DIFERENCIALNE ENAČBE Primeri Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi iskane funkcije. Primeri diferencialna enačba za y kot funkcijo x diferencialna enačba 2. reda Red diferencialne enačbe je red najvišjega odvoda, ki v njej nastopa. diferencialna enačba 3. reda parcialna diferencialna enačba (2. reda) Diferencialne enačbe za funkcije ene spremenljivke imenujemo navadne, ko nastopajo parcialni odvodi na več spremenljivk pa pravimo, da so to parcialne diferencialne enačbe

F(x,y,y’)=0 splošna oblika diferencialne enačbe 1. reda Rešitev diferencialne enačbe je funkcija y=y(x), pri kateri je F(x,y(x),y’(x))=0 za vse x na nekem definicijskem območju. Primeri: je rešitev diferencialne enačbe , saj je ni rešitev diferencialne enačbe , čeprav je za nekatere vrednosti x. Enačba mora biti izpolnjena za vse x na nekem intervalu.

je rešitev enačbe je tudi rešitev enačbe je prav tako rešitev zgornje enačbe... Diferencialne enačbe imajo praviloma veliko rešitev, kar je posledica dejstva, da odvajanje ni injektivno. Splošna rešitev je običajno odvisna od nekaj parametrov. Na primer, vse rešitve enačbe so oblike , kjer sta A in B poljubni realni števili. Velja pravilo: diferencialna enačba reda n ima splošno rešitev, ki je odvisna od n poljubnih parametrov.

Geometrični pomen diferencialne enačbe y=y (x) je rešitev enačbe y’ =f (x,y) smerni koeficient tangente na graf rešitve v točki x0 je enak f (x0,y (x0)) funkcija f(x,y) določa polje smeri: pri vsaki točki (x,y) z majhno daljico označimo smer s koeficientom f(x,y). vsaka krivulja, ki je v svojih točkah tangentna na polje smeri, je graf ene izmed rešitev diferencialne enačbe f(x,y)=x-y

f(x,y)=-y-sin3x f(x,y)=x2-y2+1

Fizikalni primer: radioaktivni razpad Hitrost razpadanja radioaktivne snovi je sorazmerna s količino snovi (reakcija 1. reda). Če imamo na začetku neko količino snovi (npr. 5g izotopa 14C), kaj lahko povemo o količini snovi čez nekaj časa (npr. čez koliko časa bo ostalo le 3g 14C)? y=y(t) količina snovi v trenutku t y’=-k y k je sorazmernostni faktor med količino snovi in hitrostjo razpadanja (npr. za 14C je k =3.83 10-12 s-1) y(0)=C, torej je C začetna količina opazovane snovi Za 14C: Diferencialna enačba skupaj z začetnim stanjem v celoti določa evolucijo sistema. Hitrost razpadanja pogosto podamo z razpolovno dobo T: zveza s k je kT=ln 2 Razpolovna doba 14C je (0.6931/3.83) 1012 s ≈ 5730 let.

kozmični žarki Datiranje s 14C Rastline absorbirajo CO2 v biosfero. Razmerje med 12C in 14C v živih bitjih je enako, kot v atmosferi. Ogljikov izotop 14C nastaja v višjih plasteh atmosfere, ko pod vplivom kozmičnih žar- kov dva neutrona nadomestita dva protona v 14N. Nastali 14C se veže s kisikom v 14CO2. Razmerje med 14CO2 in 12CO2 v atmosferi je dokaj stabilno. stopnja radioaktivnosti 0 let 5730 let 11460 let 17190 let starost Ko ostanki živih bitij niso več v stiku z atmosfero se razmerje med 12C in 14C zaradi radioaktivnega razpada poveča v prid prvega. Starost ostankov ocenimo na podlagi primerjave stopenj radioaktivnosti.

iskanje splošne rešitve Pri diferencialnih enačbah obravnavamo dva tipa nalog: iskanje splošne rešitve npr. enačba splošna rešitev začetni problem iščemo rešitev enačbe, ki ima v nekih točkah predpisane funkcijske vrednosti (in morda vrednosti odvodov) npr. začetni problem rešitev

V družini krivulj gre le ena skozi točko (0,3). V dvoparametrični družini krivulj je le ena, ki gre skozi izhodišče in ima tam tangento s smernim koeficientom 2.

Diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami V diferencialni enačbi 1. reda lahko ločimo spremenljivki, če jo lahko zapišemo v obliki Primeri nista enačbi z ločljivimi spremenljivkami

Reševanje enačb z ločljivimi spremenljivkami U(y) primitivna funkcija za u(y) V(x) primitivna funkcija za v(x) implicitna oblika splošne rešitve Praktično navodilo: v diferencialni enačbi pišemo , prestavimo vse x na eno stran enačbe, vse y na drugo stran enačbe in potem integriramo vsako stran posebej.

Primeri A ∈ ℝ spremenljivk se ne da ločiti! nova spremenljivka:

Začetni problem pri enačbah z ločljivimi spremenljivkami Primer

Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi iskane funkcije. Rešitev DE je funkcija y=y(x), ki za vse x ustreza enačbi. Število prostih parametrov, od katerih je odvisna rešitev je enako redu enačbe. Geometrično je rešitev DE vsaka krivulja, ki je tangentna na polje smeri. Začetni problem je iskanje rešitve DE, ki ustreza nekim začetnim pogojem. DE z ločljivimi spremenljivkami rešimo tako, da ločimo spremenljivki in potem integriramo vsako stran enačbe posebej.

Primer modeliranja z DE Tripsin je encim trebušne slinavke, ki nastane iz tripsinogena. V reakciji nastopa tripsin kot katalizator, zato je hitrost nastajanja tripsina sorazmerna z njegovo koncentracijo. y0 ........... začetna koncentracija tripsina y(t) ........... koncentracija tripsina v času t y’=ky ........... hitrost nastajanja je sorazmerna koncentraciji rešitev: y=y0ekt začetni problem: Model napoveduje eksponentno in neomejeno naraščanje količine tripsina. To se v resnici ne more zgoditi, zato model popravimo.

Med reakcijo se tripsinogen porablja: iz vsake molekule tripsinogena nastane ena molekula tripsina. Zato privzamemo, da je hitrost reakcije sorazmerna tako koncentraciji tripsina, kot koncentraciji tripsinogena. Če je skupna koncentracija tripsina in tripsinogena C, začetna koncentracija tripsina pa y0 dobimo začetni problem: Logistična krivulja: model predvideva, da bo koncentracija tripsina zrasla do prvotne koncentracije tripsinogena, potem pa se bo ustalila.

Logistična krivulja je dober model za omejeno rast, vendar ni vedno povsem ustrezna. Npr. pri tumorjih število rakastih celic najprej narašča eksponencialno, potem pa se rast umiri in sčasoma ustavi. S poskusi so ugotovili, da krivulja naraščanja ni logistična temveč t.im. Gompertzova krivulja (ena od vidnih razlik je, da pri njej prevoj nastopi precej prej kot pri logistični). Gompertzova funkcija

Eksperimentalno ugotovljeno zakonitost poskušamo razložiti tako, da pogledamo, kateri diferencialni enačbi ustreza Gompertzova funkcija. a Diferencialna enačba pomeni, da število rakastih celic narašča sorazmerno z velikostjo tumorja, vendar se sorazmernostni faktor spreminja s časom. Vzroke za spremembo razlagajo različno: s staranjem se reproduktivna moč celic zmanjšuje reproduktivni faktor se ne spreminja, vendar je naraščanje sorazmerno le z delom števila celic v tumorju, ker se v notranjosti tumorja ustvari nekrotično območje

Linearne diferencialne enačbe 1. reda splošna LDE 1. reda homogena LDE 1. reda Velja: poljubni rešitvi LDE 1. reda se razlikujeta za rešitev pripadajoče homogene enačbe. rešitve homogene LDE 1. reda so oblike , kjer je A(x) primitivna funkcija za a(x). je rešitev splošne LDE 1. reda splošna rešitev LDE 1. reda je oblike y=yP+yH

Primer Reševanje LDE 1. reda: izračunamo primitivno funkcijo A(x) za a(x); izračunamo integral ; splošna rešitev enačbe je Primer

Primer LDE 1.reda RL- električni krog L E(t) R konstantni vir napetosti E: padec napetosti na tuljavi: EL=LI ’ L vir napetosti: E(t) R padec napetosti na uporu: ER=RI Kirchhoffov zakon: E=ER+EL

Začetni problem za LDE 1.reda izračunamo: rešitev: Primer

L E(t) R Primer izmenični vir napetosti:

Rešljivost DE 1. reda Primeri Začetni problem nima rešitev, ker je edina rešitev enačbe dana z y(x)=0. Začetni problem ima edino rešitev y(x)=x+1. Začetni problem ima neskončno rešitev oblike y(x)=Cx+1.

