בחינת יציבות עבור מבני טנזגריטי על בסיס ידע מתורת המכניזמים דניאל כהן בהנחיית פרופ' עופר שי בית הספר להנדסה מכנית הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן אוניברסיטת תל אביב

תוכן רקע בעיית היציבות גרפי אסור Assur Graph משפט היציבות הרחבה לכל מסוים סטטי

רקע מבני טנזגריטי הינם מסבכים המורכבים מאלמנטים מסוג כבל ו strut. מבנים אלו יישומיים למגוון מטרות, כתוצאה מיכולות שינוי הצורה והקשיחות וכן יכולת ספיגת אנרגיה. נאס"א מגדירה את המחקר שלה בתחום כבעל פוטנציאל וסיכון גבוה. מבני טנזגריטי הינם מסבכים המילה טנזגריטי היא הלחם בסיסים של ‘tensional’ & ‘integrity’, כאשר הקשיחות נובעת מכך שכל האלמנטים נמצאים בעמיסה. כלומר כבל במתיחה וstrut בלחיצה. מבני טנזגריטי הינם מתאימים למגוון משימות כתוצאה מיכולת שינוי הצורה, שינויי הקשיחות וספיגת האנרגיה. הגדרה מורחבת מערכות המכילות אלמנטים בעלי אילוצים חד כיוונים

הדגמה של מערכת טנזגריטי עובדת שנבנתה באוניברסיטה

סוגי האלמנטים קינמטיקה סטטיקה כבל מתיחה אילוץ מרחק מקסימלי strut תכונות קינמטיות וסטטיות של האלמנטים Strutיסומן כקו אדום לחיצה אילוץ מרחק מינימלי

בעיית היציבות במבני טנזגריטי במבנים יתירים איזון כוחות הינו תנאי הכרחי ומספיק. ב1991 Calladine & Pellegrinoטוענים שבמבנים מסוימים סטטית נדרש תנאי נוסף. ב1996 Connelly & Whiteleyמדווחים לראשונה על תנאי נוסף עבור מבנים מסוימים סטטית. 𝐸 𝑃 𝑁𝑜𝑑 𝑒 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐸 𝑃 𝑁𝑜𝑑 𝑒 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 במבנים יתירים ישנו תנאי מספיק והכרחי של איזון כוחות בצמתים. במבנים מסויימים סטטית תנאי זה איננו מספיק אלא רק הכרחי על פי קלאדין ופלאגרינו. ב96 קונלי וויטלי שני מתמטיקאים מצאו פתרון המבוסס על מינימום אנרגיה. התוצאה המתקבלת הינה סקלאר ועל כן לא ניתן לבצע בקרה על ידי שיטה זו. ישנו פתרון נוסף בשם הרפייה דינמית שבו נדרש לפתור את הבעייה הדינמית של המבנה בכל המרחב- כלומר בעל סיבוכיות גבוהה. כבל: strut:

גרפי אסור-Assur Graph (AG) כל מבנה מסוים סטטי הינו AG או הרכבה של AG. גרפי אסור מכיוון שהבעיה הינה במבנים מסוימים סטטית בלבד, שימוש בAG הינו מתבקש. הגדרה כל מסוים סטטי הינו AG

גרפי אסור-Assur Graph (AG) מבנה AG בגאומטריה סינגולרית ↔כל האלמנטים יהיו תחת עמיסה (self stress) ותתקיים תנועה בצמתים. תכונה זו מבוססת על המשפט (Servatius et al, 2010): מבנה הינו AG אם ורק אם קיימת גיאומטריה שמתקיימים בה התנאים הבאים: קיימת תנועה בצמתים הפנימיים. ישנו כוח פנימי בכל אלמנטים ללא כוח חיצוני. בנוסף גיאומטריה זו נקראת גיאומטריה סינגולרית. תכונה נוספת סינגולריות Servatius, B., Shai, O., & Whiteley, W. (2010). Geometric properties of Assur graphs. European Journal of Combinatorics, 31(4), 1105-1120.‏

