Fractali. Teorie, grafică computerizată şi aplicaţii Curs opţional Anul III Matematică şi Matematică-Informatică Lector dr. Stănică Daniel (sem. I) şi Lector dr. Mihail Alexandru (sem. II)

Obiectiv: Acest curs îşi propune să ofere atât o perspectivă “grafică”, cât şi una teoretică asupra unui domeniu care s-a dovedit a avea aplicaţii în toate ramurile ştiinţei, anume teoria fractalilor. Cursul este conceput astfel încât să poată fi frecventat atât de către studentţii care au drept principal domeniu de interes matematica, cât şi de cei pasionaţi de informatică.

Ce sunt fractalii? Termenul fractal provine din latinescul fractus, care înseamnă "spart“, "fracturat". Acest termen a fost introdus de Benoît Mandelbrot, în 1975. Un fractal este un obiect matematic care are o structură detaliată la orice scară. În structura unui fractal, fiecare parte este asemănătoare cu fractalul întreg (este autosimilar).

Fractalii, aceste deosebite obiecte matematice, de o mare complexitate, sunt generaţi printr-un procedeu matematic relativ simplu. Dimensiunea geometrică a unui fractal se bazează pe dimensiunea Hausdorff, care este o extensie a dimensiunii euclidiene. Dacă în geometria euclidiana un obiect nu are decât o dimensiune întreagă, în geometria fractală dimensiunile sunt, în general, numere reale neîntregi pozitive.

Exemple de fractali

Curba lui Koch perimetrul = 7.11 perimetrul = 3 perimetrul = 4 Şi, continuând, perimetrul = infinit, pentru această figură geometrică inclusă într-o mulţime cu aria finită.

Curba lui Hilbert Curba lui Hilbert este un exemplu de curbă continuă, de lungime infinită, fără autointersecţii, care “umple” un pătrat.

Covorul lui Sierpinsky Covorul lui Sierpinsky este un exeplu de obiect geometric despre care nu putem preciza dacă este o curbă sau o suprafaţă.

Bazinele de atracţie pentru metoda lui Newton de aproximare a soluţiilor ecuaţiei z3+1=0

Un fractal clasic: Mulţimea Mandelbrot

Dacă privim în profunzimea unui fractal, observăm structura sa complexă şi autosimilaritatea.

Aplicaţii: Interpolare fractală (codarea imaginii) Ştiţi câte ecuaţii liniare (y=ax+b) sunt necesare pentru a descrie complet această imagine fractală, adică pentru a o memora şi a o reconstrui? Doar 4!

Exemple de fractali în natură: nori, munţi, sol lunar, plante etc.

Conţinutul cursului Semestrul I Noţiuni introductive despre fractali şi dimensiune fractală; Un proces de dinamică a populaţiei şi reprezentarea sa fractală (modelul Robert May); Bazine de atracţie ale unor metode iterative de aproximare a soluţiilor ecuaţiilor neliniare şi reprezentarea lor fractală (metoda Lin, metoda Bairstrow, metoda Newton, metoda secantei, metoda parabolei, metoda Ostrowski, metoda Cebâşev, metoda Halley); Construcţie şi algoritmi de reprezentare grafică pentru unele tipuri de fractali (curba lui Koch, curba lui Peano, curba lui Sierpinsky, covorul lui Sierpinsky, curba lui Hilbert, plante Lindenmayer, curba dragonului, curba C etc.); Mulţimi fractale obţinute iterativ: exemple si reprezentări grafice (mulţimi Julia, mulţimi Mandelbrot); Fractali fără iteraţie: exemple si reprezentări grafice; Interpolare fractală; Aplicaţii ale teoriei fractalilor (modelarea unor elemente din natură: plante, nori, bazine hidrografice, galaxii etc., prelucrarea imaginilor:compresia fractală, meteorologie: efectul fluturelui etc.). Bibliografie: Karl-Heinz Becker, Michael Dorfler, Dynamical systems and fractals, Cambridge University Press, 1991. Benoît Mandelbrot, Obiectele fractale, Editura Nemira, 1998. Dick Olivier, Fractali, Editura Teora, 1996.

Semestrul al II- lea Măsura şi dimensiunea Hausdorff (definiţie, proprietăţi, legatura cu măsura Lebesgue); Exemple (mulţimea lui Cantor, triunghiul lui Sierpinsky, curba lui Koch, funcţia lui Weierstrass, funcţia dinte, funcţia lui Lebesgue); Sisteme iterative de funcţii (principiul contracţiei al lui Banach, distanţa Hausdorff-Pompeiu, spaţiul fractalilor, atractorii sistemelor iterative); Sisteme iterative cu probabilităţi; Dimensiunea atractorilor sistemelor iterative; Mulţimi Julia; Proprietăţile topologice ale mulţimilor fractale; Familii de mulţimi fractale - mulţimi Mandelbrot; Exemple de sisteme dinamice discrete (funcţia cort). Bibliografie: M.F. Barnsley, Fractals everywhere, Academic Press, 1988 K.J. Falconer, The geometry of fractal sets, John Wiley and Sons, Chichester, New York, Brisbane, Toronto, Singapore, 1990. Nicolae-Adrian Secelean, Măsură si fractali, , Editura Universităţii "Lucian Blaga" din Sibiu, 2002

 În concluzie, chiar şi extratereştrii cunosc fractalii: