Lygčių sistemos modeliai Literatūra: Asteriou D. Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. Palgrave Macmilan, 2008 (12. Simultaneous Equation Models) psl. 230-237 D.Gujaraty Part 4 Chapter 18,19,20 (Simultaneous Equation Models) G.S Madala, Kajal Lahiri. Introduction to Econometrics Fourth edition, Wiley, 2009,Chapter 9 “Simultaneous Equation Models”. 355-400psl. VU EF V.Karpuškienė

Lygčių sistemos modeliai Bendra modelio išraiška, modelių pavyzdžiai, sąvokos Parametrų vertinimo problemos Lygčių sistemos modelių parametrų vertinimo būdai VU EF V.Karpuškienė

1.Bendra modelio išraiška, modelių pavyzdžiai, sąvokos Bendra modelio forma Modelių pavyzdžiai Sąvokos VU EF V.Karpuškienė

Bendra lygčių sistemos modelio forma VU EF V.Karpuškienė

Modelio kintamieji Y1, Y2, ...Ym –endogeniniai kintamieji X1, X2, ...Xk–egzogeniniai kintamieji β1, β2, ... βm -endogeninių kintamųjų koeficientai γ1 γ2 ...γk – egzogeninių kintamųjų koeficientai u1 u2 ...um – modelio lygčių paklaidos i – stebėjimų skaičius (i=1n) VU EF V.Karpuškienė

Sąvokos Egzogeniniai kintamieji Endogeniniai kintamieji Redukuota lygtis Redukuoti koeficientai VU EF V.Karpuškienė

Modelių pavyzdžiai Modelių pavyzdžiai: Pasiūlos paklausos modelis Keinso modelis Darbo užmokesčio - kainų modelis IS- modelis VU EF V.Karpuškienė

Lygčių sistemos parametrų vertinimo problemos Netenkinama klasikinio regresinio modelio paklaidų ir nepriklausomų kintamųjų koreliuotumo prielaida t.y., Cov(Xj, u)≠0 MKM metodu įvertinti parametrai bus paslinkti ir nesuderinti VU EF V.Karpuškienė

PVZ: Keinso modelis Vartojimo funkcija: Pajamų tapatybė: Kur C = vartojimo išlaidos Y = pajamos I = visuminės investicijos S = santaupos t = laikas u = atsitiktinių veiksnių įtaka ir = parametrai VU EF V.Karpuškienė

PVZ: Keinso modelis Parametras - tai ribinis polinkis vartoti (MPC) (reikšmė yra tarp 0 ir 1). Parametras - tai nepriklausomas nuo pajamų (autonominis) vartojimas VU EF V.Karpuškienė

PVZ: Keinso modelis Redukuota lygtis C, Y– endogeniniai kintamieji I – egzogeniniai kintamieji VU EF V.Karpuškienė

PVZ. Keinso modelis VU EF V.Karpuškienė

PVZ: Keinso modelis Tačiau , kur Taigi ir Tačiau , kur Taigi ir . Netenkinama klasikinės regresijos prielaida, teigianti, kad nepriklausomi kintamieji nėra atsitiktiniai dydžiai. Tačiau , kur Taigi ir . VU EF V.Karpuškienė

2. Lygčių sistemos modelių parametrų įvertinimo problemos Modelio lygtys netenkina klasikinių regresijos prielaidų Modelio koeficientai gali būti neįvertinami VU EF V.Karpuškienė

Lygčių sistemos parametrų vertinimo problemos Netenkinama klasikinio regresinio modelio paklaidų ir nepriklausomų kintamųjų koreliuotumo prielaida t.y., Cov(Xj, u)≠0 MKM metodu įvertinti parametrai bus paslinkti ir nesuderinti VU EF V.Karpuškienė

Lygčių sistemos parametrų vertinimo problemos Koeficientų vertinimo procedūra: MKM apskaičiuojami redukuotos regresijos lygties parametrai Taikant formules, iš redukuotų koeficientų gaunami pradinės lygčių sistemos koeficientai VU EF V.Karpuškienė

Lygčių sistemos modelių parametrų įvertinimo problemos Galimi perskaičiavimo iš redukuotų koeficientų į pirminius atvejai: Neįvertinamumas (underidentification) Neįmanoma perskaičiuoti pirminių koeficientų (nėra sprendinių) Tikslus įvertinamumas (identification) Gaunami vieninteliai pirminių koeficientai (vienintelis sprendinys) Pervertinamumas – (overidentification) Gauname daug pirminių koeficientų variantų (daug sprendinių) VU EF V.Karpuškienė

