Matematinis samprotavimas mokykloje Rimas Norvaiša 2017 m. balandžio 26 d.

Planas Seminare aptarsiu: - matematinio samprotavimo pradinėse klasėse pavyzdžius; - mokyklinio įrodymo sampratą; - psichologų tyrimus apie vaikų gebėjimą suprasti dedukcinį samprotavimą; - mokyklinio įrodymo (ne)naudojimas geografiniame ir istoriniame kontekste.

MS pavyzdžiai Teiginys. Dviejų nelyginių skaičių suma yra lyginis skaičius. 2 klasėje šios sąvokos apibrėžiamos taip. Lyginiai skaičiai visada dalosi iš 2. Tai 0,2,4,6,… Nelyginiai skaičiai nesidalina iš 2. Tai 1,3,5,7,…. Dažniausiai pagrindžiamas empiriniu argumentu: 1+3=4, 5+15=30. Kiti pagrindimo būdai:

Įrodymas žodžiais Ap. Skaičius yra nelyginis, jei, iš eilės grupuojant po du, vienas lieka laisvas. Skaičius yra lyginis jei, grupuojant po du, laisvų nelieka. Teiginio įrodymas: Jei sudėsime du nelyginius, likę du laisvi sudarys naują porą ir laisvų neliks. Sudėjus du nelyginius gavome, kad juos galima sugrupuoti po du. Todėl nelyginių skaičių suma yra lyginis skaičius.

Įrodymas piešiniais

Įrodymas algebra Nelyginis skaičius turi išraišką: 2n+1 su kuriuo nors natūraliuoju n. Lyginis skaičius turi išraišką: 2n su kuriuo nors natūraliuoju n. Dviejų nelyginių skaičių suma: (2n+1)+(2k+1)=2(n+k)+1+1=2(n+k+1).

Kiti uždaviniai 1. Ką galima pasakyti apie dviejų vienas po kito einančių nelyginių skaičių sumą? Tokia suma dalosi iš 4. 2. Ką galima pasakyti apie skaičių, kuris gaunamas nelyginį skaičių padauginus iš 3 ir pridėjus 3? Toks skaičius dalosi iš 6. 3. Įrodyti, kad yra be galo daug sakinių, kuriais 10 išreiškiamas atimtimi. 11-1=10,12-2=10,13-3=10,…..

MS iliustracija Ap. Skaičius yra taškas (skaičių) tiesėje. Ap. Teigiamų skaičių a ir b suma a+b yra dešinysis galas intervalo, gaunamo apjungus vieną greta kito padėtus intervalus [0,a] ir [0,b]: |--------|----------|------------- 0 a a+b Teorema. Trupmenų m/n ir k/l suma yra trupmena (ml+kn)/(nl). Įrodymas. Intervalus [0,m/n] ir [0,k/l] nuosekliai padaliname 1/(nl) ilgio intervalais ir suskaičiuojame kiek jų telpa.

Matematinis samprotavimas (MS) - kiekviena sąvoka yra apibrėžiama; - kiekvienas teiginys yra nedviprasmiškas ir formuluojamas taip, kad būtų aišku, kas yra žinoma ir kas nėra žinoma; - kiekvienas teiginys yra pagrindžiamas logiškai taisyklingu samprotavimu; - kiekviena nauja sąvoka formuojama turimų žinių pagrindu ir yra naujų žinių struktūros dalimi; - matematikos žinios yra orientuotos į tikslą ir sprendžia kurią nors problemą.

Matematika - struktūra MS iš prielaidų ir apibrėžimų gaunami nauji teiginiai. MS yra įmanomas tik tada, kai sąvokos yra tarpusavyje susijusios. Pavyzdžiui, ,,natūralusis skaičius yra trupmena, kurios vardiklis lygus vienetui“, arba ,,trupmena yra skaičius“. Loginiais ryšiais susijusios sąvokos sudaro hierarchinę struktūrą, arba sąvokų medžius.

Įrodymas MS yra panašus į formalųjį įrodymą akademinėje matematikoje, bet ir skirtingas. Įrodymas akademinėje matematikoje yra dedukcinis samprotavimas siejantis šiuolaikinės matematikos faktus, apibrėžimus ir aksiomas, kurių nėra ir negali būti mokyklinėje matematikoje. Tačiau mokyklinėje matematikoje yra įmanomas ir būtinas loginis samprotavimas (įrodymas) siejantis mokyklinės matematikos sąvokas, kurios sudaro savo struktūrą.

Mokyklinio įrodymo apibrėžtis Samprotavimas, kuriuo siekiama pagrįsti ar paneigti tvirtinimą, vadinamas įrodymu, jei jį sudaro šios trys komponentės: - naudoja tik tuos teiginius, kurie anksčiau klasėje buvo pripažinti teisingais (apibrėžimai, aksiomos, teoremos ir t.t.); - naudoja tik tas samprotavimo formas, kurios yra pagrįstos ir buvo aptartos klasėje (įvairios logikos taisyklės); - išreiškiamas klasėje naudojama matematine kalba (diagramos, piešiniai, lentelės, simboliai ir t.t.).

Mokyklinis vs akademinis įrodymas Įrodymą sudaro trys komponentės: Teisingi teiginiai; Pagrįsti teiginiai; Išraiškos priemonės. Akademinėje matematikoje ir mokyklinėje matematikoje šios komponentės skirtingos. Netgi skirtingos klasės gali turėti skirtingas įrodymo sampratas (nagrinėtas pavyzdys). Empirinis argumentas =/= įrodymas

Palyginimas Mokyklinės matematikos žinios yra susijusios su akademinės matematikos žiniomis, kaip žaislas (pavyzdžiui, žaislinis lėktuvas) yra susijęs su realiu objektu (tikru lėktuvu). Žaislas gali būti įvairaus tikslumo, nuo primityvaus iki skraidančio modelio. Panašiai yra su mokyklinės matematikos struktūra ir samprotavimu; nuo paprasto pradiniame ugdyme iki sudėtingesnio mokymosi pabaigoje.

Įrodymas kaip eilėraštis Įrodymo akademinėje matematikoje ir įrodymo mokyklinėje matematikoje tapatinimas yra žalingas nesusipratimas. Tapatinant šias sampratas, galima nesunkiai pademonstruoti, kad įrodymas nesuprantamas daugumai mokinių ir mokytojų. Dabar įrodymo mokomasi kaip eilėraštį – mintinai.

Psichologai apie MS mokykloje Nėra bendro sutarimo kokio amžiaus vaikai įvaldo skirtingas dedukcinio samprotavimo formas. Kai kurie tyrimai teigia, kad pilnai dedukcinį samprotavimą (apie konkrečius objektus) supranta 11-12 metų vaikai [....]. Kiti tyrimai teigia, kad paprasčiausias logines implikacijas suvokia ikimokyklinukai [....]. Netgi tokias: ,,Visos žuvys gyvena medžiuose. Karpis yra žuvis. Ar karpis gyvena medyje?“

Modus ponens ir modus tollens MP: p ir p->q |- q MT: p->q ir ~q |- ~p Abi taisykles supranta 10 metų vaikai. Bet MT supranta blogiau už MP. Taisyklių supratimas gerėja lavinant vaikus. Naudojant MS ir įrodymus matematikos pamokose gerėja dedukcinio samprotavimo supratimas. Tiksliau priklausomybė netirta. Tai gali paaiškinti tyrimų skirtingus rezultatus.

Geografinis ir istorinis kontekstas Matematikos mokymo lygį konkrečioje valstybėje lemia dydis tos visuomenės dalies, kuriai prieinamas matematikos mokymas, ir vyriausybės rūpestis matematikos mokytojų kvalifikacija. Nesirūpinant mokytojų kvalifikacija ir didėjant besimokančių matematikos skaičiui, lygis krenta. Šios problemos pasireiškimas mažinamas sudarant tokias sąlygas, kada matematika prieinama tik elitui. Tai veiksminga tol, kol nėra judėjimo laisvės.