Picardova iteracijska metoda numerična metoda za reševanje DE 1.reda Picardova iteracijska metoda zadostni pogoji za obstoj in edinost rešitve DE 1.reda Rešitev začetnega problema lahko zapišemo v integralski obliki ki je primerna za približno reševanje. (Podobno smo pri Newtonovi metodi enačbo f(x)=0 preoblikovali v x=g(x).)

Privzemimo, da obstaja limitna funkcija ; tedaj je Tvorimo zaporedje funkcij y0(x), y1(x), y2(x),... po rekurzivnem pravilu: Za vse n velja: Privzemimo, da obstaja limitna funkcija ; tedaj je (če je f zvezna in če smemo odvajati limito) in limitna funkcija y(x) je rešitev začetnega problema.

Primer ...... Taylorjeva vrsta za funkcijo y(x)=ex.

Primer Picardove iteracije za začetni problem 1 2 ...... 3

Pri določenih pogojih Picardove iteracije konvergirajo proti rešitvi začetnega problema, dobljena rešitev pa je enolična. Če sta f(x,y) in fy’(x,y) zvezni na neki okolici točke (x0,y0) potem začetni problem ima natanko eno rešitev y=y(x) na neki okolici točke x0. Primer Rešitve ni vedno mogoče podaljšati na celo realno os!

Linearne diferencialne enačbe 2.reda splošna LDE 2. reda homogena LDE 2. reda Velja: poljubni rešitvi LDE 2. reda se razlikujeta za rešitev pripadajoče homogene enačbe. splošna rešitev LDE 2. reda je oblike y=yP+yH , kjer je yP neka rešitev splošne enačbe, yH pa poljubna rešitev homogene enačbe.

enačbe, potem je tudi c1y1+c2y2 rešitev homogene enačbe. če sta y1 in y2 rešitvi homogene enačbe, potem je tudi c1y1+c2y2 rešitev homogene enačbe. (princip superpozicije) funkciji y1 in y2 sta neodvisni, če nobena ni večkratnik druge če sta y1 in y2 neodvisni rešitvi homogene enačbe, potem lahko vse rešitve homogene enačbe zapišemo kot superpozicijo y1 in y2. (sledi iz rezultatov o rešljivosti diferencialnih enačb) yH=c1y1+c2y2

rešimo sistem linearnih enačb Če sta y1, y2 neodvisni rešitvi homogene enačbe , potem lahko dobimo rešitev splošne enačbe , ki je oblike . dodatni pogoj: = 0 = 0 rešimo sistem linearnih enačb integriramo

Če je y1 ena rešitev homogene enačbe , lahko dobimo še eno neodvisno rešitev oblike y2=uy1 Homogena LDE 1. reda za u’ u (A(x) primitivna funkcija za a(x))

Reševanje LDE 2.reda: Poiščemo vsaj eno rešitev homogene enačbe Drugo rešitev homogene enačbe dobimo v obliki , kjer je Partikularno rešitev splošne enačbe dobimo v obliki , kjer u in v določimo iz sistema enačb Splošna rešitev enačbe je oblike y=yP+c1y1+c2y2.

Primer HOMOGENA eno rešitev uganemo: y1=x druga rešitev: SPLOŠNA

....... LDE 2. reda s konstantnimi koeficienti preprosto rešljiva homogena enačba lažje računanje posebne rešitve Primeri uporabe: nihanja električna vezja modeliranje metabolizma .......

