Metóda Konečných Prvkov vo výrobných technológiach prednáška č. 2

Obsah prednášky Vektor, matica, tenzor Základné matematické operácie Spôsoby riešenia sústavy lineárnych algebraických rovníc Príklady Spôsoby riešenia sústavy nelineárnych algebraických rovníc Riešiče používané programom ANSYS

Základná terminológia Tenzor je fyzikálna veličina nezávislá od aktuálne definovaného súradnicového systému je určená stupňom a usporiadaním Matica tenzor 2-ého rádu (stupňa) Vektor tenzor 1-ého rádu (stupňa) pre úplné určenie veličiny je potrebné poznať veľkosť, smer a nositeľku (voľný, viazaný, polohový, jednotkový) Skalár tenzor 0-tého rádu (stupňa) je určený veľkosťou

Základná terminológia pri uvažovaní 3D súradnicového systému je tenzorom 2-ého rádu napr. napätie v bode telesa tenzorom 1-ého rádu je napr. sila materiálové vlastnosti, ...

Základné matematické operácie Systém lineárnych algebraických rovníc môžeme v maticovom tvare zapísať A x = b

Základné matematické operácie kde aij - prvok matice na i-tom riadku a j-tom stĺpci Ak: m = n - štvorcová matica m = 1 - riadková matica (vektor) n = 1 - stĺpcová matica (vektor)

Základné matematické operácie Sčítavanie (odčítavanie) matíc: ! matice A, B musia mať rovnaký rozmer (m  n) C = A + B [cij] = [aij] + [bij] C = A - B [cij] = [aij] – [bij] Násobenie matíc: kA = C [k aij] = [cij] i = 1, 2, ... l j = 1, 2, ... n asociatívnosť: A (B C) = (A B) C avšak: A B  B A

Základné matematické operácie Transponovaná matica: ak: A = [aij] potom: AT = [aji] Symetrická matica: štvorcová (n  n) matica A sa nazýva symetrická ak platí: A = AT [aij] = [aji] Jednotková matica: IA = AI = A

Základné matematické operácie Determinant matice: Cramerovo pravidlo Singulárna matica: det A = 0

Základné matematické operácie Pozitívne definitná matica: štvorcová (n  n) matica A sa nazýva pozitívne definitná ak pre ľubovolný nenulový vektor x platí: xTA x > 0 Matica A je potom nesingulárna. Inverzná matica: ! existuje iba pre štvorcové a nesingulárne matice, ak det A ≠ 0 A A-1 = A-1A = I kde C = [cij] cij = (-1)i+j Mij Mij – je determinant matice, ktorá vznikne vynechaním i-teho riadku a j-teho stĺpca z matice A.

Základné matematické operácie Derivovanie a integrovanie matíc: Okrem toho platí: (A B)T = BTAT (A B C)T = CT(A B)T = CTBTAT pre štvorcové matice: A B = BTA (A B)-1 = B-1A-1

Riešenie systému lineárnych algebraických rovníc Na vyriešenie systému lineárnych algebraických rovníc môžeme použiť Priame metódy inverznú maticu Gaussovu eliminačnú metódu (Gauss Elimination) Gauss-Jordanovu metódu (Gauss-Jordan Elimination) Cramerove pravidlo (Cramer´s Rule) LU rozklad (LU Decomposition) Choleskyho rozklad (Cholesky Decomposition) Nepriame metódy iteračné metódy (približné) – napr. Gauss-Seidelovu metódu, Jacobiho metódu – vhodné pre riešenie veľkých sústav rovníc ...

–x1 + 3x2 – 2x3 = 2 2x1 – 4x2 + 2x3 = 1 4x2 – x3 = 3 Príklad Nájdite riešenie (x1 až x3) sústavy rovníc –x1 + 3x2 – 2x3 = 2 2x1 – 4x2 + 2x3 = 1 4x2 – x3 = 3 Sústavu je možné v maticovom tvare zapísať

A x = b A-1A x = A-1b I x = A-1b x = A-1b Inverzná matica: Matica kofaktorov:

Inverzná matica: det A = |A| = -6 Výpočet koreňov: x = A-1b

Inverzná matica: Vzhľadom na náročný výpočet inverznej matice, z dôvodu nutnosti počítať determinanty matíc, sa táto metóda v počítačovej mechanike prakticky nepoužíva. (viď Cramerova metóda)

Cramerovo pravidlo: kde D(i) je matica, ktorej i-ty stĺpec je nahradený vektorom b. Výpočet koreňov:

Cramerovo pravidlo:

Cramerovo pravidlo: Praktické použitie tejto metódy je obmedzené na malé matice n  m (približne n,m ≤ 5). Napr. pre výpočet determinantu matice 10x10 by bolo potrebné vykonať cez 30 miliónov operácií. Determinant by mal 10! = 3 628 800 členov. Preto sa táto metóda v počítačovej mechanike, podobne ako metóda inverznej matice, nepoužíva.

