Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918) Doctoral thesis : The general problem of the stability of motion,University of Moscow,12 October 1892 Academician of Russian Academy of Sciences in St Petersburg (1901) French Academy of Sciences (1916)

ỔN ĐỊNH LYAPUNOV Điểm cân bằng hệ phi tưyến Phương trình trạng thái hệ phi tuyến có dạng x, f là các vectơ n*1 Nếu x xc hằng số khi u = uc hằng số bất kỳ thì xc gọi là điểm cân bằng của hệ phi tuyến. Số điểm cân bằng phụ thuộc bản chất của hàm f Điểm cân bằng là nghiệm của phương trình f(xc ,uc , t) = 0 Hệ tuyến tính bất biến có một điểm cân bằng duy nhất là x = 0 nếu ma trận A không suy biến Nếu ma trận A suy biến ta tìm ma trận con không suy biến trong A và suy ra tập vô hạn các điểm cân bằng Nếu biểu thức của f không chứa u và t ta có hệ tự trị bất biến invariant autonomous Nếu hệ tự trị có điểm cân bằng khác 0 có thể dùng phép đổi biến để đưa điểm cân bằng về gốc

ỔN ĐỊNH LYAPUNOV Điểm cân bằng hệ phi tưyến Ví dụ: Hai điểm cân bằng là (0 0) và (–1 0) Ví dụ: Con lắc biểu điễn bằng phương trình vi phân Trong đó b là hệ số ma sát Đặt biến trạng thái x1= , x2 = d /dt, phương trình trạng thái là: Điểm cân bằng là x2=0, sin(x1) = 0 hay (0 0) và (pi 0)

ỔN ĐỊNH LYAPUNOV Định nghĩa ổn định theo Lyapunov Cho hệ tự trị với điểm cân bằng ở gốc Hệ thống là ổn định ở gốc theo Lyapunov nếu cho trước R > 0 thì tìm được r > 0 sao cho nếu ||x(0)|| <= r thì ||x(t)|| <= R với mọi t >= 0 ||x||=(x12+ x22+…+xn2)1/2 Nói cách khác hệ thống ổn định ở gốc nếu x(t) không ra khỏi hình cầu bán kính R Nếu hệ thống ổn định ở gốc và x(t)  0 thì ổn định tiệm cận Nếu hệ thống ổn định tiệm cận và x(t)<=a||x(0)||e-bt ,a, b > 0 ta nói là hệ thống ổn định theo hàm mũ với vận tốc b

ỔN ĐỊNH LYAPUNOV Nếu hệ thống ổn định với bất kỳ giá trị ban đầu x(0) ta nói là hệ thống ổn định toàn cục Hệ thống tuyến tính hóa Hệ phi tuyến được tuyến tính hóa để trở thành hệ tuyến tính và việc khảo sát sẽ đơn giản hơn Đặt A= và bỏ qua số hạng bậc cao fhot ta có hệ tuyến tính Ví dụ: Điểm cân bằng là 0

ỔN ĐỊNH LYAPUNOV Hệ tuyến tính hóa Định lý tuyến tính hóa Lyapunov Nếu hệ tuyến tính hóa có mọi nghiệm riêng ở bên trái mặt phẳng phức thì hệ phi tuyến là ổn định tiệm cận Nếu hệ tuyến tính hóa có nghiệm riêng ở bên phải mặt phẳng phức thì hệ phi tuyến là không ổn định Trường hợp hệ tuyến tính hóa ở biên giới ổn định thì không có kết luận về hệ phi tuyến Ví dụ: hệ phi tuyến , gốc là một trong hai điểm cân bằng Hệ thống tuyến tính hóa a < 0: hệ ổn định, hệ phi tuyến ổn định tiệm cận a < 0: hệ không ổn định, hệ phi tuyến không ổn định a = 0: hệ ở biên giới ổn định, không có kết luận về hệ phi tuyến

ĐỊNH LÝ LYAPUNOV THỨ NHẤT Triết lý của Lyapunov dựa vào năng lượng, nếu năng lượng hệ thống cứ tiêu tán mãi thì sau một thời gian hệ thống phải yên nghỉ ở điểm cân bằng Cho một hệ thống, ta đi tim một hàm vô hướng dương biểu thị năng lượng và xét xem hàm này tăng hay giảm theo thời gian Ví dụ: xét hệ lò xo ống nhún Phương trình động học Cơ năng bao gồm động năng của khối m và thế năng lò xo Ta nhận thấy năng lượng V bằng 0 ứng với điểm cân bằng. Đạo hàm của năng lượng theo thời gian