HOMOGENA ENAČBA Poskušamo z nastavkom: y=erx (analogija z LDE 1.reda) par realnih ničel dvojna realna ničla par konjugiranih kompleksnih ničel

1. primer: par realnih ničel r1,r2: bazični rešitvi: splošna rešitev: 2. primer: dvojna realna ničla r bazični rešitvi: drugo bazično rešitev dobimo z nastavkom splošna rešitev:

3. primer: par konjugirano kompleksnih ničel: α+iβ, α+iβ potrebujemo rešitve, ki so realne funkcije superpozicija rešitev je tudi rešitev ⇒ bazični rešitvi splošna rešitev

Karakteristična enačba Primeri Diferencialna enačba Karakteristična enačba Ničle Splošna rešitev

NEHOMOGENA ENAČBA Primer 1. način karakteristična enačba: rešitev iščemo v obliki in dobimo preprosto rešljiv sistem kjer je Primer karakteristična enačba: rešitve kar. enačbe: rešitve homogene: partikularna rešitev: splošna rešitev:

f(x)=eax f(x)=Pn(x) (polinom n-te stopnje) 2. način Za nekatere pomembne primere desnih strani lahko na podlagi izkušenj uganemo obliko rešitve in računamo le neznane koeficiente. desna stran nastavek (ki so neznani koeficienti) f(x)=Pn(x) (polinom n-te stopnje) f(x)=eax Izjema: če je nastavek za yP rešitev homogene enačbe, potem cel nastavek pomnožimo z x (oz. z x2, če ima karakteristični polinom dvojno ničlo). Superpozicija: če je desna stran vsota izrazov iz levega stolpca tabele, potem tudi za nastavek vzamemo ustrezno vsoto.

Primer rešitve homogene: nastavek: partikularna rešitev: splošna rešitev:

Primer karakteristična enačba: rešitve kar. enačbe: rešitve homogene: ker sta ex in xex rešitvi homogene enačbe, nastavek: partikularna rešitev: splošna rešitev:

Reševanje LDE 2.reda s konstantnimi koeficienti Rešimo karakteristično enačbo Na podlagi rešitev določimo bazične rešitve homogene enačbe par realnih ničel r1,r2 dvojna ničla r par kompleksnih ničel α+iβ, α+iβ Nehomogeno enačbo rešimo z nastavkom Izjema: če je nastavek za yP rešitev homogene enačbe, potem cel nastavek pomnožimo z x ali z x2. Splošna rešitev je y=yP+c1y1+c2y2.

NIHANJA y0 y y-y0 my’’ =mg-ky y=y(t) odmik od ravnovesne lege y’(t) hitrost y’’(t) pospešek mg=ky0 ravnovesna lega obremenjene vzmeti my’’ =mg-ky sile, ki delujejo na utež homogena LDE za odmik od ravnovesne lege nehomogena LDE 2. reda

Utež z maso m obesimo na vzmet in izmaknemo za L iz ravnovesne lege Utež z maso m obesimo na vzmet in izmaknemo za L iz ravnovesne lege. Kako bo zanihala? (privzamemo veljavnost Hookovega zakona, zanemarimo upor in maso vzmeti) enačba prostega nihanja (isto enačbo dobimo, če obravnavamo nihalo in pri za majhnih kotih nadomestimo sin x z x) periodično nihanje z amplitudo L in frekvenco frekvenca je odvisna le od mase uteži in trdote vzmeti, ni pa odvisna od amplitude harmonično nihanje

Dušeno nihanje: sila dušenja je sorazmerna hitrosti (če hitrost ni prevelika) in ima nasprotno smer. koeficient dušenja enačba dušenega nihanja kar. enačba: rešitve kar. enačbe:

(koeficient dušenja je majhen) Če je koeficient dušenja dovolj majhen, vtež niha z amplitudo, ki eksponentno vpada s časom. Frekvenca nihanja je konstantna in je nekoliko manjša od frekvence nedušenega nihanja.

(koeficient dušenja je velik) Pri velikem koeficientu dušenja se vtež bodisi preprosto vrne v ravnovesno lego in v njej obmiruje ali pa enkrat zaniha in potem obmiruje v ravnovesni legi. (mejni primer) V mejnem primeru se zgodi isto kot v primeru velikega koeficienta dušenja.