ארבעה מקרים אפשריים עבור המבנה הקטן ביותר 𝑓 𝑠 מבנה טנזגריטי ללא איזון כוחות בצמתים הקשיחות של האלמנטים איננה נשמרת. 𝑣 𝑓 𝑐 1. 3. ישנם רק ארבעה מקרים אפשריים עבור מסבך פשוט שיתקיים איזון כוחות פנימיים. חשוב לנו שיהיו כוחות פנימיים כי אחרת המבנה לא יהיה קשיח. מהי בעיית היציבות: כאשר כל מסבך מסוים סטטי נמצא בגיאומטריה סינגולרית אזי מקיים מנגנון אינפי בטנזגריטי תנועת האינפי יכולה להתפתח לתנועה סופית. בשקופיות הבאות נבחן את מקרה מספר אחד ונבין מדוע ישנה בעיה של יציבות. 2. 4.

הדגמת בעיית היציבות הכוחות באלמנטים במבנה טנזגריטי גדלים

הדגמת בעיית היציבות הכוחות באלמנטים במבנה טנזגריטי גדלים

הדגמת בעיית היציבות הכוחות באלמנטים במבנה טנזגריטי גדלים

הדגמת בעיית היציבות הכוחות באלמנטים במבנה טנזגריטי גדלים

הדגמת בעיית היציבות הכוחות באלמנטים במבנה טנזגריטי גדלים

הדגמת בעיית היציבות הכוחות באלמנטים במבנה טנזגריטי גדלים

הדגמת בעיית היציבות הכוחות באלמנטים במבנה טנזגריטי גדלים לאחר הפרעה חיצונית המבנה יצא מנקודת שיווי משקל לא יציבה.

הדגמת בעיית היציבות לאחר הפרעה חיצונית המבנה יצא מנקודת שיווי משקל לא יציבה.

הדגמת בעיית היציבות לאחר הפרעה חיצונית המבנה יצא מנקודת שיווי משקל לא יציבה.

הדגמת בעיית היציבות 𝑓 𝑖𝑛𝑡 𝑓 𝑖𝑛𝑡 𝑓 𝑒𝑥𝑡 לאחר הפרעה חיצונית המבנה יצא מנקודת שיווי משקל לא יציבה.

השיטות הקיימות Connelly & Whiteley: :(Dynamic relaxation) Motro חישוב 𝑣 𝑡 ∙𝐷∙𝑣≥0 המשמעות הינה שהנגזרת השנייה של פונקציית האנרגיה הפוטנציאלית הינה חיובית. המבנה במינימום אנרגיה פוטנציאלית ←מבנה יציב (הנגזרת הראשונה הינה איזון כוחות בצמתים) :(Dynamic relaxation) Motro חישוב האנרגיה הקינטית במבנה חיפוש הגיאומטריה שבה האנרגיה הקינטית מקסימלית התקבלה גיאומטריה בעלת מינימום אנרגיה פוטנציאלית ← המבנה יציב. Connelly & Whiteley חישוב אנרגיה פוטנצילית MOTRO חישוב אנרגיה קינטית

השיטה המוצעת לבדיקת יציבות של מבני טנזגריטי מסוימים סטטית השיטה מבוססת על תורת המכניזמים. AG הינו מבנה סטטי מינימלי ← הסרה של אלמנט יוצרת מנגנון. המוטיבציה: עצירת המנגנון הנוצר. המייחד את השיטה המוצעת על פני השיטות הקיימות השיטה מבוססת על תורת המכונות. AG הינו מבנה סטטי מינימלי. כל מבנה מסויים סטטי מורכב מAG או מתפרק ל AG. הסרה של אלמנט ממבנה AG תיצור מנגנון אם החיתוך בין אזורי הפעולה של המבנה הינם נקודה המבנה יציב. כתוצאה מאי יכולת שינוי צורה.

משפט יציבות טנזגריטי כמכניזם (Cohen & Shai, 2015) מבנה טנזגריטי יציב אם ורק אם החיתוך בין אזור הפעולה של האלמנט הנבחן ורדיוס העקמומיות של המנגנון העיקרי הינו נקודה. רדיוס העקמומיות להדגיש את השקופית אזור פעולה Cahan D. and Shai O., Combinatorial Method for Checking Stability in Tensegrity Structures, ASME Design Engineering Technical Conferences, August 2-5, Boston, Massachusetts, USA, 2015.

