الفرضيات الأساسية في ميكانيكا الكم (2) المحاضرة الثالثة الفرضيات الأساسية في ميكانيكا الكم (2)

معادلة شرودنجر هي معادلة تصف الحركة الموجية للجسيم الذي عرفنا في المحاضرات السابقة أن له خاصية مزدوجة ,ولاستنتاج معادلة شرودنجر, وحيث أننا ذكرنا الجسيم سنبدأ بداية بالمعادلة العامة الكلاسيكية التي تصف اهتزاز جسم وليكن سلك مشدود , وسنبدأ للسهولة باعتبار أنها لا تعتمد على الزمن وتعطى مثل هذه المعادلة عادة بالشكل التالي (1) حيث y الدالة الموجية في المتغير x وl الطول الموجي

ويمكن تطبيق هذه المعادلة على الموجات المصاحبة للجسيمات لو اتبعنا فرض ديبرولي وهو : (2) فإذا عوضنا في المعادلة (1) عن الطول الموجي في علاقة ديبرولي (2) , ويمكن استبدال y في حالة الجسيمات ب y لنحصل على : (3)

فإذا عوضنا في المعادلة (1) عن الطول الموجي في علاقة ديبرولي (2) , ويمكن استبدال y في حالة الجسيمات ب y لنحصل على : (3) والمعادلة 3 لا يستدل منها على نوع القوى المؤثرة على الجسيم حتى يمكن معرفة طاقته , ولهذا نستفيد من وجود كمية الحركة وعلاقتها بالطاقة الحركية Em (4)

فإذا كانت طاقة الجسيم الكلية هي E وهي عبارة عن مجموع طاقة الحركة وطاقة الوضع أي : (5) E=Ep+Em فإن طاقة الحركة تكون عبارة عن (6) Em=E-Ep

وبمساواة المعادلة4 بالمعادلة 6 (7) وبالتعويض في المعادلة 3 نجد أن (8)

ويمكن تعديل المعادلة السابقة إلى الصورة (9) وتسمى المعادلة السابقة بمعادلة شرودنجر لجسيم واحد يتحرك في بعد واحد x بطاقة وضع Ep وبالتالي في حالة الأبعاد الثلاثة (x,y,z) هو : (10) وقد استبدلت المشتقة الكاملة في 9 بالمشتقات الجزئية في 10 لتصبح أكثر مناسبة في التطبيق

وتكتب معادلة شرودنجر بصورة مختصرة على الصورة (11) ويسمى H عامل الهاميلتونيان وباستخدام عامل لابلاس تكتب على الصورة التالية أما في حالة الاتجاه الواحد

فروض ميكانيكا الكم Postulates Of Quantum Mechanics للتبسيط في البداية سنحاول التعامل مع المعادلة في اتجاه واحد فقط وتصف هذه المعادلة الطاقة الكلية لجسيم متحرك يتحدد مكانه بالاحداثي x , ويمكن فهم المقدار بين القوسين الكبيرين على أنه عامل يؤثر على الدالة الموجية إبساي فينتج مقدار ثابت مضروب بإبساي , وتسمى المعادلة على صورة معادلة شرودنجر بمعادلة الطاقة المميزة Energy Eigen Equation أما قيم الطاقة ُE التي تأخذ عندها معادلة شرودنجر حلولا مقبولة فيزيائيا فتسمى بالقيم المميزة.

القيم المميزة وعاملاتها Eigen values and Operators والقيم المميزة هي القيم التي يمكن قياسها عمليا وليست مقتصرة على الطاقة الكلية فقط , بل يمكن أن تضم طاقة الحركة , وطاقة الوضع ,والموضع, وكمية التحرك الخطية .........وغيرها , ولكل قيمة مقاسة عمليا عاملها الخاص وقد يكون العامل على صورة دالة أو معامل تفاضلي أو مصفوفة (وهذا هو أساس الفرض الرئيسي لميكانيكا الكم والذي ينص على أن أي قيمة فيزيائية يمكن قياسها عمليا يقابلها في ميكانيكا الكم مؤثر أي عامل يمكن أن يكون له شكل جبري أو تفاضلي أو مصفوفة أو أي شكل رياضي بحيث إذا أثر على دالة مميزة إبساي فإنه سينتج لنا في الطرف الآخر مقدار القيمة الفيزيائية المقاسة عمليا مضروبا في الدالة إبساي نقسها)

