ادامه فصل سوم ...

پره ها اساس كار پره ها افزايش سطح مي باشد . با استفاده از قانون سرمايش نيوتن به صورت معادله زير انتقال حرارت را مي توان با افزايش سطح افزايش داد پره هاي مورد استفاده در صنعت عبارتند : از رادياتور شوفاژ كندانسور يخچال و ... ، ، ، پره ساده لوله با پره پره هاي ميله اي يا سوزني ( مثل كندانسور يخچال ) پره هاي مثلثي

معادله ديفرانسيل عمومي براي يك پره ساده )Simple Fin( معادله ديفرانسيل عمومي براي يك پره ساده اتلاف حرارتي از يك سطح گرم فقط از طريق جابجايي Tw q = hA (Tw – ) اتلاف حرارت از طريق هدايت و جابجايي x = 0 بدون پره x = L انتهاي پره dx q = hAs (Tw – ) x = 0 بعد از المان qx+dx است قبل از اينكه حرارت وارد بشود qx است x = L

qx = qx+dx + qconvection در صفحه اي كه در آن پره وجود دارد المان را در نظر مي گيريم در اين حالت براي ابتداي پره است . مي خواهيم معادله اي براي اتلاف حرارتي از صفحه با استفاده از پره به دست آوريم : ، x = 0 = انتقال حرارت ورودي از سمت چپ انتقال حرارت از طريق هدايت از سمت راست + انتقال حرارت جابجايي qx = qx+dx + qconvection

براي حل معادله فوق بايد فرضيات زير را انجام دهيم : Ts = Tw = T 1- در حالت كلي P 2- اگر محيط پره را با نشان دهيم اطلاعات Data 3- 4- تقسيم مي كنيم داريم : ، -kAd x حال طرفين اين معادله را بر

m اگر به جاي مقدار را قرار دهيم معادله كلي پره ها به صورت مقابل خواهد شد . معادله كلي پره جواب عمومي

حالت اول : پره ها را به طور كلي به سه دسته تقسيم مي كنيم : اگر طول پره بسيار زياد باشد مي خواهيم معادله اي براي اين حالت به دست آوريم كه طول پره بسيار زياد باشد . بايد شرايط مرزي را در نظر بگيريم Tw x = 0 x = L = B . C . 1 dx چون جواب عمومي را داشتيم (I)

B . C . 2 مقدار را در جواب عمومي قرار مي دهيم : (II) از حل معادله مقدار به دست مي آيد : C1 و C2 I و II مقادير را در معادله اصلي قرار مي دهيم : C1 و C2 و در حالت كلي براي دما داريم : dx براي محاسبه حرارت انتقالي از پره به واسطه جابجايي از جزء به سيال مثل هوا :

برابراست با q = qf در زماني كه طول پره ه بسيار طويل باشد داريم در زماني كه طول پره ه بسيار طويل باشد داريم به جاي مقدار آن را قرار مي دهيم : m برابراست با q = qf بابراين مقدار اتلاف حرارتي از پره بسيار طويل

h = p = k = A=Ac = qI = qIdeal = qايده آل qR = qReal = qحقيقي ضريب انتقال حرارت محيط پره ضريب هدايتي سطح مقطع p = k = A=Ac = مي خواهيم بازده پره را به دست آوريم : qI = qIdeal = qايده آل qR = qReal = qحقيقي معمولا بازده پره از يك كمتر مي باشد واحد بعد از محاسبه به دست مي آيد بنابراين بازده بدون واحد به دست مي آيد . معادله فوق نشان ميدهد كه هرچه طول پره بيشتر باشد بازده كمتر ميباشد.

Rate of Heat Transfer in an Infinitely Long Fin Heat Convection out from fin surface Heat Conduction At base

پره ای با شرط مرزی جابه جایی در انتها

در اين حالت حرارت از نوك پره به واسطه جابجايي به محيط منتقل مي شود و مي توان ثابت كرد كه : سطح مقطع Ac = Across section

