ריבועים פחותים – מקרה כללי קירוב ע"י פולינום הוא לא קירוב כללי אבל הוא מכין את הקרקע לפיתוח שיטה של ריבועים פחותים הכללית ביותר. נניח כי היא סדרת הנקודות שבהן נמדדו הערכים רוצים לקרב את הנתונים ע"י הפונקציה הבאה: כאשר היא סדרת הפונקציות שבחרנו לצורך הקירוב. בדוגמה של קירוב ע"י פולינום הפונקציות היו אבל אפשר לבחור גם פונקציות אחרות – למשל וכו' כמו בקירובים הקודמים נגדיר סכום שאריות בריבוע: נמצא את המקדמים שמבטיחים את הקירוב הטוב ביותר ע"י פיתרון של משוואות נורמאליות:

ריבועים פחותים – מקרה כללי (המשך) בצורה המפורשת המערכת נראית כך: את המטריצה של המערכת (A) קל יותר לחשב ע"י הנוסחה כאשר מטריצת העזר Q היא: והמערכת נראית כך:

ריבועים פחותים – מקרה כללי (המשך) דוגמה: דרוש לקרב את הנתונים שבטבלה ע"י הפונקציה פיתרון. נבנה מטריצת Q: נחשב את והאגף הימיני: נקבל מערכת המשוואות: מצא את הפיתרון:

פונקציות אורתוגונאליות ראינו שהדרך הקלה לפיתוח משוואות נורמאליות היא לחשב קודם את המטריצה כאשר שורות של המטריצה Q הם וקטורים אורתוגונאליים אזי המטריצה הופכת למטריצה אלכסונית. במקרה הזה הפיתרון של משוואות נורמאליות מתקבל באופן מיידי! דוגמה: נניח שמדדו את ערכי פונקציה בקטע [L ,0] ובמרחקים שווים. אזי הפונקציות ו/או הן אורתוגונאליות בסט של נקודות המדידה. זה הופך קירוב פונקציות ע"י טור פורייה ליעיל מאוד.

SOLUTION OF NONLINEAR EQUATIONS

The Growth of a Large Population The initial population: N(0)=3,000,000 After one year, with n=30,000: N(1)=3,090,000 What will be the population after 10 years?

פיתרון של משוואות לא ליניאריות f(x)=0 נסמן ב αאת הפיתרון ונקרא לו "שורש המשוואה". ריבוי שורש: אם וגם אזי אומרים שיש "ריבוי שורש" נניח כי αהוא שורש ממשי ולא מרובה. אזי הפונקציה (x)f חייבת לחתוך את ציר ה-x בקרבתו ולשנות סימן:

שיטת החצייה (Bisection) אם עבור a0’ b0 מתקיים קחו את הנקודה באמצע כן האם לא חזור לחשב m אלגוריתם: מתאי לעצור? כאשר 1 משני התנאים יתקיימו: או

שיטת החצייה (המשך) דוגמה. מצא/י שורש אחד של המשוואה: נבדוק סימנים ב 2 נקודות: נבצע את החצייה: איטראציה 2: איטראציה 3: וכן הלאה... m מתכנס לפיתרון

הערכת השגיאה וסדר התכנסות של השיטה שיטת החצייה בנויה כך שהשורש תמיד נשאר בתוך האינטרוול שהולך ומתקצר. לכן השיטה תמיד מתכנסת! אבל ההתכנסות איטית. נעריך את השגיאה: כל חצית הקטע מקטינה את השגיאה פי 2: ז"א באופן כללי השיטה שהשגיאה שלה יורדת לפי הנוסחה היא מתכנסת "בסדר ראשון". שיטות מסדר ראשון הן איטיות. צריך לפתח שיטות יותר מהירות.

שיטת” Regula Falsi “ אחד החסרונות של שיטת החצייה היא חציה של הקטע לשני חלקים שווים. בדקנו רק את הסימנים בלי להתייחס לערכי הפונקציה בקצוות הקטע. בגרף משמאל נתונה הפונקציה. במקרה הזה עדיף להתחשב בערכים כיוון ש α קרוב יותר ל-a 1m a α b נחבר בקו ישר. משוואת הקו: נקודת המפגש של הישר וציר ה-x נסמן ב 1 m אם אזי 1 mתופס את מקומו של a, אחרת – של b. וכן הלאה, ממשיכים באיטראציות עד להתכנסות.

שיטת ” Regula Falsi “ (אלגוריתם) אלגוריתם: (לא תוכנית מחשב!) האלגוריתם שונה משיטת החצייה רק בחישוב של m. כל השאר כמו בחצייה.

שיטת ” Regula Falsi “ (דוגמה) שימו לב: מהו סדר השיטה? עדיין סדר ראשון. אבל השיטה מתכנסת מהר יותר משיטת החצייה. איך רואים זאת? חסרונות של השיטה במקרה הנ"ל שיטת RF עדיפה משיטת החצייה אבל לא תמיד. לפעמים שיטת RF לא מתכנסת או מתכנסת בקצב איטי מאד!

שיטת "נקודת שבת" (Point Fixed) דוגמה: צריך למצוא מקדם חיכוך x בצינור עבור Re =105 . x מקיים את המשוואה: או בצורה אחרת: נפתור את המשוואה ע"י איטראציות. ננחש ערך התחלתי כלשהו 0x ונציב לאגף הימיני של המשוואה. נקבל קירוב ראשון 1x. נציב ערך זה לאגף הימיני ונקבל קירוב שני 2x וכן הלאה... תוצאות החישוב עבור ניחוש התחלתי 1=0x מוצגות בטבלה: כבר באיטראציה חמישית הגענו לשגיאה בסדר גודל של 10-6 ! שיטת הפיתרון ניתן לייצג כ: כלומר, הקירוב הבא הוא פונקציה של הקירוב הקודם. אם השיטה מתכנסת לשורש המשוואה α אזי מתקיים הקשר הזה מסביר את שם השיטה: הפונקציה F משאירה את השורש α במקומו.

Fixed-Point Iteration: two FP example

Fixed-Point Iteration A fixed point for a given function F is a number p for which F(p)=p For a root-finding problem f(p)=0, we define a function F: F(x)=x-f(x) or as F(x)=x+Cf(x) (C – any constant) If F(x) has a fixed point at p: F(p)=p, then f(p)=0 לפעמים נשתמש בסימון g(x) במקום F(x)

תנאי מספיק להתכנסות של FP Iteration

תנאי התכנסות ודיוק של שיטת "נקודת שבת" משפט: שיטת "נקודת שבת" מתכנסת רק אם הוכחה. נגדיר את השגיאה באיטראציה מס' i : נשתמש במשוואות השיטה כדי להעריך את : נחשב את האגף הימיני ע"י פיתוח של (xi)F בטור טיילור סביב הנקודה α. נקבל: שמביא להערכה המבוקשת: המסקנות מהערכה הזאת הן: השיטה היא מסדר ראשון ( ) עם המקדם השיטה מתכנסת רק אם

שיטת "נקודת שבת" - דוגמה נפתור שוב את המשוואה אבל עכשיו בשיטת Fix Point בואריאציות שונות. (א) נתחיל מ-1=0x ונבצע איטראציות לפי השיטה מתבדרת! נקבל: הסיבה להתבדרות היא ש (ב) השיטה מתכנסת! במקרה הזה נתחיל מ-1=0x ונבצע איטראציות לפי שיטה זו: השגיאה כצפוי יורדת פי 5 בכל איטראציה

תנאי מספיק להתכנסות של FP Iteration תנאי מספיק ולא הכרחי !!!

תנאי מספיק להתכנסות של FP Iteration תנאי מספיק ולא הכרחי !

Fixed-Point Iteration Example

Fixed-Point Iteration Algorithm

Fixed-Point Iteration Algorithm

Bisection Method (שיטת החצייה) - Example 1 1.0 2.0 1.5 2.375 2 1.0 1.5 1.25 -1.79687 3 1.25 1.5 1.375 0.16211 4 1.25 1.375 1.3125 -0.84839 5 1.3125 1.375 1.34375 -0.35098 10 1.36328125 1.365234375 1.364257813 -0.01605 13 1.36990235 1.365234375 1.365112305 -0.00194 ……………………………………………………………………..

Fixed-Point Iteration - Exam 0 1.5 1.5 1.5 1.5 …………………………………………………………………….. איזו שיטה מתכנסת? איזו מתכנסת הכי מהר ל-x=1.365230013