Gaussova eliminačná metóda:

Gaussova eliminačná metóda: 1. krok

Gaussova eliminačná metóda: úprava druhého riadku matice

Gaussova eliminačná metóda:

Gaussova eliminačná metóda:

Gaussova eliminačná metóda:

Gaussova eliminačná metóda: 1. krok

Gaussova eliminačná metóda: 2. krok

Gaussova eliminačná metóda: Spätnou substitúciou - posledný koreň n - ostatné korene (n-1) až 1 Výpočet koreňov:

Gaussova eliminačná metóda: Táto metóda v počítačovej mechanike používa veľmi často.

LU dekompozícia: A = L U A x = L U x = L (U x) = b L y = b U x = y

LU rozklad:

LU rozklad:

LU rozklad: L y = b Doprednou substitúciou:

LU rozklad: U x = y Spätnou substitúciou:

LU rozklad: Skúška správnosti: A x = b

LU rozklad: Táto metóda v počítačovej mechanike používa veľmi často.

A = U T U alternatívne: A = L LT Choleskyho dekompozícia: metóda použiteľná len pre symetrické matice matica musí byť „dostatočne“ pozitívne definitná A = U T U alternatívne: A = L LT

Choleskyho rozklad: A x = b

Choleskyho rozklad:

Choleskyho rozklad:

Choleskyho rozklad: Doprednou substitúciou:

Choleskyho rozklad: Spätnou substitúciou:

Choleskyho rozklad: Skúška správnosti: A x = b

Choleskyho rozklad: Táto metóda v počítačovej mechanike používa veľmi často.

A x = b A = AL + AD + AU Majme sústavu rovníc Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: Majme sústavu rovníc A x = b Pre maticu A (n x n) platí: aii ≠ 0 pre i = 1...n Maticu A rozložme A = AL + AD + AU AL – dolná trojuholníková matica AD – diagonálna matica diag[aii] AU – horná trojuholníková matica príp. ALT transponovaná dolná trojuholníková matica Ďalej uvažujeme len prípad: AU = ALT (pre symetrické matice) teda: A = AL + AD + ALT

Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda:

Iteračný algoritmus pre výpočet koreňov Jacobiho iteračná metóda Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: Iteračný algoritmus pre výpočet koreňov Jacobiho iteračná metóda Gauss-Seidelova iteračná metóda

Iteračný algoritmus pre výpočet koreňov Jacobiho iteračná metóda Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: Iteračný algoritmus pre výpočet koreňov Jacobiho iteračná metóda kde Gauss-Seidelova iteračná metóda

Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: Príklad: Jacobiho metódou nájdite korene sústavy rovníc s presnosťou  ≤ 0,0003 A x = b Rozložíme maticu A

Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda:

Štartovacie riešenie (zvolené riešenie) Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: Štartovacie riešenie (zvolené riešenie) 1. iterácia

Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: 2. iterácia

Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: 3. iterácia

Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: 4. iterácia

164. iterácia Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: Presné riešenie:

A x = b Jacobiho a Gauss-Seidelova iteračná metóda: Skúška správnosti: Presné riešenie:

A x = b Majme sústavu rovníc Zle podmienené matice: Majme sústavu rovníc A x = b Ak je matica A zle podmienená (ill-conditioned matrix), riešenie úlohy môže byť obtiažne. Napr. malé zaokrúhlenia členov b vektora, môže výrazne ovplyvniť riešenie /korene/ sústavy rovníc (x vektor).

Zle podmienené matice: Príklad: Riešením sústavy rovníc 9x + 8y = 0,8 8x + 7y = 0,7 sú korene: x = 0 y = 0,1 Ak zavedieme malú chybu do pravej strany rovníc (vektor b) (napr. zaokrúhlovacou chybou) 9x + 8y = 0,81 8x + 7y = 0,69 x = -0,15 y = 0,27

Riešenie systému nelineárnych algebraických rovníc

Riešiče implementované v programe ΛNSYS® Direct Solvers - priame riešiče Sparse Direct Solver – využíva LU rozklad Frontal (Wavefront) Solver – založený na metóde Gaussovej eliminácie Iterative Solver - iteratívne riešiče Jacobi Conjugate Gradient (JCG) Solver Preconditioned Conjugate Gradient (PCG) Solver Incomplete Cholesky Conjugate Gradient (ICCG) Solver Automatic Iterative (Fast) Solver Option Parallel/Distributed Solvers - distribuované riešiče Algebraic Multigrid (AMG) Solver Distributed Jacobi Conjugate Gradient (DJCG) Solver Distributed Preconditioned Conjugate Gradient (DPCG) Solver