فإذا كان لدينا الكمية الفيزيائية O , فإننا نرمز للعامل الذي يؤثر عليها بالرمز , فإذا أثر العامل على دالة موجية تصف نظاما فيزيائيا معينا فإننا نحصل على المعادلة التالية : (13) وهذا يعني أن إبساي نحصل عليها في طرفي المعادلة ولا بد من أن يكون المقدار O حقيقيا لأنه يصف كمية مقاسة عمليا , وتسمى المعادلة 13 بالمعادلة العامة للقيمة المميزة في حين أن المعادلة التالية ليست معادلة قيمة مميزة لأن حيث b مقدار حقيقي ,إلا أن ولهذا فشروط معادلة القيمة المميزة هي : أن تكون O مقدارا حقيقيا . أن تكون الدالة الموجية إبساي نفسها في الطرفين .

مثال : وضحي هل المعادلات التالية هي معادلات قيمة مميزة علما بأن عاملها هو ومن ثم وضحي القيمة المميزة لها الحل : (1)

2

مؤثر كمية الحركة في بعد واحد Px يمكن وصف الحركة الموجية عموما بمعادلة الموجة الكهرومغناطيسية والتي توصف في حالة الاتجاه الواحد بالعلاقة التالية : (14) وباستخدام فرض ديبرولي لوصف حالة الموجة المادية واستخدام علاقة بلانك للطاقة (15) وبالتعويض من 15 في 14 نحصل على

(16) وبمفاضلة 16 بالنسبة لx والمعادلة الأخيرة تمثل المعادلة الموجية للقيم المميزة وبذلك يكون مؤثر كمية الحركة هو (17)

مؤثر طاقة الحركة : باستخدام نفس الدالة الموجية السابقة وبالتأثير عليها بالعامل فإن

ويوضح الجدول التالي بعض القيم المميزة وعاملاتها الخاصة في اتجاه واحد والمعادلة الأخيرة هي معادلة القيمة المميزة لطاقة الحركة حيث عامل طاقة الحركة هو ويوضح الجدول التالي بعض القيم المميزة وعاملاتها الخاصة في اتجاه واحد القيمة المميزةEigen value العامل أو المؤثر operator المسافة (x,y,z) (x,y,z) كمية التحرك px طاقة الحركة Em طاقة الوضع Ep(x) Ep(x) الطاقة الكلية غير المعتمدة على الزمن E

خواص الدوال المميزة Eigen Function أحادية القيمة single value مثل فيوجد عند كل قيمة لx قيمة واحدة للدالة إبساي أي أنها أحادية القيمة كذلك الحال بالنسبة للدالة Exp(-x) فنجد أنها دالة أحادية القيمة.أما sin-1x فعند كل قيمة للمتغير x عدد من القيم للدالة إبساي ولذلك فهذه الدالة لا تصلح كدالة مميزة في معادلة شرودنجر .

2.محددة القيمة وذلك في المدى الذي تطبق فيه المعادلة ,من أمثلة ذلك الدوال التالية والدوال الموجية السابقة محددة القيمة لأن أقصى قيمة لدوال الجيب هي +1 وأقل قيمة لها هي -1 أما الدالة Exp(ax) فهي غير محددة عند مالا نهاية الموجبة ولكنها محددة عند مالا نهاية السالبة ولذلك فهي لا تصلح لتكون دالة مميزة .

3.أن تكون مستمرة بمعنى أنه إذا كان هناك منطقتين ِA,B فيجب أن تكون الدالة متصلة في الحد الفاصل بينهما كما هو واضح بالشكل

والحد الفاصل بين المنطقتين هو عند نقطة الاتصال O واتصال الدالة معناه :

علاقات التبادل commutation relations يعرف المبدل لمؤثرين بالتعريف الآتي : وهو يمثل الفرق بين التأثير أولا بالمؤثر B يليه A , والتأثير بالمؤثر A يليه المؤثر B وبوجه عام قيمة هذا المؤثر لا تساوي الصفر ولتوضيح ذلك نعتبر الحالة البسيطة التالية وبالتالي فلأي دالة يكون ونظرا لأن هذا يتحقق لأي دالة إبساي ,تكون معادلة المؤثر هي

تمارين حققي صحة معادلة المؤثر التالية من الفقرة السابقة وضحي أن أوجدي وضحي هل المعادلات التالية هي معادلات قيمة مميزة علما بأن عاملها هو , ومن ثم وضحي القيمة المميزة لها ,