قاعدة الترتيب الأساسية ( مبدأ العد ) التباديل التوافيق التباديل و التوافيق قاعدة الترتيب الأساسية ( مبدأ العد ) التباديل التوافيق العلاقة بين التباديل و التوافيق نظرية ذات الحدين إيجاد الحد الأوسط أو الحدين الأوسطين في مفكوك ( س+)ن النسبة بين حدين متتاليين في مفكوك ( س+)ن ملخص للقوانين 2ث الفصل2

مبدأ العد مبدأ العد ملاحظة : إذا أمكن إجراء عملية بطرق مختلفة عددها م , وكان لدينا في نفس الوقت عملية أخرى يمكن إجراؤها بطرق مختلفة عددها ن فإن : عدد طرق إجراء العمليتين معاً = م × ن ملاحظة : مبدأ العد السابق يمكن تطبيقه على الحالة التي يكون فيها أكثر من عمليتين

مبدأ العد أمثلة إذا كان للمدرسة 3 أبواب , فكم طريقة يمكن لشخص الدخول من هذه الأبواب ؟ وبكم طريقة يمكنه الخروج من باب غير باب الدخول ؟ وبكم طريقة يمكنه الدخول والخروج معاً ؟ عدد طرق الدخول = 3 عدد طرق الخروج= 2 عدد طرق الدخول و الخروج معاً = 3 × 2 = 6

أمثلة مبدأ العد عدد طرق كتابة رقم الآحـــــاد = 5 كم عدد مكون من 3 أرقام و يمكن تكوينه من الأرقام : 2 , 3 , 4 , 5 , 6 مع عدم تكرار الأرقام في أي عدد ؟ عدد طرق كتابة رقم الآحـــــاد = 5 عدد طرق كتابة رقم العشرات = 4 عدد طرق كتابة رقم المئــــات = 3 بالتالي فإن عدد طرق كتابة الأرقام الثلاثة = عدد طرق إجراء كل عملية على حده = 5 × 4 × 3 = 60 طريقة

التباديل تمهيد لدى أحد معارض السيارات 6 ألوان لموديل معين من السيارات وأراد ثلاثة أشخاص اختيار ثلاثة منها . فكم طريقة منها يمكن اختيار هذه الألوان الثلاثة معاً الأول يختار أي لون من الستة الثاني يختار أي لون من الخمسة المتبقية الثالث يختار أي لون من الأربعة المتبقية إذاً عدد طرق اختيار الألوان الثلاثة معاً = 6 × 5 × 4 = 120 طريقة نرمز للعملية السابقة ^ ل 3 و تقرأ ( ستة لام ثلاثة ) – ( ستة تبديل ثلاثة )

التباديل الرمز ن ل ٌ يدل على عدد تباديل ن من الأشياء المأخوذة ر من الأشياء في كل مرة التبديل هو ترتيب لعدة أشياء مختلفة بأخذها كلها أو بعضها في كل مرة نل ٌ = نلر = ن ( ن – 1 ) ( ن – 2 ) ( ن – 3 ) ..... ( ن – ر + 1 ) ؛ ر  ن ن لن = ن ( ن – 1 ) ( ن – 2 ) ( ن – 3 ) ..... × 3 × 2 × 1 ن ل 0 = 1

أمثلة التباديل & ل 3 = 7 × 6 × 5 = 210 (! ل 3 = 10 × 9 × 8 = 720 & ل 3 = 7 × 6 × 5 = 210 (! ل 3 = 10 × 9 × 8 = 720 ن+ @ل 3= (ن + ذ) (ن + 1) ن إذا كان ن ل 4 = 840 فأوجد قيمة ن المطلوب البحث عن أربعة عوامل متتالية حاصل ضربها 840 تبدأ بالعدد ن نل 4 = 7 × 6 × 5 × 4 = 840  نل 4 = &ل 4 ن = 7

أمثلة التباديل  *لر = *ل 4 إذا كان *لر = 1680 فاحسب قيمة ر نبحث عن أعداد صحيحة متتالية عددها ر وأكبرها 8 و حاصل ضربها 1680 *لر = 8 × 7 × 6 × 5 = 1680  *لر = *ل 4  ر = 4

