LESSON PLAN – 1 विषय : गणित उपविषय : समांतर श्रेढ़ी Arithmatic Progression कक्षा : दसवीं समय : 40 मिनट

सामान्य उद्देश्य (General Objectives) छात्रों की तर्क शक्ति का विकास करना । छात्रों की अंकगणितीय क्षमता को विकसित करना ।

विशिष्ट उद्देश्य Specific Objectives इस पाठ के अंत मे छात्र सक्षम हो जाएंगे समांतर श्रेढ़ी (A. P.) की पहचान करने मे । A. P. के उदाहरण देने में । A. P. के प्रथम पद और उसका सार्व अंतर ज्ञात करने मे। A. P. के प्रथम पद और उसका सार्व अंतर दिये होने पर A. P. लिखने में ।

उत्प्रेरण (motivation) क्या आपने ध्यान दिया है कि हमारे आसपास अनेक वस्तुएँ एक निश्चित प्रतिरूप (pattern) का अनुसरण करती हैं

झो

कुछ एसे ही पैटर्न हमें अपने दैनिक जीवन मे भी अक्सर देखने को मिलते है आइए कुछ उदाहरण देखेँ

यहाँ प्रत्येक पंक्ति मे मोटरसाइकल सवारों की संख्या का क्या पैटर्न है ? 5 , 4 , 3 , 2 और 1

पाइपों के इस ढेर को ध्यान से देखिये । पंक्तियों मे पाइपों की संख्या का क्या पैटर्न है सबसे नीचे की पंक्ति मे 11 पाइप हैं, उसके ऊपर 10, फिर 9 और इसी प्रकार कुल 9 पंक्तियाँ हैं 11 ,10 , 9 , 8, 7, 6, 5, 4, 3

हिमांशु को एक कंपनी मे नौकरी मिल जाती है हिमांशु को एक कंपनी मे नौकरी मिल जाती है ! उसे 10000 रूपये प्रतिमाह वेतन और 500 रूपये सालाना वेतन वृद्धि मिलती है उसका वेतन पहले, दूसरे, तीसरे वर्ष इत्यादि क्रमशः कितना होगा 10000, 10500, 11000, 11500, 12000, ....

चर्चा (Discussion) कक्षा को समूहों मे बाँट कर यह कार्य करवाएँ क्या आप निम्नलिखित सूचियों (lists) मे से प्रत्येक मे अगला पद लिख सकते है ? यदि हाँ तो आप यह केसे करोगे? क्या किसी पैटर्न का अनुसरण करते हुए एसा करोगे ? ग्रुप 1 : 1, 3, 5, 7, __, __, __ ग्रुप 2 : 13 , 17, 21, 25, __, __, __ ग्रुप 3 : 100, 94, 88, 82, __, __, __ ग्रुप 4 : 5, 5, 5, 5, __, __, __ प्रत्येक ग्रुप को यह कार्य पूरा करने के लिए 2-3 मिनट का समय दें

प्रत्येक ग्रुप को अपनी खोज कक्षा के सामने रखने का मौका दें संभावित उत्तर : ग्रुप 1 : प्रत्येक पद पिछले पद से 2 अधिक है ग्रुप 2 : प्रत्येक पद पिछले पद से 4 अधिक है ग्रुप 3 : प्रत्येक पद पिछले पद से 6 कम है अतः पिछले पद मे से 6 घटाने पर अगला पद प्राप्त होता है ग्रुप 4 : सभी पद समान हैं यदि कोई ग्रुप उत्तर न दे पाए तो अध्यापक अन्य ग्रुप की सहायता से छात्रों से ही निष्कर्ष निकलवाए

पैटर्न (pattern) 1, 3, 5, 7, __, __, __ 100, 94, 88, 82, __, __, 1, 3, 5, 7, __, __, __ 100, 94, 88, 82, __, __, 5, 5, 5, 5, __, __

अध्यापक : इन सभी सूचियों मे हम देखते हैं की अगला पद इससे पहले पद मे एक निश्चित संख्या जोड़कर ( या घटाकर ) प्राप्त किया जाता है संख्याओं की एसी सूची को समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression ) अथवा A.P. कहा जाता है A.P. मे आने वाली प्रत्येक संख्या को एक पद (term) कहते हैं वह निश्चित संख्या A.P. का सार्व अंतर ( commom difference ) कहलाती है

