البرمجة الخطية Linear programming

أولا- مفهوم اسلوب البرمجة الخطية هو احد الاساليب المستخدمة بل اكثرها فى بحوث العمليات وبالتالى فهى من ضمن ادوات بحوث العمليات لحل مشاكل التعظيم. هذا الاسلوب قائم على علاقات الامثالية بين متغيرات مواقف معينة (مشكلة ادارية) وهى تلك العلاقات التى تهدف الى تعظيم الربحMaximization of Profit الى اقصى حد ممكن أو تخفيض التكاليف Minimization of Costالى ادنى حد ممكن.للوصول الى الحل الامثل Optimal Solution There is no the BEST one

ثانيا- مكونات النموذج 1- تحديد دالة الهدف: Objective Function فقد تكون دالة الهدف هى تعظيم الربح الى اقصى حد ممكن مثلا عظم 10س + 6س 1 2 10: الربح الحدى للوحدة س1 س1: الكمية المطلوب انتاجها وبيعها من س1 6: الربح الحدى للوحدة س2 س2: الكمية المطلوب انتاجها وبيعها من س2

الربح الحدى هو الفرق بين سعر البيع والتكلفة المتغيرة افتراضات النموذج: أ- الاعتماد على الربح الحدى وليس على صافى الربح عند تكوين دالة الهدف وبالتالى فهناك شبه تجاهل للتكاليف الثابتة ب- يفترض النموذج ان الكمية المنتجة يمكن بيعها بالكامل. 2- تحديد القيود الفنية فى شكل متباينات: القيود عبارة عن موارد محدودة وبالتالى فليس هناك مجال كبير فى تعظيم الربح ما لم يتم تحديد القيود الفنية من المواد الخام وساعات العمل مثلا

المتاح س2 س1 بيان وحدة 25000 8 14 مادة خام ساعة عمل 20000 10 6 ساعات العمل

تلك هى القيود ويتم تحديدها فى شكل متباينات القيد الفنى الاول والخاص بالمادة الخام 14س1 + 8س2 ≤ 25000 القيد الفنى الثانى والخاص ساعات العمل المباشر 6س1 + 10س2 ≤ 20000 3- تحويل المتباينات الى معادلات: المتباينة الاولى : 14س1 + 8س2 ≤ 25000 يتم تحويلها كما يلى: 14س1 + 8س2+ ل1 = 25000 ل1: تعبر عن الطاقة العاطلة بمعنى انه لو تم استخدام س1 & س2 ما يكفى لإنتاج 5000 وحدة تكون ل1 = صفر

المتباينة الثانية : 6س1 + 10س2 ≤ 20000 يتم تحويلها كما يلى: 6س1 + 10س2+ ل2 = 20000 ل2: تعبر عن الطاقة العاطلة بمعنى انه لو تم استخدام س1& س2 ما يكفى لعدد ساعات عمل 20000 ساعة تكون ل2 = صفر 4- تعديل دالة الهدف: نظرا لان هناك قاعدة تنص على: دالة الهدف يجب ان تعكس جميع متغيرات المشكلة سواء كانت متغيرات اصلية أو وهمية أو صورية.

عظم : 10س1 + 6س2 10س1 + 6س2 + صفر ل1 + صفر ل2 ل1 & ل2 هو معامل يفترض انه قيمة موجبة كبيرة جدا للتسهيل ولعدم وجود قيمة حسابية لها ..... وكذلك لعدم وجود طاقة عاطلة 5- شرط عدم السالبية: لا يمكن تصور أن س1 & س2 & ل1& ل2 ......... ان تكون تلك المتغيرات أرقام سلبية بمعنى ان قيمتها أقل من الصفر. ولكن يجب ان تكون اكبر من أو تساوى الصفر وذلك لكميات الانتاج, أو ساعات العمل أو اى افتراض اخر من المتغيرات

ثالثا: خصائص المشكلات التى يمكن ان يستخدم فى حلها نموذج البرمجة الخطية 1- الادارة تبحث عن حل يحقق الامثالية وهو تعظيم أو تخفيض الى أقصى حد ممكن. 2- هناك امكانية تبويب عناصر التكاليف الى ثابتة ومتغيرة. 3- هناك امكانية لقياس الربح الحدى. 4- الكمية التى يمكن انتاجها يمكن بيعها. 5- هناك موارد فنية انتاجية متاحة ولكن بكميات قليلة. تلك الخصائص اذا توافرت فى اى مشكلة يمكن حلها فى صورة نموذج برمجة خطية.

رابعا : أهم تطبيقات اسلوب البرمجة الخطية 1- تحديد تشكيلة المنتجات المثلى. 2- مشكلات النقل. 3- تحديد المزج الامثل للعناصر أو المدخلات. 4- إعداد جداول تشغيل الآلات. 5- جدولة الانتاج وتخطيط المخزون السلعى. 6- مشكلات التخطيط المالى وأعداد الموازنات التخطيطية.

حالة عملية لصياغة نموذج برمجة خطية LEGO شركة متخصصة فى انتاج لعب الاطفال تقوم بإنتاج نوعين من اللعب المطاطية جنود وقطارات يباع الجندى 27 جنيه ويستخدم ما قيمته 10 جنيه مواد خام وكل لعبة من الجنود يتم تصنيعها تزيد من تكلفة الشركة المتغيرة من العمالة وكذلك التكلفة المتغيرة غير المباشرة بمقدار 14 جنيه. يباع القطار 21 جنيه ويستخدم ما قيمته 9 جنيه مواد خام وكل لعبة من القطارات يتم تصنيعها تزيد من تكلفة الشركة المتغيرة من العمالة وكذلك التكلفة المتغيرة غير المباشرة بمقدار 10 جنيه. تمر العملية الانتاجية من خلال مراحل تتمثل فى التقطيع والتشطيب

كل جندى يتطلب 1 ساعة من عمالة التقطيع و2 ساعة من عمالة التشطيب كل اسبوع. كل قطار يتطلب 1 ساعة من عمالة التقطيع و1 ساعة من عمالة التشطيب كل اسبوع. المتاح من ساعات عمالة التقطيع 80 ساعة المتاح من ساعات عمالة التشطيب 100 ساعة الطلب على القطارات لا نهائى ولكن المبيعات بالنسبة للجنود 40 جندى على الاكثر اسبوعيا. تريد الشركة تعظيم الربح الاسبوعى الى أقصى حد ممكن. كون نموذج برمجة خطية يحقق هدف الشركة.

الحل أولا : متغيرات المشكلة : س1 عدد الجنود التى يتم تصنيعها كل اسبوع س2 عدد القطارات التى يتم تصنيعها كل اسبوع التكلفة التى يتطلبها الجندى = 10 جنيه مادة خام ------ 14 جنيه ساعات عمالة التكلفة التى يتطلبها القطار = 9 جنيه مادة خام ------ 10 جنيه ساعات عمالة ثانيا : الربح الحدى للجندى = 27 – (10+ 14 ) = 3 للقطار = 21 – (9 +10) = 2 وبالتالى كل جندى يساهم فى الارباح الكلية 3 جنيه وبالتالى كل قطار يساهم فى الارباح الكلية 2 جنيه

التكلفة الاسبوعية للمواد الخام = 10س1 + 9س2 التكلفة المتغيرة الاسبوعية الاخرى = 14س1 + 10 س2 ثالثا : بناء النموذج : وبالتالى فالشركة تريد تعظيم الدالة : 3س1 + 2س2 ص = 3س1 + 2س2 معامل دالة الهدف Objective Function Coefficient للمتغير س1 = 3 للمتغير س2 = 2

رابعا : القيود القيد الاول : 100 ساعة من وقت التشطيب متاحة اسبوعيا. القيد الثانى 80 ساعة من وقت التقطيع متاحة اسبوعيا. وفق الطلب المحدد فان 40 جندى فقط يجب انتاجهم اسبوعيا 1- الساعات المتاحة للتشطيب = 100 ساعة كل جندى (س1) يتطلب 2 ساعة تشطيب كل قطار (س2) يتطلب 1 ساعة تشطيب 2س1 + س2 ≤ 100 2- الساعات المتاحة للتقطيع = 80 ساعة كل جندى (س1) يتطلب 1 ساعة تقطيع كل قطار (س2) يتطلب 1 ساعة تقطيع س1 + س2 ≤ 80

دالة الهدف : ينظر للمعامل ص على انه أعظم ربح يمكن تحقيقه 3- قيد الطلب س1 ≤ 40 خامسا : شرط عدم السالبية س1 ≤ صفر س2 ≤ صفر دالة الهدف : ينظر للمعامل ص على انه أعظم ربح يمكن تحقيقه عظم ص = 3س1 + 2س2 فى ظل القيود التالية قيد التشطيب 2س1 + س2 ≤ 100 قيد التقطيع س1 + س2 ≤ 80 قيد الطلب س1 ≤ 40 قيد الاشارة س1 ≤ 0 قيد الاشارة س2 ≤ 0

الطريقة البيانية 2س1 + س2 = 100 س1 = 0 س2 = 100 (0 , 100 ) س2 = 0 س1 = 100 ÷ 2 = 50 ( 50 , 0 ) س1 + س2 = 80 س1 = 0 س2 = 80 (0 , 80 ) س2 = 0 س1 = 80 (80 , 0 ) قيد الجنود ان س1 = 40 وبالتالى س2 = 0 (40 , 0 ) انظر الشكل البيانى على الاكسيل

ومن خلال الطريقة الجبرية نجد ان تعظيم الدالة ص = 3س1 + 2س2 تتمثل فى الحل الجبرى للقيود التى تم بناءها على شكل متباينات و تم تحويلها الى معادلات كما يلى: 2س1 + س2 = 100 س1 + س2 = 80 بالطريقة الجبرية يمكن ايجاد قيمة المتغيرات لكل من : س1 & س2 بالتعويض لاحدهما فى الاخر س2 = 100 – 2س1 س2 = 100 – 2س1

س1 + س2 = 80 س1 + (100 – 2س1) = 80 100 - س1 = 80 100 – 80 = س1 س2 = 100 – 2س1 س2 = 100 – 2 (20) = 100 – 40 س1 = 20 س2 = 60

وبالتالى تكون الدالة = 3س1 + 2س2 3(20) + 2(60) = 60 + 120 = 180 وهى منطقة الربح الممكن تحقيقه فى ظل المتغيرات والقيود السابقة. سواء للمواد الخام أو ساعات العمل ومن ثما فالشركة يمكنها انتاج 20 جندى 60 قطار وتحقيق ربح ممكن = 180 جنيه فى الاسبوع

اختبار الحل الامثل نقاط الارتكاز لتعظيم دالة الهدف : 3س1 + 2س2 الاولى : (20 ,60 ) = 3×20 + 2×60 = 180 الثانية : (40 , 40 ) = 3×40 + 2×40 = 200 الثالثة : (40 , 20) = 3×40 + 2×20 = 160 الحل الامثل عند النقطة الثانية : (40 , 40 ) عندها تحقق الشركة أعظم ربح قدره = 200