آزمون فرضیه چیست؟ اطلاعات نمونه می تواند برای بدست آوردن برآورد پارامترهای جامعه مورد استفاده قرار گیرد. متناسباً، اطلاعات نمونه می تواند برای آزمون پیش بینی ها یا ادعایی که درخصوص پارامترهای جامعه مطرح می شود مورد استفاده قرار گیرد.

تعریف : 1- یک فرضیه ادعایی درباره پارامتر یک یا چند جامعه می باشد. 2- آزمون فرضیه یک فرآیند تصمیم گیری است که این فرآیند مبتنی بر ذهنیاتی که از طریق مشاهده مستقیم و ساده اطلاعات بدست می آید نبوده، بلکه براساس عینیتی است که با محاسبه احتمال وقوع فرضیات مختلف حاصل می شود.

مثال: 1- در طبقات محروم جامعه مادران نوزادان کم وزن بدنیامی آورند . 1- در طبقات محروم جامعه مادران نوزادان کم وزن بدنیامی آورند . 2- فرزندانی که والدین آنها مبتلا به بیماری قلبی هستند ، اندازه کلسترول آنها نسبت به سایر همسالانشان بالاتر است .

3- کارگرانی که با پنبه نسوز کار می کنند بیشتر به بیماری ریوی مبتلا می شوند . 4- داروی جدید A عوارض کمتری نسبت به داروی B در درمان بیماری آرتریت روماتوئید دارد .

یک آزمون فرضیه روشی است که: فرضیه ای که باید آزمون شود را بیان می کند . از اطلاعات نمونه استفاده کرده و یک قاعده تصمیم گیری را فرمول بندی می کند. بر مبنای نتیجه قاعده تصمیم گیری یک فرضیه به صورت آماری پذیرفته یا رد می شو د .

یک آزمون فرضیه اغلب به صورت دو فرضیه بیان می شود : فرضیه صفر (Null Hypothesis) (H0): فرضیه ای که باید مورد آزمون قرار گیردو عدم تفاوت و یا یکسان بودن را در جامعه نشان می دهد .

مثال 1: میانگین وزن نوزادان در طبقات محروم جامعه با مقدار استاندارد در جامعه یکسان است . مثال 2: میزان عوارض داروی A و داروی B یکسان است .

فرضیه جانشین : (H1) (Alternative Hypothesis)

مثال 1: میانگین وزن نوزادان در طبقات محروم جامعه کمتر از استاندارد است . مثال 2: میزان عوارض داروی A و B یکسان نیست .

فرضیه یک طرفه (one-tailed Hypothesis) : اینکه یک پارامتر جامعه کوچکتر یا بزرگتر از مقداری است را نشان می دهد . فرضیه دو طرفه : (Two-tailed Hypothesis) اینکه یک پارامتر جامعه مخالف مقداری از پیش تعیین شده را بیان می کند.

خطاها در آ زمون فرضیه : چون آزمون فرضیه بر مبنای داده های نمونه می باشد بنابراین ممکن است در تصمیم گیری دچار خطا شویم .

دو نوع خطا در آزمون فرضیه داریم: 1- خطای نوع اول، رد فرضیه H0 وقتی آن درست می باشد . 2- خطای نوع دوم، قبول فرضیه H0 وقتی آن غلط می باشد . ماکزیمم احتمال ارتکاب خطای نوع اول را با نشان می دهیم و سطح معنی داری نیز گفته می شود . - احتمال ارتکاب خطای نوع دوم را با نشان می دهیم .

برای کاهش احتمالات هر دو خطای نوع اول و دوم ما نیاز به نکته : بهترین آزمون فرضیه آزمونی است که با ثابت دارای مینیمم باشد . برای کاهش احتمالات هر دو خطای نوع اول و دوم ما نیاز به افزایش حجم نمونه داریم.

مراحل زیر را برای انجام یک آزمون فرضیه طی می کنیم : 1- به صورت دقیق فرضیه ها را بیان می کنیم . 2- یک آماره آزمون مناسب را با توجه به پارامتر مورد بررسی مشخص کرده و توزیع احتمال آن را نیز مشخص می کنیم .

3- سطح معنی داری آزمون را مشخص می کنیم . 4- داده های نمونه را جمع کرده و با توجه به آن آماره آزمون را محاسبه می کنیم .

5- با توجه به فرضیه H1 و مقدار و توزیع احتمال آماره آزمون ناحیه 6- اگر مقدار آزمون در ناحیه قبول H0 قرار گرفت فرضیه H0 را می پذیریم در غیر این صورت فرضیه H0 را رد می کنیم.

مشخص نمودن آماره آزمون و توزیع احتمال آن : - قاعده تصمیم برای آزمون فرضیه بر مبنای آماره آزمون می باشد . - آماره آزمون و توزیع احتمال مرتبط با آن براساس 2 معیار زیر تعیین می شود . با فرض اینکه داده هادارای توزیع نرمال می باشد.

آماره آزمون به صورت زیر محاسبه می شود : معیار: 1- حجم نمونه 2- انحراف معیار جامعه معلوم است یا خیر. آماره آزمون به صورت زیر محاسبه می شود : (مقدار پارامتر با قبول H0 – آماره در نمونه) (خطای معیارآماره نمونه )

آزمون فرضیه مقایسه میانگین جامعه باعدد ثابت معلوم (واریانس جامعه) مجهول در این حالت فرضیه های صفرو مقابل یکی از حالتهای زیر می توان باشد:

انتخاب آماره آزمون آماره آزمون آماره آزمون الف-وقتی واریانس جامعه معلوم و داده ها توزیع نرمال دارند : آماره آزمون ب-وقتی واریانس جامعه مجهول و داده ها توزیع نرمال دارند : آماره آزمون

قاعده تصمیم گیری برای 1: قاعده تصمیم گیری برای 2: قاعده تصمیم گیری برای 3:

قاعده تصمیم گیری برای 1: Z 1.645 ناحیه قبول ناحیه رد

قاعده تصمیم گیری برای 2: Z -1.645 ناحیه رد ناحیه قبول

و یا اگر مقدار آماره آزمون در ناحیه رد قرار گیرد فرضH0 ردمی شود . قاعده تصمیم گیری : فرض H0 رد می شود اگر و یا اگر مقدار آماره آزمون در ناحیه رد قرار گیرد فرضH0 ردمی شود . Z -1.96 1.96 ناحیه رد ناحیه قبول ناحیه رد

, σ = 10 (معلوم) عددبحرانی زیرا

یا P : مقدار را می توان به عنوان احتمال اینکه آماره آزمون (با توجه به استفاده از P-value برای انجام آزمون فرضیه : :P-value کوچکترین سطح معنی دار که باتوجه به داده های نمونه بدست میآوریم. یا P : مقدار را می توان به عنوان احتمال اینکه آماره آزمون (با توجه به فرضیه H1) کوچکتر یا بزرگتر از مقدار مشاهده شده آن به شرط درست بودن فرضیه H0 .

اگر مقدار P-value کمتر از سطح معنی داری باشد چون آماره آزمون در ناحیه رد H0 می افتد بنابراین فرضیه H0 رد می شود اگر مقدار P-value بزرگتر از سطح معنی داری باشد بنابراین فرضیه H0را می پذیریم.

در مثال قبلی :

مثال: میانگین سطح کراتینین در 12 بیمار، 24 ساعت پس از دریافت یک نوع آنتی بیوتیک جدید 2/1 میلی گرم می باشد. اگر میانگین و انحراف معیار کراتینین در کل جامعه به ترتیب برابر 1 و 4/0 میلی گرم باشد آیا در سطح معنی داری 5 درصد میانگین کراتینین این بیماران با کل جامعه اختلاف دارد؟ مقدار P-value چقدر است؟

فرضیات صفر و مقابل عبارتند از: از جدول توزیع نرمال یا برابر 96/1 می باشد .

آزمون فرضیه مقایسه میانگین جامعه با عدد ثابت وقتی نامعلوم است . فرضیات صفرو مقابل تفاوتی با قسمت قبل (σ معلوم) ندارد و آماره آزمون عبارت است از: Tدرجه آزادی = n-1

قاعده تصمیم گیری : فرضیه یک طرفه t n = 12,α=0.05 ناحیه رد ناحیه قبول -1.7959 ناحیه رد ناحیه قبول

فرضیه یک طرفه n = 15 , α=0.01 t 2.625 ناحیه قبول ناحیه رد

فرضیه دو طرفه t n = 15 , α=0.05 ناحیه رد ناحیه قبول ناحیه رد -2.1448

مثال: یک روش درمانی جدید برای جلوگیری از نوزادان کم وزن ابداع شده است. دریک مطالعه اولیه بر روی 20 خانم باردار که از این دارو استفاده کرده بودند، میانگین وزن نوزادان متولد شده 3500 گرم با انحراف معیار 500 گرم بود. اگرمیانگین وزن نوزادان کم وزن درکل جامعه برابر 2800 گرم باشدآیامی توان ادعا نمودکه این داروباعث افزایش وزن نوزادان شده است؟

زیرا

مقایسه نسبت جامعه با یک عدد ثابت استنباط در مورد پارامتری است که برای صفات کیفی به کار می رود. فرضیات صفرو مقابل عبارتند از:

در حالتی که حجم نمونه به اندازه کافی بزرگ باشد 5np> و 5n(1-P)> آماره آزمون عبارت است از :

ناحیه رد برای آزمون یک طرفه : ناحیه رد برای آزمون دو طرفه :

مثال : پيش از آن كه برنامه مصون سازي سرخچه در بخش مديترانه اي صورت گيرد، مطالعه اي نشان مي دهد كه 150 نفر از ميان 500 كودك دبستاني در بخش مزبورعليه اين بيماري مصون سازي شده اند. آيا داده ها با اين اعتقاد كه حدود 50 درصد از كودكان دبستاني در بخش مديترانه اي عليه سرخچه مصون شده اند سازگار است؟ مقدار فرض شود.

زیرا

مثال: نسبت چندقلوزایی بطور تقریب 1 درصد می باشد تصور می شود که چند قلوزایی تحت تاثیر عواملی مانند سن، نژاد، رتبه تولد می باشد. برای آزمون تاثیر سن بر چندقلوزایی تعداد 2000 نفر از زنان باردار که سن آنها زیر 20 سال بوده است را مورد بررسی قرار دادیم و ده مورد چند قلوزایی مشاهده گردید. در مورد تاثیر سن بر چند قلوزایی چه می توان گفت؟

زیرا

آزمون فرضیه مقایسه میانگین دو جامعه (تفاوت میانگین دوجامعه) - آزمونهای قبلی براساس یک نمونه از جامعه بوده اند. - در آزمونهای دو جامعه (دو نمونه ای ) پارامترهای موردنظر دردو جامعه متفاوت مقایسه می شوند .

مثال: میانگین سطح کلسترول در بچه هایی که والدین آنها بیماری قلبی دارند بیشتر از افراد سالم است؟ - آیا داروی A باعث کاهش فشارخون می شود . کودکانی که در مناطق نزدیک کارخانه سرب زندگی می کنند ، سطح سرب خون آنها بالاتر از سایر کودکان است.

در این حالت فرضیات مورد بررسی به صورت زیر فرمول بندی می شوند :

دوحالت برای آزمون مقایسه میانگین دوجامعه وجود دارد : 1- دو نمونه منتخب از دو جامعه وابسته اند. یعنی هرعضو نمونه اول باعضوی منحصر به فردازنمونه دوم جور شده باشد. مانند: - اندازه پاسخ قبل و بعد از دارو - اندازه پاسخ در چشم راست و چپ - آگاهی قبل و بعد از آموزش

2- دو نمونه منتخب از دو جامعه مستقل می باشند : یعنی نمونه ها از دو جامعه متفاوت اند و ارتباطی بهم ندارند مانند : - پاسخ به درمان در افراد بیمار و سالم - فشار خون در مردان و زنان

مقایسه میانگین دو نمونه ازدوجامعه وابسته در این حالت داده ها به صورت وابسته مثلاً قبل و بعد ارائه می شود برای انجام آزمون: 1- اختلاف مشاهدات قبل و بعد را محاسبه می کنیم. 2- میانگین و انحراف معیار تفاوتها را بدست می آوریم .

با استفاده از آزمون t مقدار آماره ازمون رامحاسبه می کنیم: بقیه مراحل مشابه حالتهای قبل می باشد.

مثال: جدول زیر اندازه های فشارخون قبل و بعد از شش ماه مصرف قرصهای OC را در زنان 45-15 سال نشان می دهد. آیا می توان ادعا نمود مصرف قرصهای OC باعث افزایش فشارخون می شود .

زیرا

مقایسه میانگین دو جامعه مستقل: 1- دو نمونه تصادفی انتخاب شده از دو جامعه مستقل می باشند . 2- جامعه ها دارای توزیع نرمال می باشند. واریانسهای دو جامعه مجهول الف-مساوی هستند ب-مساوی نیستند

آزمون فرضیه مساوی بودن واریانس دو جامعه = حجم نمونه از جامعه اول = واریانس نمونه از جامعه اول = حجم نمونه از جامعه دوم = واریانس نمونه از جامعه دوم

آزمون فرضیه مساوی بودن واریانس دو جامعه آماره Fو دارای توزیع فیشر با 1-n1 (درجه آزادی صورت) و 1-n2 (درجه آزادی مخرج) است . به صورت نسبت واریانس های دو نمونه تعریف می شود: RH0

مثال : مطالعه اي به منظور مشاهده اثر مواجهه مداوم با سرب بر IQ طراحی گردید. بدین منظور يك گروه از کودکان یک منطقه كه در معرض سرب بودند و يك گروه كنترل از كودكان همان منطقه مشخص گرديدند . آزمايش IQ بر روي 34 كودك 5 ساله و بالاتر در در معرض سرب و 36 كودك همسن آنها درگروه كنترل انجام شد كه اطلاعات آن درجدول زير داده شده است . الف-مساوی بودن واریانسها را آزمون کنید ب-آیا میانگین نمره هوش در دو گروه متفاوت است

گروه اندازه نمونه انحراف معیار میانگین IQ در معرض سرب 34 13/74 96/4 کنترل 36 17/87 103/29 V1= 36-1=35 1.75≈ (33و35و975/0.)F V2= 34-1=33

مقایسه میانگین دو جامعه الف- در صورتی که فرض مساوی بودن واریانسها پذیرفته شود : = حجم نمونه از جامعه اول = میانگین نمونه از جامعه اول = واریانس نمونه از جامعه اول = حجم نمونه از جامعه دوم = میانگین نمونه از جامعه دوم = واریانس نمونه از جامعه دوم

گروه اندازه نمونه انحراف معیار میانگین IQ جذب کننده سرب 34 13/74 96/4 کنترل 36 17/87 103/29

P-value=2(1-0.95)=0. 1

مقایسه میانگین دو جامعه الف- در صورتی که فرض مساوی بودن واریانسها پذیرفته نشود : = حجم نمونه از جامعه اول = میانگین نمونه از جامعه اول = واریانس نمونه از جامعه اول = حجم نمونه از جامعه دوم = میانگین نمونه از جامعه دوم = واریانس نمونه از جامعه دوم

مثال: مطالعه ای به منظور بررسی اثر فامیلی بر سطح کلسترول تعداد 70 کودک زیر 14 سال را که پدرانشان به بیماری قلبی مبتلا بوده اند و تعداد 74 کودک که پدرانشان ازنظر بیماری قلبی سالم بوده اند در نطر گرفته شدند. از نظر سن و جنس دو گروه همسان بوده اند. نتایج اندازه گیری در جدول زیر ارائه شده است .آیا ارتباطی بین بیماری قلبی پدر و سطح کلسترول فرزندان وجود دارد؟(α=0.01)

1/68≈ (73و99و995/0.)F فرض مساوی بودن واریانس جامعه رد می شود

P-value<2(1-0.995)=0.01

Explain this chart, some examples are on next slide