiale si conditii pe frontiera A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.3 Conditii initiale si conditii pe frontiera Conditie initiala: Tipuri de conditii pe frontiera: - Dirichlet - Neumann - Robin - Cauchy - mixta

Conditie de tip Dirichlet Conditie de tip Neumann A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.3 Conditii initiale si conditii pe frontiera -2- Conditie de tip Dirichlet (Johann Peter Gustav Lejeune;1805-1859) Conditie de tip Neumann (Carl Gottfried;1832-1925)

Conditie de tip Robin Conditie de tip Cauchy Conditie de tip mixt A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.3 Conditii initiale si conditii pe frontiera -3- Conditie de tip Robin (Victor Gustave;1855-1897) Conditie de tip Cauchy (Augustin-Louis;1789-1857) Conditie de tip mixt

A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.4 Adimensionalizare Consta in impartirea marimilor fizice cu altele, de aceeasi natura, considerate de referinta pentru sistemul analizat, astfel incat sa obtinem in ecuatiile de transport si in conditiile initiale si pe frontiera doar cantitati adimensionale; Pe langa termenii initiali, vor aparea niste rapoarte adimensionalizate (numere) numite parametri adimensionali; Se urmareste ca valorile parametrilor adimensionali sa fie de ordinul unitatii (caz ideal); In urma unei adimensionalizari corecte se vor obtine in ecuatie termeni de marimi comparabile, fara dimensiuni fizice, ceea ce usureaza din punct de vedere numeric rezolvarea problemei.

Exemplu de adimensionalizare: A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.4 Adimensionalizare -2- Exemplu de adimensionalizare: Obs: am notat cu “*” marimile fizice adimensionalizate

2.5 Simularea numerica a unui proces de transport A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport ETAPE DE LUCRU: Construirea geometriei problemei si generarea retelei de calcul Definirea modelului fizic (Preprocesare) : - ecuatii matematice - conditii initale si pe frontiera - parametrii de material Rezolvarea numerica a problemei Vizualizarea si analiza (numerica si fizica) a rezultatelor (Postprocesare) - Feedback/Debugging (daca este cazul!)

Crearea geometriei (domeniului de calcul) si generarea retelei: A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -2- Crearea geometriei (domeniului de calcul) si generarea retelei:

Construirea geometriei si generarea retelei de calcul: A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -3- Construirea geometriei si generarea retelei de calcul:

2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -4- A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -4-

Ce este FREEFEM++? (http://www.freefem.org/ff++/) A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -5- Ce este FREEFEM++? (http://www.freefem.org/ff++/) Solver de ecuatii cu derivate partiale (EDP) liniare bazat pe metoda elementului finit (FEM) Sintaxa imprumutata din C++ Geometrie 2D sau 3D axisimetrica Generator de retea automat si performant Permite lucrul cu geometrii si retele variabile (deformabile) Descriere variationala a problemei (formula Green) Foloseste o gama larga de solvere, la alegerea utilizatorului Utilizeaza mai multe tipuri de functii de interpolare Reprezentarea rezultatelor sub forma de grafice sau fisiere de date

Conditie pe frontiera : A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -6- Exemplu de calcul: Conditie pe frontiera : Caz particular: f (x, y) = 1.

Programul (fisier ***.edp): A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -7- Programul (fisier ***.edp): mesh dom=square(20,20); fespace Vh(dom,P1); Vh u,w; solve prob1(u,w)=int2d(dom)(dx(u)*dx(w)+dy(u)*dy(w))+ int2d(dom)(-1*w) +on(1,2,3,4,u=0); plot(dom,wait=1); plot(u,value=true);

2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -8- A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -8- Geometria si reteaua de calcul: Formulare variationala (formula Green) int2d(dom)( dx(u)*dx(w) + dy(u)*dy(w) ) (forma biliniara) int2d(dom)( f*w ) (forma liniara)

Vizualizare si analiza rezultatelor: A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -9- Vizualizare si analiza rezultatelor:

Exercitii: Construirea geometriei si generarea retelei de calcul A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -10- Exercitii: Construirea geometriei si generarea retelei de calcul Generarea unui domeniu dreptunghiular: border a (t=0,1) {x=t; y=0; label=1;}; border b (t=0,0.5) {x=1; y=t; label=2;}; border c (t=1,0) {x=t; y=0.5; label=3;}; border d (t=0.5,0) {x=0; y=t; label=4;}; border ii (t=0,1) {x=t; y=0.25; label=5;}; plot(a(30)+b(20)+c(30)+d(20)+ii(30), wait=1); mesh ex1 = buildmesh (a(30)+b(20)+c(30)+d(20)+ii(30)); plot (ex1);

2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -11- A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -11- Generarea unui domeniu circular: border a (t=0,2*pi){x=cos(t);y=sin(t);label=1;}; border b (t=0,2*pi){x=0.3+0.3*cos(t);y=0.3*sin(t);label=2;}; plot(a(50)+b(30),wait=1); plot(a(50)+b(-30),wait=1); mesh cerc1=buildmesh (a(50)+b(30)); mesh cerc2=buildmesh (a(50)+b(-30)); plot(cerc1,wait=1); plot(cerc2);

2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -12- A. Neculae: Modelarea matematica a proceselor biologice (Curs) 2.5 Simularea numerica a unui proces de transport -12-