التباديل نلن = ن ( ن – 1 ) ( ن – 2 ) .... × 3 × 2 × 1 عدد التباديل لأشياء عددها ن مأخوذة جميعها في كل مرة هو نلن نلن = ن ( ن – 1 ) ( ن – 2 ) .... × 3 × 2 × 1 ويرمز له بالرمز ن ! ويقرأ مضروب ن ن! = ن ( ن – 1 ) ( ن – 2 ) .... × 3 × 2 × 1 تعريف : 0! = 1 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 3! = 3 × 2 × 1 1! = 1

التباديل نتيجة : ن! = ن ( ن – 1 )! الإثبات : نتيجة : ن! = ن ( ن – 1 )! الإثبات : ن! = ن ( ن – 1 ) ( ن – 2 ) .... × 3 × 2 × 1 = ن [( ن – 1 ) ( ن – 2 ) .... × 3 × 2 × 1 ] = ن ( ن – 1 )! 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7 × (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ) = 7 × 6! = 7 × 6 (5 × 4 × 3 × 2 × 1 ) = 7 × 6 × 5! وهكذا

أمثلة التباديل بسط المقادير التالية : ( ن + 3 )( ن + 2 ) ( ن + 1 )! ( ن + 3 )! ( ن + 3 )( ن + 2 ) = = ( ن + 1 )! ( ن + 1 )! 9× 8 × 7! 9! 72 = = 7! 7!

أمثلة التباديل إذا كان ن! = 120 فأوجد قيمة ن ؟ إذا كان ن! = 120 فأوجد قيمة ن ؟ طريقة حل من هذه المسائل إما التخمين أو قسمة العدد على 1 ثم 2 ثم 3 ثم ..... حتى يصبح خارج القسمة 1 ن! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 5!  ن = 5 1 2 3 4 5 120 60 20 5 1

تستخدم هذه القاعدة في حال وجود مجاهيل التباديل نتيجة : نلر = تستخدم هذه القاعدة في حال وجود مجاهيل ن! ( ن – ر )!

تمارين إضافية إذا كان س+ص ل 2 = 90 , س_صل 3 = 120 فأوجد ( س -– ص )! إذا كان س+ص ل 2 = 90 , س_صل 3 = 120 فأوجد ( س -– ص )! س+ص ل 2 = 90 = 10 × 9 = (! ل 2 س + ص = 10 ....... 1~ س_صل 3 = 120 = 6 × 5 × 4 = ^ ل 3 س – ص = 6 ....... ذ~ بجمع المعادلتين 1 و 2 نجد أن 2س = 16 ومنها س = 8 بالتالي فإن ص = 2  ( 8 – 2 )! = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

تمارين إضافية ( ن + 2 )! ن ! = 56 فأوجد قيمة ن إذا كان : = 56 فأوجد قيمة ن إذا كان : ( ن + 2 ) ( ن + 1 ) ن ! ن ! = 56 ( ن + 2 ) ( ن + 1 ) = 56 ن2 + 3 ن – 54 = 0 ( ن + 9 ) ( ن – 6 ) = 0 إما س = -9 ( مرفوض ) أو س = 6 وهو المطلوب

تمارين إضافية 14 ! = 2×7×13×22×3×11×2×5×9×32 × 7! أثبت أن : = 72 ( 1×3×5×7×9×11×13) 14! = 14×13×12×11×10×9×8×7! 14 ! = 2×7×13×22×3×11×2×5×9×32 × 7! 14! = 72 (1×3×5×7×9×11×13) 7! بقسمة الطرفين على 7! ينتج : = 72 (1×3×5×7×9×11×13) 14 ! 7!

تمارين إضافية إذا كانت سس = { س : س ي صص , - 3 < س  3 } إذا كانت سس = { س : س ي صص , - 3 < س  3 } صص = { ( ا , ب ) : ا , ب ي سس , ا  ب } ع = { ( ا , ب , ج ) : ا , ب , ج ي سس , ا  ب  ج } فأوجد عدد عناصر صص , ع سس = { -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 } عدد عناصرها = 6 مجموعة صص بناءً على تعريفها المحدد عبارة عن التراتيب المكونة من 6 أعداد مأخوذة اثنين اثنين دون تكرار في كل مرة إذا ن ( صص ) = ^ل 2 = 6 × 5 = 30 عنصر ( زوج مرتب ) مجموعة ع بنفس الطريقة ن ( ع ) = ^ل 3 = 6 × 5 × 4 = 120 عنصر ( زوج مرتب )