ארבעה מקרים אפשריים עבור מבנה טנזגריטי 1. 3. 2. 4. ישנם רק ארבעה מקרים אפשריים עבור כל מבנה טנזגריטי הכללה של דידה לכל AG הסבר מדוע כל מקרה יציב.

דוגמת בדיקת יציבות בשיטה המוצעת A

דוגמת בדיקת יציבות בשיטה המוצעת רדיוס העקמומיות 𝜌 𝑎 𝑛 חישוב המהירות 𝑎 A חישוב התאוצה 𝑣 החיתוך בנקודה ← המבנה יציב חישוב רדיוס העקמומיות בחינת האלמנט הנבחן אזור פעולה

דוגמה עבור מבנה תלת ממדי A B C a c b

דוגמה עבור מבנה תלת ממדי 𝑣 A B C a c b 𝑎 𝑛 האלמנט הנבחן הינו strut חישוב המהירות, התאוצה ורדיוס העקמומיות החיתוך של אזור פעולת האלמנט הנבחן עם רדיוס העקמומיות הינו נקודה.

מיחשוב פתרון השיטה המוצעת רדיוס העקמומיות מחושב על ידי המשוואה 𝜌= 𝑣 2 𝑎 𝑛 . ניתן לחשב את רדיוס העקמומיות על ידי בבועת מהירויות / תאוצות. ניתן להשתמש במטריצת הקשיחות Rigidity-matrix. מטריצה זו בשימוש נרחב בתחומי המתמטיקה ביולוגיה וכימיה. חישוב רדיוס העקמומיות בשיטה מטריציונית- רדיוס העקמומיות מחושב על ידי המשוואה ניתן לחשב את רדיוס העקמומיות על ידי בבועת מהירויות / תאוצות חיסרון למערכות בעלות מספר רב של אלמנטים שיטה זו איננה ישימה מטריצת הקשיחות

מטריצת הקשיחות 𝑝 𝐴 𝑝 𝐵 𝑒 2 𝑒 3 𝑒 4 𝑝 𝐴 − 𝑝 𝐷 ∙ 𝑣 𝐴 + 𝑝 𝐷 − 𝑝 𝐴 ∙ 𝑣 𝐷 = 𝑝 𝐴 − 𝑝 𝐷 ∙ 𝑣 𝐴 − 𝑣 𝐷 =0 𝑒 1 𝑝 𝐶 𝑒 5 𝐷𝐴 ∙ 𝑣 𝐴/𝐷 =0 :חוק החוליה הקשיחה 𝑒 6 𝑝 𝐷 𝑝 𝐹 𝑝 𝐸 𝐹: 𝑝 𝐴 − 𝑝 𝐷 ∙ 𝑞 1 + 𝑝 𝐴 − 𝑝 𝐵 ∙ 𝑞 2 + 𝑝 𝐴 − 𝑝 𝐶 ∙ 𝑞 3 =0 𝑝 𝐴 𝑝 𝐵 𝑝 𝐶 𝑝 𝐷 𝑝 𝐸 𝑝 𝐹 𝑒 1 𝑝 𝐴 - 𝑝 𝐷 𝑝 𝐷 - 𝑝 𝐴 𝑒 2 𝑝 𝐴 - 𝑝 𝐵 𝑝 𝐵 - 𝑝 𝐴 מהי מטריצת הקשיחות. משמעויות: חוק החוליה הקשיחה. איזון כוחות בצמתים 𝑒 3 𝑝 𝐴 - 𝑝 𝐶 𝑝 𝐶 - 𝑝 𝐴 𝑒 4 𝑝 𝐵 - 𝑝 𝐶 𝑝 𝐶 - 𝑝 𝐵 𝑒 5 𝑝 𝐵 - 𝑝 𝐹 𝑝 𝐹 - 𝑝 𝐵 𝑒 6 𝑝 𝐶 - 𝑝 𝐸 𝑝 𝐸 - 𝑝 𝐶