Matematikos mokymas Rusijoje 1730 m į Peterburgą atvyko L. Euleris ..... Nuo Euler‘io laikų matematika Rusijoje buvo pagrindiniu mokomu dalyku. MM palaipsniui tapo dviejų lygių – vienas elitui ir kitas likusiai visuomenės daliai. 20 a. aktyvūs pedagoginiai tyrimai ir nuoseklus mokytojų ruošimas. 1981 m Rusijos MM turėjo pripažintą pranašumą prieš kitas MM sistemas (I. Wirszup).

MM Europoje iki 20 a. Po revoliucijos Prancūzijoje atsiranda lycees ir Ecole Polytechnique kuriame mokėsi elitas (iki 3% berniukų) – aukštas lotynų k. ir matematikos lygis. Matematika – proto galias formuojantis dalykas. Ruošia valstybės tarnautojus ir karininkus. Likusi visuomenės dalis kolegijose. Kitose Europos valstybėse MM situacija labai skirtinga. Pvz. Anglija nesirūpino mokytojų ruošimu.

MM tarptautinė komisija Siekiant išsaugoti matematikos mokymo lygį jam tampant visuotiniu ir privalomu, 1908 metais įkurta Matematikos mokymo tarptautinė komisija (International Commission on Mathematics Instruction). Tikslas skatinti geresnį visų lygių MM. Dabar organizacijai priklauso 93 šalys.

MM vakaruose iki 1960-ųjų Po ~1930, pasibaigus ,,kalimo teorijos“ (,,drill theory“) populiarumo laikotarpiui, MM atsirado matematikos supratimą skatinanti tendencija. Supratimo siekta naudojant naujus mokymo metodus, o klausimas ,,kaip mokyti?“ buvo svarbiausiu. Kartu, tiek Europoje, tiek ir Amerikoje, buvo bandoma (bet neįgyvendinta) keisti MM turinį ruošiant naujas programas ir vadovėlius.

Sputniko vaidmuo 1957 m. Amerikiečiai nusprendė reformuoti MM, siekdami mokyklinės matematikos turinį priartinti prie akademinės matematikos turinio. 1959 metais Prancūzijoje EBPO pirmtakas išplėtė amerikiečių reformą į Europą ir papildė ją Dieudonne pasiūlymu atsisakyti Euklido geometrijos kaip pasenusios. Į šias reformas įsijungė visos EBPO pirmtako, o po 1961 m ir pačios EBPO valstybės narės. Nuo tada MM atsirado vakarų ir rytų stovyklos.

New Math judėjimas ~ 1960-1970 Jį skatino: Šaltojo karo priešprieša ir visuomenėje stiprėjantis suvokimas apie matematikos svarbą nacionaliniam saugumui; Bourbaki vardu pasivadinusios matematikų grupės darbuose propaguojamo aksiominio metodo matematikoje populiarumas; Suvokimas, kad tuometinė mokyklinės matematikos programa neturėjo nieko bendro su šiais pasiekimais; Žemas matematikos mokymo lygis mokyklose.

New Math sužlugo dėl Judėjimą skatino greitų rezultatų siekis ir visuomenės, bei žiniasklaidos spaudimas. Mokyklinės matematikos programa buvo keičiama skubiai ir neapgalvotai, ne nuo pradinio mokymo, o kai kuriais atvejais pokyčiai pradėti nuo 10-12 klasių, vadovėliai nepatikrinti, mokytojai neparuošti. Bet New Math judėjimas skirtingose valstybėse turėjo skirtingas pasekmes.

Back-to-basics j. ~1970-1980 siekė padaryti MM glaudžiai susijusį su kasdieniniu gyvenimu, padaryti matematiką labiau praktine negu teorine. Kai kurie specialistai manė, kad matematikos supratimas tariamai yra neįmanomas. Todėl, pasak judėjimo dalyvių, pagrindinis dėmesys turi būti skiriamas išmokyti taikyti matematikos procedūras kasdieninėje žmogaus veikloje. Tačiau dėmesys ,,pagrindams“ nepagerino mokinių skaičiavimo įgūdžių.

Problem-solving j.~1980-1990 Pripažinta, kad išskirtinis dėmesys ,,pagrindams” buvo klaida. Teigta, kad pagrindiniu MM tikslu turėtų būti ,,problemų sprendimo” įgūdžių ugdymas. Tačiau ,,problemomis” vadintos realaus gyvenimo kontekste formuluojamos procedūrinės užduotys buvo tik problemų sprendimo parodijomis.

