2.2 Geometrija in merjenje 2.2.1 Kratko o pouku geometrije Geometrija ima pomembno mesto v matematiki, ker: omogoča raziskovanje fizičnega sveta, se ukvarja z vizualizacijo, risanjem in konstruiranjem figur, omogoča reprezentacijo pojmov v matematiki, ki sami po sebi niso geometrijski, ker je sama po sebi primer matematičnega sistema in ker je estetska.
http://www.mcescher.com/ http://www.geocities.com/mojsplet8/ven32-prevare/prevare2.html
Geometrija v naši osnovni šoli = učenje o geometrijskih pojmih po načelu 'korak za korakom‘. Katere prostore, poleg Evklidskega, še poznamo?
Lobachevsky, Bolyai Riemann
Topologija: panoga geometrije, ki obravnava topološke lastnosti geometričnih figur, to pomeni take lastnosti, ki se ohranjajo pri zveznih preslikavah (preslikava ne povzroči nobenih pretrganj). Möbiusov trak: primer topološke ploskve
Kleinov program: razvrstitev geometrij glede na transformacije
Fraktalna geometrija http://colos1.fri.uni-lj.si/~sis/GRAFIKA/FRACTALS/whaiIsFractal.html http://colos1.fri.uni-lj.si/~sis/GRAFIKA/FRACTALS/CREATING_FRACTALS/creating_fractals.html
Raziskave Piageta: prostorska predstavljivost pri otroku se prične z zaznavanjem preprostih topoloških relacij (trileten otrok nariše kvadrat, trikotnik kot krog (vsi trije so topološko ekvivalentni)), nato s projekcijo in nazadnje z Evklidskim prostorom. Koncept projekcije doda konceptu topologije ‘pogled na stvar’ (predmet). V Evklidskem prostoru pa se otrok ukvarja z razdaljami oz. merjenjem.
Topološko ekvivalentni. Pa jih otrok res zazna tako? Vir: Dickson, L., Brown, M., Bibson, O. (1991) Children Learning Mathematics. London: Cassell Education.
2.2.2 Proces abstrahiranja pojmov v geometriji: a) Empirična abstrakcija (v ospredju so objekti in za konstruiranje znanja so pomembne lastnosti teh objektov). Na podlagi fizične izkušnje s predmeti učenec spozna lastnosti predmetov (na primer, ker se valj kotali, ima krivo ploskev).
Pri aritmetiki so v ospredju postopki; govorimo o psevdo-empirični abstrakciji. Poznamo še refleksivno abstrakcijo; postopki in objekti v neki fazi postanejo sestavni del novega objekta, postopka.
b) Kompleksnost geometrije pa obvladujemo tudi s pomočjo jezika b) Kompleksnost geometrije pa obvladujemo tudi s pomočjo jezika. Zaznavanje oblik je bistveno, vendar le s pomočjo jezika lahko ustvarimo hierarhijo pojmov v geometriji. Primer: kvadrat je pravokotnik, kvadrat je romb…
Poznamo tri stopnje v pridobivanju geometrijskega znanja po Van Hielu: vizualna, opisna ter teoretična.
razlaganje in povezovanje prosto opazovanje vodeno opazovanje Teoretična stopnja Učenec zna deduktivno izpeljati relacije med geometrijskimi pojmi oziroma zna dokazovati v geometriji. Proces učenja Faze učenja: razlaganje in povezovanje prosto opazovanje vodeno opazovanje posredovanje informacij Opisna stopnja Učenec prepozna geometrijske oblike na podlagi opisa njihovih lastnosti. Vizualna stopnja Učenec prepozna geometrijske oblike.
Empirična abstrakcija ≈ vizualna stopnja začetno učenje o geometrijskih pojmih izhaja iz konkretnih predmetov oziroma tridimenzionalnih objektov
2.2.3 Metodični koraki poučevanja geometrije 'od telesa k točki‘ na začetku šolanja Izkušnje s tridimenzionalnimi modeli. Povezovanje geometrijskih modelov s predmeti iz okolice. Pridobivanje lastnosti geometrijskih modelov. Izdelovanje modelov geometrijskih teles iz različnih materialov. Odtiskovanje, obrisovanje ploskev modelov geometrijskih teles.
Prednosti obravnave ‘od telesa k točki’: omogoča mehkejši prehod med predšolskim in šolskim obdobjem, zadosti matematičnim kriterijem, je učencem bolj razumljiva (upošteva učenca in njegovo razvojno stopnjo).