Lygčių sistemos modelio koeficientų tikslaus įvertinamumo sąlygos Eilės sąlygos – būtinos bet nepakankamos Rango sąlygos – būtinos ir pakankamos VU EF V.Karpuškienė

Eilės sąlygos Žymėjimai: Eilės sąlygos G – endogeninių kintamųjų skaičius lygčių sistemoje M – neįtrauktų į nagrinėjamą lygtį kintamųjų (egzogeninių ir endogeninių) skaičius Eilės sąlygos Jeigu M<G-1 → lygties koeficientai neįvertinami Jeigu M=G-1 → lygties koeficientai tiksliai įvertinami Jeigu M>G-1 → lygties koeficientai pervertinami Eilės sąlygos modelio įvertinimui būtinos, bet nepakankamos VU EF V.Karpuškienė

Rango sąlygos Procedūra: Sudaryti lentelę (Koef, 0, 1), kurioje stulpeliai yra kintamieji, eilutės - sistemos lygtys Nagrinėjame sistemos kiekvienos lygties įvertinamumą VU EF V.Karpuškienė

Rango sąlygos VU EF V.Karpuškienė

Rango sąlygos 1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3 -β10 -β12 -β13 -γ11 -β20 -β23 -γ11 -β20 -β23 -γ21 -γ22 -β30 - β31 -γ31 -γ32 -β40 -β41 -β42 -γ43 VU EF V.Karpuškienė

Rango sąlygos Procedūra: Nagrinėjame sistemos kiekvienos lygties įvertinamumą pagal eilės sąlygas nustatome neįvertinamas lygtis. Jų rango sąlygų vėliau nenagrinėjame sudarome naują lentelę rango sąlygoms nustatyti Išbraukiame iš lentelės nagrinėjamą lygtį Išbraukiame tuos pradinės lentelės stulpelius, kurių nagrinėjamos lygties kintamieji lygūs 0 Išvados: jeigu antroje lentelėje iš išbrauktų stulpelių elementų (pažymėti mėlynai) galime sudaryti bent vieną (G-1) matavimo eilės kvadratinę matricą, kurios determinantas būtų nelygus 0, tuomet lygtis yra įvertinama VU EF V.Karpuškienė

Rango sąlygos (1lygtis) Koeficientai prie kintamųjų 1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3 -β20 -β23 -γ21 -γ22 -β30 - β31 -γ31 -γ33 -β40 -β41 -β12 -γ43 Pirma lygtis neįvertinama pagal rango sąlygas VU EF V.Karpuškienė

Rango sąlygos (2 lygtis) Koeficientai prie kintamųjų 1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3 -β10 -β12 -β13 -γ11 -β30 -β31 -γ31 -γ32 -β40 -β41 -γ43 Antra lygtis neįvertinama pagal rango sąlygas VU EF V.Karpuškienė

Rango sąlygos (3 lygtis) Koeficientai prie kintamųjų 1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3 -β10 -β12 -β13 -γ11 -β20 -β23 -γ21 -γ22 -β40 -β41 -β42 -γ43 Trečia lygtis neįvertinama pagal rango sąlygas VU EF V.Karpuškienė

Rango sąlygos (4 lygtis) 1 Y1 Y2 Y3 Y4 X1 X2 X3 -β10 -β12 -β13 -γ11 -β20 -β23 -γ21 -γ22 -β30 - β31 -γ31 -γ32 Ketvirta lygtis įvertinama pagal rango sąlygas VU EF V.Karpuškienė

3. Lygčių sistemos parametrų vertinimo metodai Neįvertinamas modelis –lygčių sistemos parametrų apskaičiuoti neįmanoma Tiksliai įvertinami modelio parametrai – NMKM (Netiesioginis mažiausių kvadratų metodas ) (ILS- indirect least square) Pervertinamas modelis – 2ŽMKM (Dviejų žingsnių mažiausių kvadratų metodas) (TSLS –two stages least square) VU EF V.Karpuškienė

NMKM=ILS metodas NMKM žingsniai: Surandame lygčių sistemos redukuotą lygtį Apskaičiuojame redukuotos lygties parametrus taikydami MKM Apskaičiuojame pradinius koeficientus naudodamiesi redukuotų koeficientų formulėmis VU EF V.Karpuškienė

2ŽMKM=TSLS metodas Idėja: Endogeninius kintamuosius Yj, kurie koreliuoja su lygčių sistemos paklaidomis ui, pakeičiame jų pakaitalais , kurie nekoreliuoja su ui pakaitalai gaunami apskaičiavus Yj priklausomybę nuo modelio egzogeninių kintamųjų, vadinamų instrumentais VU EF V.Karpuškienė

2ŽMKM=TSLS metodas Žingsniai: Apskaičiuojame paprastu MKM modelio endogeninių kintamųjų, kurie kartu yra įtakojantys veiksniai, t.y., sutinkami dešinėje modelio lygčių pusėje, priklausomybę nuo egzogeninių ir vėluojančių egzogeninių kintamųjų, jeigu pastarieji yra įtraukti į modelį. Tokios apskaičiuotos endogeninių kintamųjų reikšmės, priklausančios tik nuo egzogeninių kintamųjų, yra vadinamos instrumentais Suskaičiuojame pradinius sistemos lygčių koeficientus paprastu MKM pakeitę endogeninių kintamųjų faktines reikšmes apskaičiuotomis 1 žingsnyje instrumentų reikšmėmis VU EF V.Karpuškienė

PVZ: Keinso modelis 2ŽMK metodas C, Y– endogeninis kintamasis I – egzogeniniai kintamieji Pirmas žingsnis: Antras žingsnis: VU EF V.Karpuškienė

2ŽMKM=TSLS metodas Praktinės įžvalgos: MKM ir 2ŽMK metodu apskaičiuotos lygties paklaidos skiriasi, todėl ir R2 yra skirtingi Kuo stipresnė instrumentinių kintamųjų priklausomybė nuo egzogeninių kintamųjų, tuo MKM ir 2ŽKM regresijų paklaidos ir R2 yra panašesni R2 paprastai yra didesnis tuomet, kai turime daugiau egzogeninių kintamųjų VU EF V.Karpuškienė

Du svarbūs klausimai Kurie kintamieji yra egzogeniniai, o kurie endogeniniai? Kada lygčių sistemos modelio parametrus skaičiuoti MKM, o kada 2ŽMKM (2TLS)? VU EF V.Karpuškienė

1 klausimo atsakymas Nusprendžia analitikas Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas VU EF V.Karpuškienė

Pirmoji sistemos lygtis yra: Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas (Hausman exogeneity specification test) Tarkim: turime trijų lygčių sistemą, kurios endogeniniai kintamieji yra Y1 ,Y2;,Y3; o X1, X2, X3 egzogeniniai kintamieji Pirmoji sistemos lygtis yra: VU EF V.Karpuškienė

Suskaičiuojame tris papildomas lygtis: Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas (Hausman exogeneity specification test) Suskaičiuojame tris papildomas lygtis: Dvi lygtis instrumentiniams kintamiesiems įvertinti (tik nuo egzogeninių) Papildoma Hausman testo lygtis su instrumentais VU EF V.Karpuškienė

H0 (Y2;,Y3 egzogeniniai kintamieji) Hausman kintamųjų egzogeniškumo nustatymo testas (Hausman exogeneity specification test) H0 (Y2;,Y3 egzogeniniai kintamieji) H1 bent vienas (Y2;,Y3 kintamieji/bent vienas endogeniniai ) Testas su ∝ reikšmingumo lymeniu Jeigu Fapskaičiuota>F (m;n-k,∝) atmetam H0 Išvada: Y2;,Y3 yra endogeniniai Fapskaičiuota<F (m;n-k,∝) atmesti H0 negalime Išvada: Y2;,Y3 egzogeniniai VU EF V.Karpuškienė

Priminimas F testo statistika m –tikrinamų (ribojančių) kintamųjų skaičius n – stebėjimų skaičius k –vertinamų koeficientų prie visų kintaųjų skaičius nagrinėjamoje lygtyje VU EF V.Karpuškienė

Antras svarbus klausimas 2. Kada lygčių sistemos modelio parametrus skaičiuoti MKM, o kada 2ŽMKM (2TLS) Atsakymas: 2ŽMKM (2TLS)- Kai lygties dešinėje pusėje tarp įtakojančių kintamųjų turime endogeninius kintamuosius VU EF V.Karpuškienė