پره ای که دما در انتهای آن مشخص باشد

پره با انتهای عایق ، ، T∞ Tw L ، TL ، يك پره به طول انتقال حرارت از نوك پره ناچيز باشد همچنين انتهاي پره عايق شده باشد و در نتيجه T∞ Tw L گرم مي شود و سراسر طول پره توسط يك محيط با دماي توسط ديواري با دماي ، TL مي شود بطوريكه دماي انتهاي سرد پره اگر پره متوسط در نظر گرفته شود و از گرماي ، را پيدا مي كنيم C1 و C2 ضرايب تلف شده در انتهاي آن به واسطه عايق شدن پره صرفنظر شود و ثابت مي كنيم در حالت كلي براي دما : همچنين ثابت مي كنيم :

Data (اطلاعات) : T∞ شده است بنابراين از گرماي تلف شده از نوك پره صرفنظر x = 0 L B . C . 1 نوك پره عايق شده است TL x = L x = 0  T = Tw  از معادله اصلي نتيجه مي گيريم كه : B . C . 2 T∞ x = L  T = TL T ≠ T∞

چون پره عايق شده است ، در B. C چون پره عايق شده است ، در B.C.2 ، T = T∞ نمي باشد ( يا T ≠ T∞ ) بنابراين اختلاف درجه حرارت را مي توان به صورت زير نوشت و چون نوك پره عايق شده است ، بنابراين از معادله اصلي مشتق گرفته و مساوي صفر قرار مي دهيم . T∞ پس : نوك پره عايق است : x L به جاي تمام ها مقدارش را يعني را قرار مي دهيم :

مقدار را در معادله اصلي قرار مي دهيم : C1 و C2

صورت و مخرج اولين معادله سمت راست را بر تقسيم كرديم : در نهايت به فرمول زير مي رسيم : در نوك پره مي باشد : x = L حرارت منتقل شده از پره در حالت دوم : dq = hpdx (TL – T∞) به جاي مقدار قرار مي دهيم : (TL – T∞)

L m qR = qReal = qحقيقي qI = qIdeal = qايده آل مقدار انتهاي طول پره برابر با مي باشد : m به جاي مقدار قرار مي دهيم : انتقال حرارت از پره در حالت دوم : حقيقي براي به دست آوردن بازده داريم : qR = qReal = qحقيقي qI = qIdeal = qايده آل بازده در حالت دوم

از نتایج حل قسمت 1 دیدیم که برای پره با طول بینهایت

عملكرد پره : پره ها به طور كلي براي افزايش انتقال حرارت از سطح به كار برده مي شوند در نتيجه افزايش سطح انتقال حرارت بيشتري به دست مي آيد . كار آيي پره ها به صورت نسبت نرخ انتقال گرما با پره به نرخ انتقال گرما بدون پره اطلاق مي شود . نرخ انتقال گرما با پره نرخ انتقال گرما بدون پره Ac.b كه در آن مساحت پره در پاي آن مي باشد . (بدون پره) بايد تا حد ممكن زياد باشد و يا به طور كلي از پره ها زماني استفاده در هر طراحي معقولي مقدار Ac.b به دست يا ضريب كارايي را مثلا براي حالتي كه باشد . مي توان مي شود كه I بنابراين در فرمول فوق مقدار قرار مي دهيم براي حالت داريم : نتيجه اينكه :

مفهوم مقاومت در پره ها

1- با استفاده از رابطه به دست آمده كارايي پره ها با انتخاب ماده اي كه ضريب هدايتي آنها بالا مي باشد افزايش مي يابد . مانند آلياژهاي مس و آلومينيوم از اين مواد هستند . هرچند آلياژ مس از نقطه نظر هدايتي بهتر است ولي آلياژ آلومينيوم به علت سبكي و ارزاني بيشتر استفاده مي شود. Ac يعني ضخامت كمتر پره و در نتيجه كارايي بهتر 2- يعني سطح مقطع پره در مخرج قرار دارد . پره و بنابراين در صنعت هميشه از پره هاي نازك استفاده مي كنند و پره ها را در فاصله هاي كمتري مي سازند تا از اين طريق ضريب انتقال حرارت جابجايي كاهش يابد فوق وقتي و بر طبق فرمول h كاهش يابد ، كارايي زياد مي شود. 3- در كاربردهاي مايع به گاز يعني زماني كه از يك مايع بخواهيم حرارت منتقل كنيم ، پره ها را در سمت گاز مي سازند ، يعني جايي كه ضريب انتقال حرارت كمتر است . يعني پره ها در جايي كه h يعني بالايي دارند ، قرار نمي گيرند . (كه آب داغ از درون لوله جاري است) داخل لوله هاي آب داغ