ĐỊNH LÝ LYAPUNOV THỨ NHẤT Đạo hàm của năng lượng là số âm nên năng lượng liên tục, giảm dẫn đến x và dx/dt giảm về 0 Hàm Xác định dương: Hàm V(x) là xác định dương cục bộ nếu V(0) = 0 và V(x) >0 khi x trong hình cầu bán kính R quanh gốc. Nếu R là vô cùng thì V là xác định dương toàn cục Hàm Lyapunov: Nếu hàm V(x) xác định dương có đạo hàm riêng phần liên tục, đạo hàm của hàm V(x) theo thời gian là hàm bán xác định âm, nghĩa là dV/dt <= 0 thì V(x) gọi là hàm Lyapunov của hệ tự trị dx/dt = f(x)

ĐỊNH LÝ LYAPUNOV THỨ NHẤT Định lý ổn định cục bộ: Nếu trong vùng cận điểm cân bằng gốc 0 ta tim được hàm Lyapunov V(X) cho hệ tự trị dx/dt = f(x) thì điểm cân bằng là ổn định. Nếu dV/dt là xác định âm thì hệ ổn định tiệm cận Ví dụ: Chọn V(x) = (1-cosx) + 1/2(dx/dt)2 V(x) là hàm xác định dương dV/dt=sinx dx/dt+(dx/dt)*d2x/dt2 = -(dx/dt)2: hàm bán xác định âm

ĐỊNH LÝ LYAPUNOV THỨ NHẤT Định lý ổn định toàn cục: nếu hệ thống ổn định cục bộ và V(x)   khi ||x||   thì hệ thống ổn định toàn cục Định lý Lyapunov là điều kiện đủ, nếu không tim được V(x) thì không có kết luận về tính ổn định Ví dụ: Ví dụ

HÀM LYAPUNOV CHO HỆ TUYẾN TÍNH Ma trận xđd: ma trận vuông M là xđd nếu xTMx >0, x  0 Điều kiện cần và đủ để ma trận đối xứng M xđd là các nghiệm riêng của nó dương Điều kiện cần để ma trận vuông M xđd là các phần tử đường chéo của nó dương Tiêu chuẩn Sylvester: điều kiện cần và đủ để ma trận vuông M xđd là các định thức con chính của M là dương Cho hệ hệ là ổn định tiệm cận toàn cục nếu và chỉ nếu cho bất ký ma trận đối xứng Q xđd, tìm được ma trận P đối xứng xđd thỏa mãn phương trình Lyapunov ATP + PA = -Q Chứng minh: chọn V = xTPx Để đơn giản chọn Q = I và tìm P

HÀM LYAPUNOV CHO HỆ PHI TUYẾN Phương pháp Krasovskii Cho hệ phi tuyến tự trị Chọn hàm V(x)= f T (x)Pf(x), P là ma trận đối xứng xđd Đặt Q = - [JTP + PJ] , nếu Q xác định dương thì Vchấm xđâ, chọn P = I

HỆ RỜI RẠC Đối với hệ rời rạc ta xét hàm V(x(k)) và thay đạo hàm bằng hàm V(x(k+1))-V(x(k)) Hệ tuyến tính rời rạc x(k+1)=Fx(k) ổn định toàn cục tiệm cận ở gốc nếu và chỉ nếu cho ma trận đối xứng xđd Q có ma trận đốI xứng xđd P thỏa mãn phương trình Lyapunov rời rạc FTPF – P = - Q

MATLAB Hàm lyap giải phương trình AX+XAT = - Q Muốn giải phương trình ATP + PA = -Q với Q đối xứng ta viết P = lyap (A’, Q) Hàm dlyap giải phương trình AXAT - X = - Q Muốn giải phương trình FTPF – P = - Q với Q đối xứng ta viết P = dlyap (F’, Q) Ví dụ: >> A = [-1 –2 ; 1 -4]; >> Q = eye (2); >> P = lyap (A', Q) P = 0.3833 -0.1167 -0.1167 0.1833 > F = [-1 –2 ;1 -4]; >> Q = eye(2); >> P = dlyap(F', Q) P = -0.7167 0.3667 0.3667 -0.2667

ÁP DỤNG ĐL LYAPUNOV TRONG ĐIỀU KHIỂN Có hai cách sử dụng đl Lyapunov trong điều khiển Chọn luật điều khiển u và tìm hàm V chứng minh hệ ổn định Chọn hàm V từ đó suy ra luật điều khiển để hệ ổn định