Algoritmi

Metode Deli in vladaj Požrešna metoda problem razdelimo na podprobleme, ki jih rešimo in dobljene podrešitve združimo v rešitev Požrešna metoda rešitev gradimo kot zaporedje odločitev, kaj spada v rešitev in kaj ne. Poglavitno delo - premislek v kakšnem vrstnem redu dodajamo rešitve

Metode Dinamično programiranje Sestopanje Razveji in omeji zaporedje odločitev, ki vodi k optimalni rešitvi Sestopanje gradimo rešitev, odločitev po kateri poti, v primeru "slepe ulice" se vrnemo nazaj. Razveji in omeji gradimo rešitev, vodimo seznam možnih poti in odvržemo tiste, ki ne vodijo k pravi rešitvi

Deli in vladaj problem razdelimo na podprobleme te rešimo rešitve združimo podproblemi so lahko iste narave ali drugačne Deli in vladaj bomo jemali v "ožjem smislu" - le za podprobleme iste narave

Deli in vladaj osnovni algoritem deli in vladaj(a,dno,vrh, resitev) /* resimo problem dolocen s podatki adno, …, avrh */ if problem majhen(dno,vrh) resi(a,dno,vrh,resitev) else s = deli(dno,vrh); deli in vladaj(a, dno, s, resitev1); deli in vladaj(a, s+1, vrh, resitev2); zdruzi(a,dno,s,vrh,resitev1,resitev2,resitev);

Deli in vladaj pomembno poiskati ravnovesje med deljenjem v globino in preprostostjo rešitve majhnega problema deli naj razdeli podproblema na čim bolj enaka dela združi včasih ni potrebna operacija predstavitev pogosto rekurzivna

Hitro urejanje Izberi si delilni element razdeli na dva dela <=x >=x z istim postopkom uredi oba dela

procedure qs_r(var t: tabela; l, d: integer) { (* hitro uredi t od l do d *) (* urejamo cela stevila *) var i, j, x: integer; el: integer; i := l; j := d; (* iskalca *) x = t[l]; (* delilni element *) while (i <= j) do begin while (t[i]<x and i<d) do i := i + 1; (* poisci prvega, ki ni manjsi *) while (t[j]>x and j>l) do j := j - 1; (* poisci prvega, ki ni vecji *) if (i<=j) then begin (* zamenjaj *) el := t[i]; t[i] := t[j]; t[j] := el; i := i - 1; j := j - 1; end; if (l<j) qs_r(t,l,j); (* uredimo levo polovico *) if (i<d) qs_r(t,i,d); (* uredimo desno polovico *)

Analiza zahtevno pričakovana zahtevnost: O(n log n) na majhnih zaporedjih običajno nehamo in uporabimo kaj drugega metoda lahko tudi O(n2) časa - če delilni element vedno največji ena najbolj uporabljanih metod

Urejanje z zlivanjem preprosto deljenje (/2) zlivanje je združevanje zgled 1, 2, 6, 8, 13, 19 in 2, 4, 6, 7, 11 1, 2, 2, 4, 6, 7, 8, 11, 13, 19

Urejanje z zlivanjem algoritem uredi z zlivanjem(a,dno,vrh) { if dno < vrh s = (dno + vrh) / 2; uredi z zlivanjem(a,dno,s); uredi z zlivanjem(a,s+1,vrh); zlij(a,dno,s,vrh); }

Zlivanje dokler oba dela nista prazna ko je eden od delov prazen izberi manjšega prepiši premakni se v delu, odkjer je manjši naprej ko je eden od delov prazen v preostanku so vsi elementi večji prepišemo

Drugi problemi bisekcija poišči najmanjšega, največjega hitro urejanje Hanoi iskanje k-tega elementa po velikosti Strassenovo množenje matrik Hitra Fouriejeva transformacija

Min/Max Poišči najmanjšega/največjega Neposredni algoritem Število primerjanj podatkov: 2(n-1) Deli in vladaj Število primerjanj podatkov: 3n/2 – 2 (n = 2k)

Neposredni algoritem Min := max := t[1]; For i := 2 to n do if t[i] > max then max := t[i]; if t[i] < min then min := t[i]; _________________________________________ (N – 1) ponovitev zanke, v kateri sta dve primerjanji 2N - 2

Deli in vladaj Procedure maxmin(t:podatki; od,do:integer, var max,min: podatek); var s: integer; l_min,Lmax, d_min, d_max: integer; begin if od = do then begin max := t[od]; min := max end; else if od = do – 1 then { dva el. } if t[od] < t[do] then begin max := t[do]; min := t[od] end else begin max := t[od]; min := t[do] end else begin { vec elementov } s := (od + do) div 2; { sredina } maxmin(t, od, s, l_max, l_min); maxmin(t, s + 1, do, d_max, d_min); if l_max > d_max then max := l_max else max := d_max; if l_min > d_min then min := l_min else min := d_min end;

Časovna zahtevnost Le primerjave elementov T(1) = 0 T(2) = 1 T(n) = T(n/2) + T(n/2) + 2

Časovna zahtevnost T(n) = 2T(n/2) + 2 = 2k-1T(2) + vsota(2i,i,1, k-1) = 2k-1 + 2k – 2 = 2k(1/2 + 1) – 2 = n(3/2) - 2

Poišči k-ti element po velikosti Deli kot pri hitrem urejanju Če je v levem delu >= k elementov, ga poiščemo levo Če je levo > k (recimo j) elementov, poiščemo k – j tega v desnem delu.

Primer 70, 75, 80, 85, 60, 55, 50, 45 Deli (okoli 70) Iščemo sedmega 45, 75, 80, 85, 60, 55, 50, 70 45, 50, 80, 85, 60, 55, 75, 70 45, 50, 55, 85, 60, 80, 75, 70 45, 50, 55, 60, 85, 80, 75, 70 Iščemo sedmega

Primer V 85, 80, 75, 70 iščemo (7-4).ega Deli (85) 70, 80, 75, 85 V 70, 80, 75 poišči 3. Deli 70, 80, 75 V 80, 75 poišči drugega