Fins or Extended surfaces 12/1/2018 Mech 395 - Lecture 6 25 25

Fin Performance 45

پيدا نمودن بازده پره ها از طريق نمودار اين روش كه به روش هارپر و براون معروف است از نمودارهاي تهيه شده از طريق تجربي مي توان بازده پره هاي مستطيلي – مثلثي و سهموي را حساب نمود . همچنين پره هاي شعاعي . پره هاي مستطيلي(a t =ضخامت پره L=طول پره t L Lc = طول اصلاح شده corrected Length b ) پره هاي مثلثي t =ضخامت پره L= طول پره t Lc = L L

C ) براي پره هاي شعاعي Ap =Lct اگر مطابق شكل پره ها به صورت شعاعي ، مانند سيلندر ماشين دور تا دور پوسته را گرفته بنابراين Ap =Lct شعاع اصلاح شده

بازده كلي سطح نمودار بازده براي پره هاي شعاعي ، 100 80 60 40 20 نمودار بازده براي پره هاي شعاعي 0.5 1 1.5 2 2.5 بازده كلي سطح ، براي به دست آوردن بازده مي توان سه روش به كار برد روش اول زماني است كه ما تقسيم بندي حالت 1 و حالت 2 و حالت 3 را انجام مي دهيم . روش دوم براي به دست آوردن بازده پره از نمودارهاي داده شده مي باشد كه به روش هارپر و براون معروف است . روش دوم كه اكنون مورد بررسي قرار مي گيرد در زماني به كار برده مي شود كه چند پره مورد استفاده قرار گيرد و مطابق شكل زير و از رابطه تجربي زير مي توان انتقال حرارت را به دست آورد . ،

پره سهموي(d كه در اين روش از نمودارهاي تهيه شده استفاده مي كنيم . Lc = L

Fin Performance 45

اگر پره به صورت ميله اي يا استوانه اي باشد طول اصلاح شده از فرمول زير به دست مي آيد : براي پره هاي ميله اي يا استوانه اي شكل :

qt = نرخ انتقال حرارت با پره مثال 3 سيلندر يك موتور سيكلت از آلياژ آلومينيوم با به ارتفاع داريم قطر بيروني سيلندر مي باشد و دماي سطح بيروني سيلندر در شرايط كاركرد عادي مي باشد و در معرض هواي محيط به دماي قرار گرفته است .اگر ضريب انتقال حرارت جابجايي باشد براي افزايش انتقال حرارت به محيط از پره هاي شعاعي استفاده مي كنيم كه با سيلندر ريخته گري شده اند . پره ضخامت هر كدام و طول با فاصله هاي مساوي از يكديگر داريم . ، 500mm 20mm 6mm 5 ، الف : سطح فين يا را حساب كنيد . ب : انتقال گرماي كل را به دست آوريد . qt = نرخ انتقال حرارت با پره N = تعداد پره ها Af = مساحت هر پره بازده پره

T∞ = 300 H = 0.15 Tw = 500 r1 = 25mm L= 20mm r2 = 15mm

مثال در رابطه با پره ها : يك پره فولادي مستقيم و مستطيلي به ضخامت و طول به سطح بيروني و ديواري به دماي متصل است . دماي محيط و ضريب انتقال حرارت جابجايي مي باشد با استفاده از روش نموداري بازده پره ها را حساب كنيد . Tw = 20 0c k = 52 T∞ = 15.5 w h = 17 طول اصلاح شده L 2.54 Ap Ap = مساحت نيمرخ

از نمودار با داشتن محور ها مي توان بازده را بدست آورد كه بازده پره از نمودار با داشتن محور ها مي توان بازده را بدست آورد كه

برای خنک کردن صفحه با مساحت 1 برای خنک کردن صفحه با مساحت 1 * 1 متر مربع زیر با دمای 100 درجه سانتی گراد از پره های آلمینیومی با ضریب هدایت 237 W/m⋅°C به بلندی 3 سانتیمتر و قطر 25/0 سانتی متر استفاده شده است. فاصله مرکز به مرکز پره ها 6/0 سانتیمتر و دمای محیط 30 درجه سانتی گراد با ضریب جابه¬جایی 35 W/ m2°C است. نرخ انتقال حرارت کل و عملکرد مجموعه پره¬ها چه¬قدر است؟