VSILJENO NIHANJE f(t) zunanja sila, ki deluje na vzmet lastna frekvenca prostega nihanja Splošna rešitev: Posebno rešitev dobimo z: - nastavkom - variacijo konstant - integralsko formulo f(t) - rešitev začetnega problema y(0)=y’(0)=0 - primerna tudi za odsekoma zvezne desne strani

Primeri en signal sproži harmonično nihanje posamezni signali spremenijo amplitudo, frekvenca se ne spreminja periodični signal s frekvenco nesorazmerno z lastno povzroči neurejeno nihanje

in še... periodični signal s frekvenco enako lastni povzroči resonanco periodični signal s frekvenco blizu lastni povzroči utripanje

Zakaj pride do resonance? zunanja sila: nastavek: splošna rešitev: amplituda neomejeno narašča

nastavek: amplituda linearno narašča

Dušeno vsiljeno nihanje (Privzamemo: c2<4km) rešitev homogene: nehomogena enačba: nastavek (ω≠ωd ) splošna rešitev: superpozicija dveh nihanj; drugo postane sčasoma zanemarljivo (prehodno stanje ⇒ stacionarno stanje) v stacionarnem stanju je frekvenca enaka frekvenci spodbujanja, amplituda pa je odvisna od mase, koeficienta upora ter razlike med frekvenco spodbujanja in lastno frekvenco dušenega nihanja.

Amplituda pri dušenem vsiljenem nihanju ne narašča čez vse meje, ko gre . Razmerje med amplitudo spodbujanja in amplitudo nihanja (ojačenje) je Resonančna krivulja Ojačenje kot funkcija frekvence spodbujanja za različne vrednosti koeficienta upora (k=1, m=1):

RLC električni krog EL=LI ’ E(t) ER=RI upoštevamo I=Q ’: Padec napetosti na ... - uporu je sorazmeren toku; E(t) - tuljavi je sorazmeren spremembi toka; - kondenzatoru je sorazmeren naboju. ER=RI upoštevamo I=Q ’:

- ko se frekvenca vira približa lastni frekvenci pride do induktanca tuljave L upor R recipročje kapacitivnosti 1/C odvod napetosti iz vira E ’(t) električni tok I 2. Kirchhoffov zakon masa m (inercija) koeficient dušenja c (viskoznost) koeficient elastičnosti k zunanja sila F(t) odmik od ravnovesja y 2. Newtonov zakon RLC krog z izmeničnim (sinusnim) virom napetosti (R>0): - prehodnemu toku sledi stacionarni električni tok; - frekvenca stacionarnega toka je enaka frekvenci vira; - amplituda stacionarnega toka je odvisna od induktance, kapacitivnosti in razlike med frekvenco vira in lastno frekvenco RLC kroga - ko se frekvenca vira približa lastni frekvenci pride do utripanja in do resonance

Model za ugotavljanje diabetesa Diabetes je disfunkcija pri presnovi glukoze. Pri običajnem testiranju dobi pacient na tešče večjo količino glukoze. V naslednjih nekaj urah mu večkrat odvzamejo kri in izmerijo koncentracijo glukoze. Oblika sprememb je podlaga za ugotavljanje diabetesa. Zaradi nihanja koncentracije, individualnih razlik in drugih dejavnikov, ki vplivajo na količino glukoze v krvi, je pogosto težko postaviti pravilno diagnozo. Presnovo glukoze krmili vrsta hormonov: insulin (spodbuja absorbcijo glukoze), glukagon (spodbuja nastanek glukoze iz glikogena v jetrih), adrenalin (spodbuja nastanek glukoze in zavira izločanje insulina), tiroksin (spodbuja nastanek glukoze iz ne-karbohidratov), somatotropin (zavira delovanje insulina) in drugi.

G: koncentracija glukoze v krvi H: skupna koncentracija hormonov v krvi; tiste, ki zmanjšujejo G štejemo z negativnim, ostale pa s pozitivnim predznakom; v običajnih okoliščinah prevladuje vpliv insulina. Laboratorijsko merimo predvsem G; določanje H je precej težje ali celo nemogoče. Spreminjanje G in H je odvisno od trenutnih koncentracij G in H. dovajanje insulina v kri Funkciji u in v sta neznani. Njuni vrednosti blizu ravnovesnega stanja (G0,H0) ocenimo s pomočjo Lagrangeve formule: linearizacija

Vrednosti parcialnih odvodov ne poznamo, ocenimo le njihov predznak: sistem LDE 1.reda Prevedemo na LDE 2.reda: odvajamo 1. enačbo h’ izrazimo iz 2. enačbe bh izrazimo iz 1. enačbe Pacientu damo glukozo na začetku in skoraj trenutno, zato je smiselno reševati homogeno enačbo z začetnim pogojem g(0)=J in g’(0)=0.

