FRACTALI Grafică computerizată (sem. I) Aplicaţii (sem. II) Curs opţional Anul III Informatică (2009-2010) Lector dr. Stănică Daniel

Obiective: Semestrul I (Fractali. Grafică computerizată): Acest curs îşi propune să pună în evidenţă multitudinea de structuri fractalice existente şi să dea o perspectivă grafică computerizată a acestora. Semestrul II (Fractali. Aplicaţii): Acest curs îşi propune să pună în evidenţă multitudinea de aplicaţii ale structurilor fractalice în diverse ramuri ale ştiinţei. Se va realiza şi modelarea grafică computerizată a unor elemente din natură şi unele elemente de codare a imaginilor in computer.

Ce sunt fractalii? Termenul fractal provine din latinescul fractus, care înseamnă "spart“, "fracturat". Acest termen a fost introdus de Benoît Mandelbrot, în 1975. Un fractal este un obiect matematic care are o structură detaliată la orice scară. În structura unui fractal, fiecare parte este asemănătoare cu fractalul întreg (este autosimilar).

Fractalii, aceste deosebite obiecte matematice, de o mare complexitate, sunt generaţi printr-un procedeu matematic relativ simplu (metoda iteraţiei). Dimensiunea geometrică a unui fractal se bazează pe dimensiunea Hausdorff, care este o extensie a dimensiunii euclidiene. Dacă în geometria euclidiana un obiect nu are decât o dimensiune întreagă, în geometria fractală dimensiunile sunt, în general, numere reale neîntregi pozitive.

Exemple de fractali

Curba lui Koch perimetrul = 7.11 perimetrul = 3 perimetrul = 4 Şi, continuând, perimetrul = infinit, pentru această figură geometrică inclusă într-o mulţime cu aria finită.

Curba lui Hilbert Curba lui Hilbert este un exemplu de curbă continuă, de lungime infinită, fără autointersecţii, care “umple” un pătrat.

Covorul lui Sierpinsky Covorul lui Sierpinsky este un exeplu de obiect geometric despre care nu putem preciza dacă este o curbă sau o suprafaţă.

Un fractal tridimensional Buretele lui Menger

Bazinele de atracţie pentru metoda lui Newton de aproximare a soluţiilor ecuaţiei z3+1=0

Un fractal clasic: Mulţimea Mandelbrot

Dacă privim în profunzimea unui fractal, observăm structura sa complexă şi autosimilaritatea.

Aplicaţii: Interpolare fractală (codarea imaginii) Ştiţi câte ecuaţii liniare (y=ax+b) sunt necesare pentru a descrie complet această imagine fractală, adică pentru a o memora şi a o reconstrui? Doar 4!

Compresia fractală a imaginii JPEG-maximă calitate (32,072 bytes) raţia de compresie: 5.75:1 Compresie fractală - (30,368 bytes) raţia de compresie 6.07:1 Imaginea originală (184,320 bytes)

Exemple de fractali în natură: nori, munţi, sol lunar, plante etc.

Un fractal natural: Brocoli Romanesco

Un fractal în corpul uman

Alţi fractali în natură

Conţinutul cursului Semestrul I Programa : Noţiuni introductive despre fractali şi dimensiune fractală; Un proces de dinamica a populaţiei şi reprezentarea sa fractală (modelul Robert May); Metode algoritmice pentru determinarea dimensiunii fractale; Grafica computerizată a unor bazine de atracţie ale unor metode iterative de aproximare a soluţiilor ecuaţiilor neliniare şi reprezentarea lor fractală (metoda Lin, metoda Bairstrow, metoda Newton,.metoda secantei, metoda parabolei, metoda Ostrowski, metoda Cebâşev, metoda Halley etc.); Construcţia şi algoritmi de reprezentare grafică pentru unele tipuri de fractali (curba lui Koch, curba lui Peano, curba lui Sierpinsky, covorul lui Sierpinsky, curba lui Hilbert, plante Lindenmayer, curba dragonului, curba C etc.); Mulţimi fractale obţinute iterativ: exemple şi reprezentări grafice (mulţimi Julia, mulţimi Mandelbrot etc.); Fractali fără iteraţie: exemple şi reprezentări grafice. Bibliografie: Karl-Heinz Becker, Michael Dorfler – Dynamical systems and fractals, Cambridge University Press, 1991. Benoit Mandelbrot – Obiectele fractale, Editura Nemira, 1998. Dick Olivier – Fractali, Editura Teora, 1996. G. Cherbit (editor) – Dimensions non entieres et applications – MASSON – 1991. Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jurgens, Dietmar Saupe – Chaos and Fractals – SPRINGER-VERLAG – 2004. Gilbert Helmberg – Getting Acquainted with Fractals - Walter de Gruyter – 2007.

Semestrul al II- lea Programa : Noţiuni introductive despre fractali şi dimensiune fractală; Interpolare fractală; Modelarea unor elemente din natură: plante, nori, galaxii etc. Reprezentări grafice computerizate; Modelarea unor forme de relief : munţi bazine hidrografice, ţărmuri etc. Reprezentări grafice computerizate; Prelucrarea imaginilor: codarea (compresia) fractală. Algoritmi; Aplicaţii în meteorologie: efectul fluturelui; Alte aplicaţii (în economie, fizică, biologie etc.) Bibliografie: Benoit Mandelbrot – Obiectele fractale, Editura Nemira, 1998. Dick Olivier – Fractali, Editura Teora, 1996. Jaap A. Kaandorp - Fractal Modelling. Growth and Form in Biology – SPRINGER-VERLAG – 1994. Michael Barnsley, Hawley Rising. - Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. Yuval Fisher (editor) - Fractal image encoding - SPRINGER-VERLAG – 1998. Radu Dobrescu, Catalin Vasilescu (editori) - Interdisciplinary applications of fractal and chaos theory – Editura Academiei, 2004

 Chiar şi în lanurile de grâu “extratereştrii” au decupat fractali: