S. Bagherian H. Modaem Zade A. Armin A. Mehalian H. Nosoohian Physics Department of Isfahan University Jan 2007 Place photo here Statistical Mechanics of Interacting Systems: The Method of Quantized Fields

مکانيک آماري سامانه هاي بر هم کنشي: روش ميدان هاي کوانتيده سعيد باقريان حامد مدايم زاده اردلان آرمين علي مهر عليان هادي نصوحيان گروه فيزيک دانشگاه اصفهان - دي ماه 1385 Place photo here مکانيک آماري سامانه هاي بر هم کنشي: روش ميدان هاي کوانتيده

مقدمه در اين بحث روشي متفاوت براي بررسي رفتار سيستم هاي تشکيل يافته از ذرات در حال بر همکنش ارائه مي دهيم. اين روش مبتني بر تعريف و پذيرفتن يک ميدان کوانتيده است که توسط عملگر هاي ميدان و هميوغ مختلط آن که مجموعه اي از قواعد جابجايي را براورده مي سازند، تعريف مي گردد. در ادامه عملگر تعداد و عملگر هاميلتوني را توسط اين دو عملگر ميدان باز نويسي مي کنيم. بدين ترتيب مي توانيم يک نمايش مناسب براي سامانه اي با تعداد محدودي ذره برهمکنشي بنويسيم که به "کوانتش دوم" موسوم است. براي راحتي محاسبات، عملگر هاي ميدان و اغلب به صورت بر هم نهي يک مجموعه از توابع موج تک ذره با ضرايب ثابت و بيان مي شوند. که بعدا به عنوان عملگر هاي آفرينش و نابودي به دست مي آيند که مجددا يک مجموعه ازقواعد جابجايي خوش رفتار را بر آورده مي سازند. در نهايت عملگر تعداد و هاميلتوني بر حسب عملگر هاي و نوشته مي شود. Insert a map of your country.

اين خاصيت براي بوزون ها وجود ندارد روند کوانتش دوم - مفهوم کوانتش دوم در نظريه ميدان قواعد جابجايي براي بوزون ها قواعد جابجايي براي فرميون ها Insert a picture of one of the geographic features of your country. اين خاصيت براي بوزون ها وجود ندارد

عملگر تعداد و هاميلتوني معرفي مي کنيم : پتانسيل برهمکنشي دو- جسمي سامانه را مشخص مي نمايد عملگر چگالي تعداد است Insert a picture illustrating a season in your country. مي توانند بطور همزمان قطري باشند ها پايه هاي راست هنجار در فضاي هيلبرت هستند

مستقل از بوزون يا فرميون بودن حالت خلاء ميدان مستقل از بوزون يا فرميون بودن بنابر اين خلق و نابودي ذره نتيجه مي شود Insert a picture of an animal and or plant found in your country.

سامانه اي که ذراتش در نقاط قرار گرفته اند تعريف تابع موج سامانه اي که ذراتش در نقاط قرار گرفته اند تعريف تابع موج مي توان نشان داد ها در معادله زير صدق ميکنند Add key points in the history of your country to the timeline. مانستگي ميان فرمول بندي شرودينگر و ميدان کوانتيده: چگالي احتمال حضور ذرات سامانه در مختصات است

عملگر تعداد ذره وابسته به حالتي مشخص اکنون مجموعه اي از توابع راست هنجار کامل موج تک ذره را معرفي مي نماييم انديس بيانگر مشخصه حالت هاي گوناگون ذره است Insert a picture illustrating a custom or tradition here. براي بوزون ها براي فرميون ها از شرط بهنجار بودن تابع موج داريم:

خلق ونابودي ذره اي در حالتي مشخص است. اين عملگر را با عملگر تعداد ذره وابسته به حالت در حقيقت عملگر نشان مي دهيم. باشد فرض کنيد يک عضو بخصوص از توابع پايه، است در حقيقت تعداد ذرات در حالت Insert a picture of the head leader of your country. خلق ونابودي ذره اي در حالت

از بکار بردن مکرر عملگر هاي آفرينش روي حالت خلاء خواهيم داشت: از جانشيني بسط تابع موج در هاميلتوني تعريف شده

اکنون اگر توابع موج تک ذره به صورت زير انتخاب شده باشند که تکانه ذره را مشخص مي کند. سپس عناصر ماتريسي بصورت زير است با توجه به اينکه تکانه کل در هر برخورد پايسته است

که P تکانه انتقال يافته در حين برخورد است. نهايتا بدست خواهيم آورد عنصر ماتريسي است که در آن

صورت بندي کوانتش دوم را در دماهاي پايين در پراکندگي انرژی هاي کم (برخورد هاي آهسته)

رفتار گاز ناکامل بوز دردماهاي کم هاميلتوني کوانتومي سامانه بدون اسپين بوزوني بدست آمد که عنصر ماتريسي- تابعي از اندازه حرکت P انتقال يافته است. در دماهاي کم گشتاور ذرات کوچک مي باشد بنابر اين ما مي توانيم براي عناصر ماتريسيu(P) مقدار P=0 را وارد نماييم با اين وصف ويژه مقدار انرژي سامانه بدست مي آيد

حالت زمينه سامانه براي نمونه مي توان سرعت صوت را در هليم مايع با a=2.2 A و n=1/v و v=45 A3/particle و m=6.65*10-24gr محاسبه کرد که 125 متر بر ثانيه بدست مي آيد که نسبت به مقدار واقعي آن که 240 متر بر ثانيه است مايوس کننده نيست ولي دقت کافي ندارد.

روش ديگربراي محاسبه انرژي حالت زمينه فشار پتانسيل شيميايي

حالت هاي پايين براي گاز ناکامل بوز اميد داريم تا با بررسي حالت هاي پاييني در دماي کم بتوانيم با بررسي گذار هاي فونوني يک رابطه ميان انرژي و تکانه برقرار سازيم. بعدا در جمع بندي جملات با تکانه انتقالي غير صفر را نگه مي داريم و مي نويسيم

بنابر اين بصورت c-number يا غير عملگري رفتار مي نمايند که هر کدام برابر هستند و دامنه پراکندگي a است. در مورد حالت هاي پاييني دامنه با جانشين مي شود و دامنه پراکندگي a است گام بعدي برقراري ارتباط ميان

را جمله زير ايفا مي نمايد احتمال يک گذار کوانتومي در يک سامانه در حضور يک پتانسيل در تقريب مرتبه اول با عنصر ماتريسي مشخص مي گردد. در تقريب مرتبه دوم داريم: در اين مورد ما با مورد برخورد دو جسم با جرم کاهش يافته m/2 روبرو هستيم و نقش را جمله زير ايفا مي نمايد را با عبارت زير جايگزين کنيم براي ارتقا از تقريب مرتبه اول به مرتبه دوم بايستي

با برابر قرار دادن با رابطه قبل با عبارت استاندارد

محاسبه انرژي (Bogoliubov 1947) بهتر است که هاميلتوني را قطري نماييم

در خصوص قواعد جابجايي به نظر مي رسد که بتوان نتيجه گرفت که عملگر هاي عملگر هاي خلق و نابودي براي "شبه ذرات" هستند که گذار هاي ابتدايي سامانه را با رابطه تکانه-انرژي نمايش مي دهند. واضح است که اين شبه ذرات از آمار بوز- اينشتين پيروي مي کند. عملگر تعداد براي شبه ذرات (يا بر انگيختگي هاي ابتدايي) تکانه P است کميت

انرژي حالت زمينه سامانه با تعويض جمع بندي با انتگرال و تغيير متغير زير محاسبه ميشود نتايج مذکور ابتدا توسط Lee and Yang 1957 که روش برخورد دوتاي را به کار بردند استخراج شده بود. جزئيات اين محاسبات قدري دير تر ارائه شد.(1960)

فشار حالت پايه اکنون بدست مي آيد. با = که از آنجا براي سرعت صوت بدست مي آوريم حالت پايه سامانه با عدم وجود هر گونه برانگيختگي مشخص مي گردد. در نتيجه مقدار ويژه عملگر تعداد براي شبه ذرات با تکانه غير صفر در حالت زمينه بايستي صفر باشد. ولي براي ذرات واقعي در صفر مطلق انرژي بايستي اندکي با صفر فاصله داشته باشد.

تعداد کل ذرات برانگيخته در حالت زمينه برابر است با نتايج فوق به روش شبه پتانسيل براي اولين بار توسط Lee, Houng ang Yang در 1957 بدست آمده است.

طيف انرژي مايع بوز در اين قسمت ما در نظر داريم برخي از خصوصيات اساسي طيف انرژي مايع بوز را بررسي کنيم و رابطه اين بررسي را با مسئله هليم مايع مقايسه نماييم. در اين زمينه ديديم که حالت هاي پايين براي سيستم گازي با چگالي کم متشکل از بوزون هاي با بر همکنش ضعيف توسط وجود بر همکنش ابتدايي (يا شبه ذرات) مشخص مي شود که خودشان بوزون هستند. که طيف انرژي آن بصورت زير است

طيف به حالت کلاسيکي نزديک مي شود مهم است که ذکر نماييم که اين رابطه انرژي- تکانه دقيقا يکنواخت است و تنها فونون ها را در نظر مي گيرد. اين الگو براي يک گاز بوز رقيق قابل استفاده است و براي يک مايع مثل هيلوم کارايي ندارد. مسئله مايع بوز توسط فاينمن در 1957 حل شد. نکاتِي در نتايج فاينمن قابل توجه است: الف) علي رغم وجود نيروهاي بين اتمي، مايع بوز يک گذار فازي شبيه چگالش در فضاي تکانه انجام مي دهد. به بيان ديگر حدس اصلي لاندن(1938) در مورد مايع هليوم درست است.

ب) در دماي به اندازه کافي پايين تنها حالات برانگيخته ممکن در مايع آنهايي هستند که به امواج فشردگي مرتبط هستند. مانند فونون ها. در مورد جنبش هاي بلند برد که يک مقداري از مايع را بدون تغيير نگه مي دارد و جز تکان ساده اي به مايع وارد نمي کند حالت هاي بر انگيخته ايجاد نمي شود زيرا اين حرکت ها تنها در تقدم و تاخير چند اتم با حالت پايه فرق دارند در دماي کم رخ نمي دهند. پ) تابع موج مايع در حضور يک بر انگيختگي، بطور تقريبي به شکل زير است: نشان دهنده ي تابع موج در حالت پايه است و مجموع نشان روي تمام r ها انجام مي شود

مشخص کردن تابع f بوسيله اصل وردش صورت مي گيرد که نياز به انرژي حالت با انرژي کمينه شده زير مفهوم تابع g(r1-r2) احتمال يافت شدن يک جفت در r1 , r2 است.

با اين وصف تابع موج مناسب به شکل زير است: از نظر فيزيک مي توان نشان داد که تابع ساختار s(k) در k هاي کوچک به صورت خطي و در نزديکي مي شود به مقدار بيشينه مي رسد. و سپس کاهش پيدا مي کند

طيف انرژي مربوط به بر انگيختگي اوليه هليم مايع طيف انرژي مربوط به بر انگيختگي اوليه هليم مايع. نموار بالايي ساختار مايع را نشان مي دهد. منحني 1 در نمودار پاييني نشان دهنده رابطه انرژي- تکانه بر اساس فرمول فاينمن مي باشد. و منحني شماره 2 بر اساس فرمول فاينمن و کرمن مي باشد و منحني آخر آزمايشگاهي است.

حالت هاي با چرخه کوانتيده اکنون به امتحان "حرکت سازمان يافته" در حالت پايه يک مايع بوز مي پردازيم. در اين بخش مهمترين فرض مجسم کردن نظريه چرخش فاينمن مي باشد که يک پايه ي فيزيکي براي وجود "حرکت گردابي کوانتومي" در مايع را ارائه مي کند. در مورد مايع هليوم مايع II ، اين فرضيه مسائل بسيار ضروري را حل کرده که براي مدت طولاني در مورد فوق تلاش ها بي نتيجه مانده بوده است

شکل عوض شده تابع موج براي اتمها ي شاره براي يک مجموعه جابجايي نتيجه فوق براي محاسبه تغيير فاز ناشي از جابجايي اتمها در طول يک حلقه استفاده ميشود تابع موج در يک شاره در نتيجه حرکت اتمها تغيير نميکند. اگر اتمها روي يک حلقه جابجا شوند تغيير فاز مضرب صحيحي از است

از کوچکي جابجايي ها جمع زني را به انتگرال گيري روي حلقه تبديل مي کنيم بياني از نظريه چرخش فاينمن مي باشد. که شباحت زيادي به شرط کوانتش بور دارد

که S مساحت مدار انتگرال گيري است انتظار ميرود انتگرال سمت چپ بطور پيوسته کاهش پيدا کند تا به صفر برسد ولي سمت راست به وضوح گسسته است. پس ترجيح مي دهيم عدد کوانتومي n صفر باشد پس بنابر اين انتگرال بصورت يکتا ناپديد مي شود که همان شرايطي است که توسط لانداو پذيرفته شده است که بنياد آگاهي ما از هيدروديناميک هليوم مايع مي باشد شرايط لانداو يک مورد خاص از نظريه چرخش فاينمن است. احتمال اينکه در يک حوزه ي "پيچيده-متصل" که در آن انتگرال به طور پيوسته به صفر نمي رود شرايط لانداو برقرار نباشد زياد است. به عنوان مثال جريان گردابي با تقارن استوانه اي در يک شاره:

انرژي واحد طول گرداب در مورد يک نمونه کوانتومي با تقارن استوانه اي با يک تابع موج خود سازگار

با اين نتيجه مي رسيم که چرخش k بصورت است و طبق نظريه چرخش s بايستي عدد صحيح باشد در فاصله دور از محور دوران چگالي ذرات يکنواخت و برابر با فرض اينکه چگالي بر حسب طول چنين باشد

با تشکر از توجه شما