Užduoties pvz. 1980 7 klasė Prašoma apskaičiuoti stačiojo trikampio plotą, kurio įžambinės ilgis 8 cm ir į ją besiremiančios aukštinės ilgis 5 cm. Daugelį metų mokiniai buvo teigiamai vertinami, jei jie padaugino 5 ir 8, bei padadalino iš 2 gaudami vadinamojo ,,trikampio” plotą 20 cm2. Mokytojų požiūris: ,,na ir kas?”, ,,tai visai nerimta klaida”, ,,reikia džiaugtis, kad mokinys suskaičiuoja plotą pagal žinomą formulę”. Mažiau kaip 1% mokytojų sugebėjo įrodyti, kad toks statusis trikampis neegzistuoja.

Mathematics Standards1989-2000 Matematikos mokytojų nacionalinė taryba paskelbė naują programą Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Matematinis samprotavimas tapo matematikos mokymo tikslu visose klasėse. 1-4 “draw logical conclusions about math… 5-8 “recognize and apply deductive and inductive reasoning…make and evaluate math conjectures and arguments”. 9-12 “…follow logical arguments, judge validity of arguments, construct simple valid arguments….”

Mathematics Standards 2000-2010 Ankstesnės programos kontekste buvo diskutuojama dėl įrodymo vaidmens. Naujoji programa Principles and Standards for School Mathematics (2000) smarkiai sureikšmino įrodymo vaidmenį teigiant: “Instructional programs from prekindergarten through grade 12 should enable all students to recognize reasoning and proof as fundamental aspects of mathematics,…“

Common Core State Standards Po 2000-ųjų metų, į diskusiją apie ,,standartus“ įsijungus matematikams, 2010 buvo sukurtas daugumai priimtinas variantas, vadinamas Common Core State Standards, kuriame iš esmės susitarta dėl to ką ir kaip mokyti matematikoje ir anglų kalboje (kartu). Šiuose standartuose mokyklinė matematika tapo panašia į matematiką, t.y. joje atsispindi MS apie kurį rašau teksto pradžioje.

Progressions Documents for CCMS Mokyklinės matematikos temų išdėstymas formuojantis sąvokų loginę struktūrą ir atsižvelgiantis į amžiaus grupės kognityvinius gebėjimus. Nepretenduoja į užbaigtą variantą. Skirtas tolesniam tobulinimui.

MM tendencijos JAV ir Suomijoje

MM Lietuvoje Suomio M. S. Hannula vertinimu (2009): Atrodo, kad Rytų Europa iš lėto gręžiasi į vakarus perimdama vakarietišką požiūrį ir tyrimų darbotvarkę. Rusija ir daugelis rytų Europos šalių vis dar randasi už vakarų mokyklos ribų. Tose šalyse didžiausią dėmesį susilaukia tik talentingų vaikų ugdymas ir jų ruošimas matematikos olimpiadoms.

Mūsiškiai apie tokią situaciją Lietuvoje nėra tinkamų sąlygų matematikos mokymo tyrimams. Būtent, Lietuvos mokslo klasifikatoriuje nėra ,,mathematics education“ dalies ir šios dalies darbai nėra teigiamai vertinami kitose srityse (matematika, socialiniai mokslai). Taip pat , dauguma ,,mathematics education“ dalies darbų publikuojama konferencijos darbuose, kurie neturi Impact Factor. Tai sukelia problemas norint vadovauti disertacijų rašymui.

Tačiau ,,Mathematics education“ yra matematikos klasifikatoriaus dalimi (97.XX): 97Axx General, mathematics and education 97Bxx Educational policy and systems 97Cxx Psychology of mathematics education, research in mathematics education 97Dxx Education and instruction in mathematics

1 išvada (iš penkių) Klausimas ,,kodėl?“ yra svarbiausias matematikoje, o atsakymas į šį klausimą ieškomas samprotavimo būdu. Motyvacija mokytis matematikos atsiranda ją suprantant. Todėl turime siekti supažindinti vaikus su šiais matematikos bruožais.

2 išvada (iš penkių) Siekimas mokyti matematiką tik kaip pasaulio pažinimą, kasdieninio gyvenimo problemų sprendimą, fiziškai ar vizualiai pavaizduojamą yra bandymas apgauti save ir kitus. Kelis pastaruosius dešimtmečius mes kopijavome selektyviai pasirinktas priemones kitose šalyse pagal savo įsivaizduojamą matematikos vaidmenį visuomenėje. Nenuostabu, kad turime tas pačias pasekmes.

3 išvada (iš penkių) Lietuvoje beveik nėra profesionalų dirbančių mokyklinės matematikos turinio srityje (su išimtimis, pvz. LEU doc.dr. V.Grabauskienė). Todėl šiuo metu nėra galimybių tinkamai ruošti matematikos mokytojus. Taip pat neturime nei tinkamų matematikos vadovėlių, nei tinkamos jų keitimo sistemos.

4 išvada (iš penkių) Kokiu bus matematikos mokymas Lietuvoje ateityje priklauso nuo to ar sugebėsime sustoti, pažvelgti į save kritiškai ir pagalvoti kokia kryptimi turime eiti, jei norime išlikti pilnaverte tauta. Nuoširdus klaidų pripažinimas yra būtina sąlyga jas taisyti. Kol klaidos nėra pripažintos, tol nėra ką taisyti.

5 išvada (iš penkių) Matematika yra loginė struktūra. Jos grąžinimui į mokyklos turinį reikia daug laiko. Pirmiausia turime sudaryti sąlygas atsirasti matematikos mokymo profesionalams. Toliau reikalinga paruošti detalų sąvokų loginės struktūros medį, paruošti medžiagą mokytojams, parašyti naujus vadovėlius pradedant pradiniu ugdymu ir atlikti eksperimentus mokyklose. Reforma gali vykti tik palaipsniui.

Papildymas dėl mokytojų Lietuvoje, ruošiant matematikos mokytojus daroma prielaida, kad aukštosios matematikos žinios yra pakankamos įgyti dalykines kompetencijas. Tikima, kad aukštoji matematika savaime suteikia mokytojui elementariosios matematikos žinias. Tyrimai rodo, kad taip nėra.

Matematikos žinios mokytojams Paprastai, matematiką universitete baigęs mokytojas, elementariąją matematiką moko taip, kaip jis pats buvo mokomas kai mokėsi mokykloje, t.y. procedūras moko mintinai, be paaiškinimų. Norint ugdyti matematinį samprotavimą atsiranda būtinumas būti pasiruošusiam atsakyti į bet kurį su matematiniu samprotavimu susijusį klausimą. Tokie klausimai nebūtinai susiję su procedūromis.

Matematikos žinios mokytojams Pastaraisiais dešimtmečiais sparčiai plėtojama taikomosios matematikos sritis, kurios tyrimo objektu yra matematikos žinios, kurios reikalingos matematikos mokytojui. Šios srities tyrimo objektu yra ,,matematika mokytojams“ (angl. Mathematics for Teaching). Ji yra platesnė už MM turinį ir skiriasi nuo akademinės matematikos.

Tyrimas 2008 metais atliktas 17 šalių pradinių klasių matematiko mokytojų matematikos turinio priklausomybė nuo jų ruošimo pobūdžio tyrimas. Tyrimo išvada: matuojant matematikos turinio žinias, matematikos specializaciją turintys pradinių klasių mokytojai aukštą įvertinimą gauna dažniau už bendrojo paruošimo mokytojus.

Ačiū už dėmesį

Mūsų švietimo specialisto nuomonė ,,Matematikai-teoretikai neturėtų primetinėti [mokyklinei matematikai] savo nuomonės. Ne visi vaikai stos į matematikos fakultetus. Nereikia mokinių atbaidyti nuo matematikos perdėtu jos sausumu ir griežtumu. Nereikia dar vienai mokinių kartai sukelti alergijos nesuprantamai, nesuvokiamai, su gyvenimu nesusijusiai matematikai dėl matematikos. Kas po to būna mes visi žinome iš savo tėvų, senelių, kitų artimųjų patirties”.