חישוב רדיוס העקמומיות בשיטה מטריציונית לאחר תהליך form finding הגיאומטריה של המבנה ידועה: A=(0,0) B=(0.5,1) C=(1.5,1) D=(2,0) E=(1,0.5) F=(1,-0.5) B C E A D C B E עבור אלמנט AB 𝑝 𝐴 − 𝑝 𝐵 ∙ 𝑣 𝐴 − 𝑣 𝐵 ≡ 𝐵𝐴 ∙ 𝑣 𝐴/𝐵 =0 𝑣 𝐸 חישוב המהירות בצמתי המבנה: עבור אלמנט AB 𝑝 𝐴 − 𝑝 𝐵 ∙ 𝑎 𝐴 − 𝑎 𝐵 =− 𝑣 𝐴 − 𝑣 𝐵 2 ≡ 𝐵𝐴 ∙ 𝑎 𝐴/𝐵 =− 𝑣 𝐴/𝐵 2 𝑎 𝐸 חישוב התאוצה בצמתי המבנה: A   𝜌= 𝑣 2 𝑎 𝑛 = 𝑣 𝐸 𝑥 2 𝑎 𝐸 𝑦 =2.25 חישוב רדיוס העקמומיות: 𝜌 D F דוגמה לחישוב

הרחבה עבור כל מבנה מסוים סטטי 𝑣 𝑓 החצים השחורים נקבעים על ידי אלגוריתם האבנים ומבטאים תלות בין צמתי הגרף. 𝑓 𝑣 𝑓 𝑣 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 זרימת הכוחות בגרף נקבעת עם כיוון החצים. הקינמטיקה של הגרף נקבעת נגד כיוון החצים. במידה והAG הראשון בפרוק נמצא בגאומטריה המכילה self stress, הכוחות יעברו לשאר המערכת. הAG הראשון בפרוק לא ישפיע על קנימטיקה של שאר המערכת. גרף המתאר מבנה כאשר הקינמטיקה נקבעת בניגוד לכיוון החצים. גרף המתאר מבנה כאשר הסטטיקה נקבעת עם כיוון החצים.

משפט יציבות טנזגריטי מסוים סטטי (Cohen & Shai, 2015) מבנה טנזגריטי מסוים סטטי יציב אם ורק אם הAG הראשונים בפרוק יהיו סינגולריים ויציבים.

דוגמה עבור מבנה טנזגריטי מסוים סטטי D A B C C’ D’ B’ A’ D A B C

סיכום השיטה המוצעת מאפשרת לבצע בקרה. סיבוכיות אלגוריתם נמוכה ביחס לשיטות הקיימות. שיטה זו נבחנה ביחס לשיטות הקיימות ונמצאה התאמה בתוצאות. סיכום השיטה המוצעת מאפשרת לבצע בקרה סיבוכיות אלגוריתם נמוכה ביחס לשיטות הקיימות נבחנה ביחס לשיטות הקיימות ומתקבלת תוצאה זהה

תודה על ההקשבה תודה על ההקשבה

The relation between tensegrity and robots Singularity=Existing Equilibrium forces at the node Necessary and sufficient for redundant Necessary for determinate tensegrity השוואה לרובטיקה: זרוע רובוטית במצב סינגולרי. הגעה לקצה יכולת התנועה+ לא ניתן להפעיל כוח כלפי חוץ -טנזגריטי זה הבעיה המשלימה של רובוטיקה - אנחנו מחפשים את המצב הסינגולרי=> מספיק למבנים יתירים -במסויים סטטי נדרש להפעיל תנאי נוסף.

NASA The tensegrity will be the landing tool, so the weight of the cargo is reduce. The algorithm movement will be evolutionary. MSL Pathfinder MER Huygens Super Ball Bot השוואה לחלופות אחרות,----להוסיף תמונות של החלופות משקל נמוך ויחס משקל עצמי מטען גבוה. ספיגת האנרגיה של הנחיתה תהיה בזכות האלסטיות של המבנה. האלסטיות של מבנים מסויימים סטטית היא גבובה יותר מאשר יתירים