DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI –LOGISTIČKI MODEL -KAOS- Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za matematiku DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI –LOGISTIČKI MODEL -KAOS- Petra Sabljić Seminarski rad Zagreb, 2009

SADRŽAJ Uvod Diskretni dinamički sustavi Grafička iteracija Fiksne točke Logistički model (populacijska jednadžba) Kaos

UVOD- Dinamički sustavi Kontinurani i diskretni Rješavanje diferencijalnih i diferencijskih jednadžbi – analitičkim ili iteracijskim postupkom Grafička iteracija- prikaz orbita sustava Primjeri : meteorologija, kardiologija, biologija, prirodne znanosti, itd.

DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI Promatramo realnu funkciju Uz Iteracijom se dolazi do:

DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI Primjer 1. Sjeme orbite neka je 0 xo = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 5, x4 = 26,…, xn = velik lim xn = +∞ za n→∞

DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI x0 je fiksna točka za ƒ ako je ƒ(xo)= x0 Konstantan niz : x0, x1=x0, x2= x0… - fiksna orbita x0 je periodan za ƒ ako je ƒn(x0)=x0 , za n >0 n- ciklus: x0, x1, …, xn-1, x0, x1, …, xn-1, x0 xn x2n

DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI -GRAFIČKA ITERACIJA Primjer 2. X0=0 x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = x0 = 0… - 3-ciklus

DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI - FIKSNE TOČKE Privlačne fiksne točke |f ' (x0) |< 1 postoji okolina I točke x0 sa svojstvom da ako je y0  I, tada fn(y0)  I za svaki n, te da fn(y0) →x0 kad n→∞.

DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI - FIKSNE TOČKE Odbijajuće fiksne točke |f ' (x0) |> 1 za svaki I oko x0 postoji y0 x0 i fn(y0) bježi iz I

DISKRETNI DINAMIČKI SUSTAVI - FIKSNE TOČKE Neutralne fiksne točke - sve može biti f ' (x0) = ±1 0 je privlačna točka s jedne strane i odbijajuća s druge strane.

LOGISTIČKI MODEL - Populacijska jednadžba t je vrijeme, k koeficijent rasta populacije, M nosivi kapacitet dx/dt predstavlja brzinu rasta populacije x’ k > 0 KONTINUIRANI LOGISTIČKI MODEL t x x0 M Integriranje

DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL - Populacijska jednadžba - k i M su pozitivni parametri, xn+1 predstavlja broj populacije slijedeće godine, a xn trenutnu populaciju → xn ≥ M, onda je xn+1 ≤ 0 - populacija izumire Ako s xn označimo udio maksimalne populacije, 0 ≤ xn ≤ 1 λ > 0

DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL - Populacijska jednadžba Logističko preslikavanje Za poznatu vrijednost početne populacije . . .

DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL - Dinamika modela Promatra se zatvoreni interval I = [0,1] 1< λ <4 0 < λ ≤ 1 –ponor u 0 - populacija izumire neovisno o x0 λ=1

DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL - Dinamika modela 1 < λ ≤ 2 – stabilizira se na λ -1/ λ, neovisno o x0 2 < λ ≤ 3 –stabilizira se na λ -1/ λ, ali prvo oscilira oko te vrijednosti λ=2 f.t. = ½ (λ -1/ λ) λ=2.5 f.t.=0.6 (λ -1/ λ)

DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL - Dinamika modela 3< λ < 3.45 – oscilacija između 2 vrijednosti 3.45< λ < 3.54 (4 vrijednosti) … λ=3.35 λ=3.54

DISKRETNI LOGISTIČKI MODEL - KAOS λ=4 - orbite zauzimaju cijeli interval

KAOS- Definicija kaotičnih sustava f: I → I , I = [α, β] Periodne su točke guste na I f je tranzitivna na I; ako postoji x0  U1 tako da bude xn  U2 za neki n, gdje U predstavlja otvoreni podinterval od I f je senzibilna na I; ako postoji konstanta senzibilnosti β >0 takva da za bilo koji x0 U i neki otvoreni interval U oko x0, postoji sjeme y0 U i n > 0 takav da vrijedi: > β

KAOS- Definicija kaotičnih sustava Primjer 1. Dupliciranje D (x) = 2x mod 1 D D2 D3 Dn (x) = 2nx mod 1

KAOS- Definicija kaotičnih sustava Primjer 1. Dupliciranje Periodne točke guste na [0, 1) ; duljina intervala je 1/2n Za otvoreni interval J može se naći interval oblika [k/2n, ( k +1)/ 2n) unutar J za neki dovoljno veliki n, jer Dn preslikava J na cijeli [0, 1) Konstanta senzibilnosti 1/2

LITERATURA M.W.Hirch, S.Smale, R.L.Davaney, Differential Equations, Dynamical Systems and an Introduction to Chaos, second edition, Elsevier Academic Press 2003. http://www.inet.hr/~ivnakic/kaos/2-2-Kontinuirani_sustavi.htm http://hr.wikipedia.org/wiki/Teorija_kaosa http://www.fsb.hr/matematika/download/ZS/razno/eksponencijalni_i_logisticki_rast.pdf http://elgrunon.wordpress.com/ http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map