Suggested Activity क्रियाकलाप विद्यार्थि Paper Cutting के क्रियाकलाप के माध्यम से AP का अर्थ समझेंगे जिसमे वे AP को visualize कर सकेंगे । इस क्रियाकलाप की जानकारी के लिए आप CBSE की वैबसाइट पर निम्नलिखित link पर उपलब्ध pdf फ़ाइल डाउन लोड कर उसकी Activity 2--Arithmetic Progression - I का अध्ययन कर सकते हैं http://www.cbse.nic.in/mathlabx.pdf

कैलेंडर के पैटर्न मे भी AP के उदाहरण ढूंडे जा सकते हैं

AP पर कैलेंडर आधारित क्रियाकलापों के और उदाहरणों के लिए आप श्री अरविंद गुप्ता जी का एक विडियो इस लिंक पर देख सकते हैं https://www.youtube.com/watch?v=mYqhtI6dllQ

व्यापक रूप (General Form ) दूसरा पद =a +d तीसरा पद = a +d +d =a +2d चौथा पद = a +2d+d=a+3d इस प्रकार समांतर श्रेढ़ी का अगला पद पिछले पद मे एक निश्चित संख्या (d- सार्व अंतर) को जोढ़ने से प्राप्त होता है a , a +d , a + 2d ,a +3d, a +4d, a +5d , ...., ......, ..... an = a +(n-1)d

ग्रुप कार्य (Group Work) कक्षा को 5-5 बच्चों के समूहों मे बांटें ग्रुप 1. अपने दैनिक जीवन से A.P. के दो उदाहरण लिखो

ग्रुप 2 . कमल के पास एक मिठाई का डिब्बा है जिसमे 18 लड्डू है . कमल हर दिन 3 लड्डू खा लेता है , डिब्बे में हर दिन शेष लड्डू का पैटर्न लिखो । क्या यह एक A.P. है ? यदि हाँ तो ‘a’ और ‘d’ लिखो ।

ग्रुप कार्य (Group Work) ग्रुप 3. हर्ष की गुल्लक मे 10 रू हैं हर हफ्ते अपनी गुल्लक मे 7 रू डालता है उसकी हर सप्ताह के अंत मे जमा राशि का पैटर्न क्या एक A.P. है ? यदि हाँ तो ‘a’ और ‘d’ लिखो ।

मूल्यांकन (Evaluation) प्रत्येक ग्रुप से एक ग्रुप लीडर उन्ही के द्वारा चुना जाएगा ग्रुप लीडर कक्षा के समक्ष अपनी खोज को प्रस्तुत करेगा

ग्रहकार्य (Home assignment) बच्चों को A P से सम्बन्धित विभिन्न समस्या पर प्रश्न दिए जाएँ, जैसे समांतरश्रेढी (A.P.) को पहचानना , प्रथम पद और सार्व अंतर को ज्ञात करना प्रथम पद और सार्व अंतर से A P को प्राप्त करना

Project work बच्चे अपने आस पास घटित होने वाली घटनाओं या वस्तुओं में A.P. के प्रारूप को खोजें और तस्वीरें एकत्रित कर चार्ट पर या scrap book पर चिपका कर Project तैयार करें i

THANKS Prepared by Om Prakash, PGT (MATHS) GSSS MANJHOL(D), Distt Solan. Sh Devender Singh Kanwar , Lect in maths GSSS Chandi, Distt Solan. Sh Subhash Chand , DPE GSSS Chandi, Distt Solan.