Enačba opisuje dušeno nihanje ⇒ splošna rešitev gre sčasoma proti 0, tj. G gre proti G0. Splošna rešitev je (ob negativni diskriminanti) oblike torej je odvisna od konstant G0,A,α,d,δ. Konstante določimo s pomočjo metode najmanjših kvadratov iz nekaj meritev (običajno 6-8). Lastna frekvenca d se izkaže za najmanj občutljivo za napake pri merjenju koncentracij. Na podlagi izkušenj je frekvenca, ki ustreza manj kot 4 uram znak normalne presnove, tista pa, ki ustreza bistveno več kot 4 uram pa kaže na diabetes.

Primeri parcialnih DE y y(t) y(x) y(x,t) T(x,y,z) T(x,y,z,t) nihanje uteži na vzmeti ali nihalu spreminjanje lege točke v času y y(t) nihanje strune spreminjanje oblike krivulje v času y(x) y(x,t) valovna enačba (1-razsežna) spreminjanje temperature prostora v času prevajanje toplote T(x,y,z) T(x,y,z,t) enačba prevajanja toplote Schrödingerova enačba

Nihanje strune dolge L, upete na obeh koncih. Linearna parcialna diferencialna enačba 2. reda, ki jo izpeljemo iz Newtonovega zakona: - navpični pospešek točke na struni je odvisen od ukrivljenosti strune v tej točki - c2=T/r, kjer je T napetost, r pa dolžinska gostota strune Robna pogoja: krajišči strune ves čas mirujeta. Začetna pogoja: f(x) je začetna lega točk strune, g(x) pa je njihova začetna hitrost.

Primer 10g težka elastična vrvica je s silo 8N napeta na dolžino 0.5 metra. Primemo jo na sredini in izmaknemo navzdol za 5cm. Kako bo zanihala?

Metoda separacije spremenljivk 1. korak: Poiščemo preproste rešitve parcialne diferencialne enačbe, ki ustrezajo robnim pogojem (v splošnem pa ne ustrezajo začetnim pogojem). 2. korak: Poiščemo vsoto (superpozicijo) preprostih rešitev, ki ustreza tudi začetnim pogojem. stoječe valovanje (v času se spreminja le amplituda vala ne pa njegova oblika )

k=0 ⇒ u(x)=ax+b u(0)=u(L)=0 ⇒ a=b=0 k>0 ⇒ u(0)=u(L)=0 ⇒ a=b=0 n∈ℕ ⇒ so rešitve enačbe, ki ustrezajo robnim pogojem n∈ℕ

Dobiti moramo rešitve, ki ustrezajo začetnemu pogoju f(x) in g(x) razvijemo v primerno Fourierjevo vrsto, primerjamo koeficiente in rešitev, ki ustreza tudi začetnim pogojem dobimo kot superpozicijo rešitev yn(x,t):

Razvoj funkcije f(x) na intervalu [0,L] v vrsto sinusov dobimo tako, da f(x) liho nadaljujemo in uporabimo formule za razvoj v Fourierjevo vrsto na intervalu [-L,L]. Primer razvoj po sinusih funkcije f(x)=x2 na [0,1] primerjava: običajni razvoj f(x)=x2 na [0,1]

Povzetek: enačba nihanja strune na [0,L] ki zadošča začetnim pogojem ima rešitev oblike kjer koeficiente An in Bn dobimo tako, da funkciji f(x) in g(x) razvijemo v vrsto sinusov in primerjamo koeficiente.

Primer začetni pogoj:

Prevajanje toplote po palici toplotna prevodnost toplotna kapaciteta ⁃ gostota - toplotni tok je odvisen od ‘ukrivljenosti’ porazdelitve temperature po palici T(0,t)=T(L,t)=0 - na koncih je temperatura palice 0o T(x,0)=f(x) - začetna porazdelitev temperature L 0o

T(0,t)=T(L,t)=0 ⇒ A=0, n∈ℕ nastavek za preprosto rešitev separacija spremenljivk splošna rešitev ločenih enačb robni pogoji T(0,t)=T(L,t)=0 ⇒ A=0, n∈ℕ družina preprostih rešitev, ki zadoščajo robnim pogojem

začetni pogoj T(x,0)=f(x) razvijemo v Fourierjevo vrsto po sinusih in primerjamo koeficiente Če je potem