Vaja za zbranost
Moja zbranost je danes: 16 t … odlična 12-15t … zelo dobra 8-11t … dobra 1-7t … drugič bo boljša
2.2.4 Geometrijski pojmi v prvih dveh triadah Matematične definicije in opredelitve pojmov za učence Geometrijsko telo … 1.r. 3. r.: geometrijsko telo, rob, ploskev, oglišče Telo je predmet, ki je omejen s ploskvami, oglišči in robovi. 5.r.: kvader, kocka, mreža kvadra in kocke Vsaka kocka je kvader, saj ima vse lastnosti kvadra. Mrežo kvadra oz. kocke pokažemo s primerom (telo razrežemo vzdolž nekaterih robov).
Geometrijski lik … 1.r. 3.r.: trikotnik (štirikotnik, petkotnik, šestkotnik…), skladnosti likov, simetrija (simetrija se obravnava že v 2. razredu) Lik, ki je omejen s tremi ravnimi črtami, je trikotnik. Ravne črte, ki omejujejo lik, so stranice. Točke, v katerih se stikata po dve stranici, so oglišča. (Oglišča pri likih ne označimo s križci, zgolj s točko.)
Lika, ki se prekrivata, sta skladna. Oblika, ki jo lahko prepognemo tako, da dela drug drugega prekrivata, je simetrična. Črta, po kateri obliko prepognemo, je simetrala. (Enaka definicija je v 4.r.) ??Kaj je simetrija? Katere simetrije poznamo? Primer dejavnosti: izrezovanje simetričnih oblik.
4.r.: krog, krožnica, središče, polmer, premer Krožnica je sklenjena kriva črta, ki omejuje krog. 5.r.: kvadrat, pravokotnik Kvadrat je štirikotnik. Vse lastnosti pravokotnika ima tudi kvadrat. Kvadrat je pravokotnik. Vsak pravokotnik ni kvadrat. Vse lastnosti kvadrata niso tudi lastnosti pravokotnika.
6.r.: ravnina, kot, skladnost kotov, notranjost, zunanjost, rob kota, ostri, pravi, topi, iztegnjeni, udrti kot, središčni kot, krožni izsek, krožni lok Zamislimo si, da ravno ploskev nadaljujemo v vse smeri brez konca, pa dobimo ravnino. Lik je omejen del ravnine. Poltraka s skupnim izhodiščem določata dva kota. Tudi dve daljici lahko oklepata kot. Kota, ki drug drugega prekrivata, sta skladna. Oznake za kote: , A, ABC
Središčni kot je vsak kot, ki ima vrh v središču kroga. S krogoma, ki ju prerežemo vzdolž premerov, oblikujemo krožni izsek. Krožnemu izseku pripada središčni kot in krožni lok.
Črta …enodimenzionalna geometrična zvezna tvorba, 1.r. 1.r. 3.r sled svinčnika 1.r.: ravna, kriva črta 2.r.:(sklenjena, nesklenjena, presečišče črt, slednjega ne poimenujejo, zgolj označijo s križcem in z veliko tiskano črko), 4.r.: premica, daljica, poltrak, vzporednica, pravokotnica, sečnica: Na obeh straneh neomejeno ravno črto imenujemo premica Oznaka: mala tiskana črka (npr. p, tudi premica AB).
Daljica AB je ravna črta, ki povezuje točki A in B Daljica AB je ravna črta, ki povezuje točki A in B. Točki A in B imenujemo krajišči daljice. Oznaka: daljica AB (krajišči ponavadi označimo s križci). Na eni strani omejeno ravno črto imenujemo poltrak. Oznaka: mala tiskana črka (npr. l), označimo tudi krajišče poltraka. Dve ravni črti, ki se ne sekata, sta vzporedni. Premici, ki se ne sekata, sta vzporedni. Oznaka: p II r
Pravokotnosti ne opredelimo (zakaj Pravokotnosti ne opredelimo (zakaj??), ampak pokažemo s primerom in protiprimerom. Oznaka: pr Premici, ki se sekata, sta sečnici. 5.r.: medsebojna lega premice in točke, sekanta, mimobežnica, dotikalnica (tangenta), tetiva Oznaka: Ap
Premica, ki seka krožnico, je sekanta krožnice. Premica, ki s krožnico nima nobenih skupnih točk, je mimobežnica krožnice. Premica, ki ima s krožnico le eno skupno točko, je dotikalnica te krožnice. Pravimo ji tudi tangenta. Tetiva je daljica, ki ima krajišči na krožnici. ?? Oznake.