تمارين إضافية إذا كان نل 8 > ن ل 7 فأوجد قيم ن التي تحقق هذه المتباينة , ثم أوجد قيمة (2ن – 15 )! لأصغر قيم ن المتباينة المعطاة تكافئ : ن (ن – 1 ) ...... ( ن – 6 ) ( ن – 7 ) > ن ( ن – 1 ) ...... ( ن – 6 ) ن – 7 > 1 ن > 8 قيم ن = { 9 , 10 , 11 , ..... } بالتالي فإن : ( 2 ن – 15 )! = ( 2 × 9 – 15 )! = 3! = 6

كم عدد مكون من 5 أرقام يمكن تكوينه من الأرقام 4 , 5 , 6 , 7 , 8 دون تمارين غير محلولة مع الارشاد كم عدد مكون من 3 أرقام يمكن تكوينه من الأرقام 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 دون تكرار لأي رقم منها 1 كم عدد مكون من 5 أرقام يمكن تكوينه من الأرقام 4 , 5 , 6 , 7 , 8 دون تكرار لأي رقم منها ذ إذا كان ن! = 120 فأوجد ن ل 3 3 اوجد قيمة المقدار : ( 0! ÷ 3! ) + ( 5 × 5! ÷ 6! ) 4 أثبت أن : 10! = 52 × 5! ( 1 × 3 × 5 × 7 × 9 ) 5

تمارين غير محلولة مع الارشاد إذا كان س+ص ل 3 = 720 , س_ص ل 2 = 30 فأوجد ( س – 2 ص )! 6 أوجد قيمة : ^ل 5 , %ل 5 , %ل 0 , %ل 1 7 إذا كان : ( ن – 2 )! = 720 فأوجد نل 2 8 إذا كانت سس = { س : س ي ط , 0  س < 5 } صص = { ( ا , ب ) , ا , ب ي سس , ا  ب } ع = { ( ا , ب , ج ) , ا , ب , ج ي سس , ا ب  ج } فأوجد عدد عناصر صص , ع 9

ارشادات تمارين التباديل 3 2 1 60 120 120 6 5 4 24 سبق حل تمرين مشابه 1 9 8 7 20 60 56 مباشر

زر حساب التباديل والتوافيق زر حساب المضروب

طريقة استخدام الآلة الحاسبة احسب 8! 40320 = X-1 SHIFT 8 احسب &ل 4 840 = 4 nCr SHIFT 7 احسب لأ &4 ٍ 35 = 4 nCr 7

التوافيق تعريف هي عدد المجموعات الجزئية التي عدد عناصر كل منها يساوي ر والتي يمكن تكوينها من مجموعة عدد عناصرها ك حيث رك و نرمز لها بالرمز ككن أو يرمز لها أحياناً بالرمز ىر كل مجموعة تتكون من كل أو جزء من الأشياء بصرف النظر عن ترتيب مفردات المجموعة تسمى توفيقاً ( ا , ب ) , ( ب , ا ) تعبر عن تبديلتين أما { ا , ب } فتعبر عن توفيق واحد

تمهيد التوافيق يوضح التعريف السابق إذا كانت س = { 3 , 4 , 5 , 6 } فأوجد : عدد المجموعات الجزئية التي يحتوي كل منها على عنصر واحد و يمكن تكوينها من المجموعة س . عدد المجموعات الجزئية التي يحتوي كل منها على عنصرين و يمكن تكوينها من المجموعة س . عدد المجموعات الجزئية التي يحتوي كل منها على ثلاثة عناصر و يمكن تكوينها من المجموعة س .

التوافيق الحل المجموعات الجزئية من س والتي تحتوي كل منها على عنصر واحد فقط هي : {3} , {4} , {5} , {6} و عددها 4  المجموعات الجزئية من س والتي تحتوي كل منها على عنصرين فقط هي : {4,3} , {5,3} , {6,3} , {5,4} , {6,4} , {6,5} و عددها 6  المجموعات الجزئية من س والتي تحتوي كل منها على ثلاثة عناصر هي : {5,4,3} , {6,4,3} , {6,5,3} , {6,5,4} وعددها 4

نستنتج العلاقة التالية بين التباديل التوافيق لاحظ من المثال السابق : $ل 1 1! نستنتج العلاقة التالية بين التباديل والتوافيق وهي : $ل 2 2! ىلر ككن= ر! $ل 3 3!

التوافيق أمثلة ىلر ككن= ر!

يستخدم في حالة ر أكبر من نصف ك التوافيق ك! نتيجة ككن = ( ك – ر )! ك! مثال نتيجة قانون التبسيط يستخدم في حالة ر أكبر من نصف ك ككن = في مثال

نتيجة مثال التوافيق لأ ى3 ٍ = لأ ى صصٍ فإن : ص = 3 إذا كان : لأ ى سسٍ = لأ ى صصٍ فإن : س = ص أو ك = س + ص نتيجة لأ ى3 ٍ = لأ ى صصٍ فإن : ص = 3 لأ ى6 ٍ = لأ ى8 ٍ فإن : ك = 6 + 8 = 14 مثال

نتيجة مثال التوافيق ككن = ر في = = ك – ر + 1 قانون النسبة 1 9 – 8 + 1 4 8

تمارين إضافية بكم طريقة يمكن اختيار 4 ألوان من مجموعة مكونة من 6 ألوان إذا كان لأ ى7 ٍ : لأ ى6 ٍ = 9 : 7 فأوجد قيمة ( ك – 9 )! من قانون النسبة نجد أن :  ك – 6 = 9 ومنه فإن : ك = 15 ( ك – 9 )! = (15 – 9 )! = 6! = 720

تمارين إضافية لأ ى3 1 ٍ = ىلر ÷ ر! = %!ل 3 1 ÷ 13! إذا كان : لأ ى4 ٍ = لأ ى1 1 ٍ فأوجد لأ ى3 1 ٍ من قانون التبسيط نجد أن ك = 15 لأن 15 – 4 = 11 لأ ى3 1 ٍ = ىلر ÷ ر! = %!ل 3 1 ÷ 13! = ( 15 × 14 ) ÷ 2 = 105

تمارين إضافية إذا كان ىلر : ككن = 720 فما قيمة ككن ىلر ىلر ىلر ر ! إذا كان ىلر : ككن = 720 فما قيمة ىلر = 720 ككن ىلر ر ! = 720  ر = 6 = 720 ىلر ر !

تمارين إضافية إذا كان : > فأثبت أن : ك > 15 من تعريف التوافيق : إذا كان : > فأثبت أن : ك > 15 من تعريف التوافيق : ك ( ك – 1 ) ..... ( ك – 6 ) ك ( ك – 1) ..... (ك – 7 ) > 7! 8! بالاختصار ( ك – 7 ) > 1 8 ك – 7 > 8 ك > 15 وهو المطلوب

تمارين إضافية إذا كان لأ ى4 ٍ : لأ ى3 ٍ = 7 : 4 فأوجد قيمة ك .   إذا كان لأ ى4 ٍ : لأ ى3 ٍ = 7 : 4 فأوجد قيمة ك . لأ ى4 ٍ لأ ى3 ٍ ىل 4 × 3! ىل 3 × 4! ك ( ك – 1 ) ( ك – 2 ) ( ك – 3 ) × 3 ! ك ( ك – 1 ) ( ك – 2 ) × 4 !   ك – 3 ك = 10 ك – 3 = 7 4

تمارين غير محلولة مع الارشاد إذا كان فأوجد قيمة ر 1 إذا كان لأ ى7 ٍٍ = لأ ى3 ٍ , ر! =120 فأوجد ككن ذ إذا كان لأ ى3 ٍ : لأ ى2 ٍ = 4 : 1 فأوجد قيمة ك 3 احسب : 4 إذا كان س+صل 3 =720 , لأ ص2 ٍ =3 فأوجد لأ سس-س صصٍ بحيث س , ص عددان موجبان , س > ص 5

ارشادات تمارين التوافيق استخدم قانون التبسيط 1 ك ( من قانون التبسيط ), ر (سبق حل مثال مشابه ) الناتج 45 ذ 14 3 تطبيق مباشر 4 الناتج = 35 5