LESSON PLAN – 2 विषय : समांतर श्रेढ़ी उपविषय : समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग Sum of n terms of an Arithmatic Progression कक्षा : दसवीं समय : 40 मिनट

सामान्य उद्देश्य (General Objectives) छात्रों की तर्क शक्ति का विकास करना । छात्रों की अंकगणितीय क्षमता को विकसित करना ।

विशिष्ट उद्देश्य Specific Objectives इस पाठ के अंत मे छात्र सक्षम हो जाएंगे समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग ज्ञात करने में।

यहाँ प्रत्येक पंक्ति मे मोटरसाइकल सवारों की संख्या का क्या पैटर्न है ? 5 , 4 , 3 , 2 और 1

इस स्टंट मे कुल कितने लोग शामिल हैं? 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

पाइपों के इस ढेर मे कुल कितने पाइप हैं पाइपों के इस ढेर मे कुल कितने पाइप हैं ? सबसे नीचे की पंक्ति मे 11 पाइप हैं, उसके ऊपर 10, फिर 9 और इसी प्रकार कुल 9 पंक्तियाँ हैं 11 + 10 + 9 + _ _ _ 9 पद

एक कोंफ्रेस हाल मे कुर्सियों की 20 पंक्तियाँ हैं । पहली पंक्ति मे 20 कुर्सियाँ हैं, दूसरी मे 21, तीसरी में 22 और इसी प्रकार। क्या आप बता सकते हैं हाल में कुल कितनी कुर्सियाँ हैं ? 20 + 21 + 22 + 23 _ _ _ _ 20 पद

1 से 100 तक सभी धन पूर्णांकों का योग क्या होगा ? 1 + 2 +3 + 4 + 5 + _ _ _ + 100

Prince Of mathematics कार्ल फ़्रेडरिक गौस्स (30 April 1777 – 23 February 1855 वह केवल 10 वर्ष के थे जब उन्होने यह समस्या हल कर दी थी ।

ध्यान दें की यह सभी AP के उदाहरण हैं 11 + 10 + 9 + _ _ _ 9 पद 20 + 21 + 22 + 23 _ _ _ _ 20 पद 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + _ _ _ + 100 जिसमे हमें प्रथम n पदों का योग ज्ञात करना है

आइये देखें GAUSS ने इस समस्या को किस प्रकार हल किया था 1 + 2 + 3 + _ _ _ 98 + 99 + 100 प्रथम और अंतिम पद का योग = 1+100= 101 इसी प्रकार 2+99=101 3+98=101 ... आदि इस प्रकार एसे कितने युग्म बनेंगे जिनका योग 101 है = 50 इसलिए कुल योग = 50 x 101 = 5050

वास्तव मे इस तकनीक का प्रयोग कर हम दी हुई क्रमागत संख्याओं का योग ज्ञात कर सकते हैं , जैसे 21 + 22 + 23 + _ _ _ + 50 यहाँ पदों की संख्या = 30 इसलिए कुल योग = =

AP के प्रथम n पदों का योग एक AP a + a1 + a2 + a3 +_ _ _ + an-1+ an माना सार्व अंतर = d इसलिए योग = =

उदाहरण के लिए 20 + 21 + 22 + 23 _ _ _ _ 20 पद उदाहरण के लिए 20 + 21 + 22 + 23 _ _ _ _ 20 पद यहाँ a = 20 d = 1 और n = 20

ग्रुप कार्य (Group Work) कक्षा को 5-5 बच्चों के समूहों मे बांटें प्रत्येक ग्रुप को एक AP का उदाहरण देकर उसके प्रथम 5 या 6 पदों का योग ज्ञात करने का कार्य दे यह कार्य ग्रुप द्वारा एक समय सीमा के भीतर पूरा किया जाना चाहिए और शिक्षक की भूमिका एक facilitator की रहेगी

मूल्यांकन (Evaluation) प्रत्येक ग्रुप से एक ग्रुप लीडर उन्ही के द्वारा चुना जाएगा ग्रुप लीडर कक्षा के समक्ष अपनी खोज को प्रस्तुत करेगा

ग्रहकार्य (Home assignment) बच्चों को A P के प्रथम n पदों के योग के सूत्र पर आधारित विभिन्न समस्या पर प्रश्न दिए जाएँ, जो कि उनके सामाजिक व सांस्कृतिक जीवन से संबन्धित हो जेसे कि इस पाठ के प्रारम्भ मे उनसे पूछे गए थे ।

Thanks This lesson is intended to provide the teacher with a sort of guideline only. This lesson plan is in the draft phase, any suggestion / comment for the betterment is cordially accepted. OM PRAKASH PGT (Mathematics) GSSS Manjhol (D), Solan, H.P.