שיטות נומריות בהנדסה 362-1-3341 בסמסטר ב' תשס"ט ניתן הקורס "שיטות נומריות בהנדסה" שהוא קורס חובה במסגרת המחלקה להנדסת מכונות לסטודנטים בשנה ב'. קורס זה מקנה את היסודות לשיטות פתרון בעיות מתמטיות באמצעות מחשב. הקורס מועבר ע"י פרופ' אלכס יחוט שעות הקבלה : 15:00-16:00 בימי ג', חדר 309 בבנין הנדסת מכונות מומלץ מאוד "לבקר" באתר הקורס: www.bgu.ac.il/~yakhot/nm1 .

מדוע אנחנו צריכים שיטות נומריות? $ By 2000, the cost an aircraft wing calculation was reduced by the factor of

מדוע אנחנו צריכים שיטות נומריות? Software : Hardware ??? 1 : 1

מדוע אנחנו צריכים שיטות נומריות? חישוב מומנט התמד סביב ציר z לגוף בעל הצורה הבאה: חישוב מקדם חיכוך f עבור זרימה טורבולנטית בצינור מחוספס:

מדוע אנחנו צריכים שיטות נומריות? חישוב תנועה של מערכת קפיצים : תנועת המערכת נתונה ע"י פתרון של מערכת משוואות דיפרנציאליות: בניסוי נמדד הספק חשמלי של גנראטור מה"ד (MHD – מגנטו-הידרודינאמי המשתמש במתכות נוזליות) כתלות בטמפרטורה של המתכת. מצא משוואת הקו בד"כ לבעיות אלו אין פיתרון אנליטי. דרוש פיתרון נומרי!

Numerical Methods for Engineers Plan: Introduction Numerical Interpolation and Approximation Root of Equations (Direct-search Method – Bisection Method – Newton-Raphson Iteration – Secant Method – Applications) Numerical Differentiation and Integration 5. Numerical Solution of Differential Equations 6. Numerical Solution of Linear Equations Systems Keywords: Matrices – Vectors – Root of Equations – Numerical Interpolation, Differentiation and Integration - Linear Equations Systems

INTERPOLATIONאינטרפולציה -

טור טיילור לצורך ניתוח מתמטי של פונקציות משתמשים בקירוב הפונקציה ע"י פולינום. דוגמת הפולינום שמקרב פונקציה f(x) הוא טור טיילור: הפולינום הזה מקרב פונקציה f(x) עם n הנגזרות שלה בסביבה של נקודה 0x שגיאת הקירוב (שארית של טיילור):

אינטרפולציה ע"י פולינומים פולינום p(x) מדרגה :n תכונות של פולינומים לפולינום מדרגה n ישנם 1+n מקדמים (אפס) שורש של פולינום: לפולינום מדרגה n יש בדיוק n שורשים. חלק מהם יכולים להיות מרוכבים. השורשים יכולים להיות שווים (ריבוי שורש. דרגת הריבוי- מספר שורשים זהים) ניתן לרשום את הפולינום כ: אינטרפולציה: נניח כי קיימות 1+n נקודות שונות וקיימת פונקציה f(x) מוגדרת בקטע [a, b]= Iכאשר הקטע מכיל את הנקודות אנו רוצים לבנות פולינום אינטרפולציה ל f(x) מדרגה ≤ n שיעבור דרך הנקודות, כלומר הפולינום אמור לקיים: חשוב להדגיש שהפולינום עובר דרך כל הנקודות!

פולינום (פונקצית) אינטרפולציה משפט: קיים פולינום אינטרפולציה מדרגה ≤ n והוא יחיד הוכחה (ע"י שלילה) שהפולינום יחיד. נניח שקיימים 2 פולינומים מדרגה ≤ n שני הפולינומים שווים: אזי בכל נקודות הטבלה ז"א נקודות הטבלה הן שורשים של הפולינום Pn(x) כך שיש לו 1+n שורשים. אבל לפולינום מדרגת n יכולים להיות רק n שורשים. קיבלנו סתירה! נוכיח שהפולינום קיים ע"י בנייתו.

METHOD OF UNDETERMINED COEFFICIENTS interpolation function coefficients are determined using measured data

METHOD OF UNDETERMINED COEFFICIENTS

METHOD OF UNDETERMINED COEFFICIENTS

פולינום אינטרפולציה בצורת Newton-Gregory נניח כי בנינו פולינום pn-1(x) שעובר דרך n נקודות הטבלה והוספנו עוד נקודה (fn ,xn ) נבנה את הפולינום החדש לפי: ברור שהתוספת לפולינום הישן pn-1(x) לא שינתה את הערכים שלו בנקודות x0, x1, …xn-1 כי התוספת שווה ל 0 בנקודות אלו. עובדה זו מכוונת אותנו לבניית הפולינום מנקודה בודדת עם הוספת נקודה אחרי נקודה:

פולינום Newton-Gregory (המשך) נמצא את המקדמים ע"י השוואת הפולינום בנקודות הטבלה לערך הפונקציה באותן הנקודות:

Example: Vapor Pressure Data

פולינום Newton-Gregory (המשך) נמצא את המקדמים ע"י השוואת הפולינום בנקודות הטבלה לערך הפונקציה באותן הנקודות: ע"י הפיתרון של המשוואות הנ"ל נמצא את המקדמים a0, a1,…an את התוצאה ניתן להציג ע"י "טבלת הפרשים מחולקים" ((Divided Differences

Divided Differences: Notation - n data points

Divided Differences (cont.) מבולבלים?

Divided Differences: Algorithm בניית מטריצה אלכסון של המטריצה עדיין מבולבלים?

Divided Differences: Algorithm Example

בניית פולינום ע"י צורת לגרנג' ((Lagrange נבנה פולינום אינטרפולציה לפי הנוסחא: ניתן לראות כי "פונקציות משקל" הן - n+1 data points נבדוק שהפולינום כן עובר דרך כל נקודות הטבלה. נציב את הנקודה xi: חסרונות של פולינום לגרנג': בניית הפולינום דורשת הרבה פעולות אריתמטיות הוספת נקודה חדשה לטבלה מצריכה בניית פולינום מחדש

פולינום לגרנג' ((Lagrange: פונקציות משקל נבנה פולינום אינטרפולציה לפי הנוסחא: ניתן לראות כי "פונקציות משקל" הן

דוגמה: פולינום לגרנג' n=2 נבנה פולינום אינטרפולציה לפי הנוסחא:

דוגמה: פולינום לגרנג' n=2 נבנה פולינום אינטרפולציה לפי הנוסחא:

דוגמה: פולינום לגרנג' n=4 data (sample) points