PODATKOVNE STRUKTURE IN ALGORITMI

Kaj je algoritem navodilo, kako opraviti določen postopek KAJ storiti, KAKO to storiti točna definicija odvisna od tega, komu je algoritem namenjen Končno zaporedje ukazov, ki, če jih ubgamo, opravijo neko nalogo

Značilnosti algoritma ima podatke vrne rezultat je natančno določen se vedno konča mogoče ga je opraviti

Vprašanja Kako zasnovati algoritem metode, strategije Kako preveriti algoritem dokaz pravilnosti Kako analizirati algoritem prostorska in časovna zahtevnost Kako izraziti algoritem enoličnost, komu je namenjen, kaj so osnovna navodila, komentarji

Skupine algoritmov Deli in vladaj Požrešna metoda Sestopanje Dinamično programiranje Razveji in omeji

Skupine algoritmov Sortiranje Algoritmi nad grafi Numerični algoritmi Iskalni algoritmi …

Podatkovne strukture v programskih jezikih zaloga vrednosti operacije lastnosti operacij neodvisnost od dejanske predstavitve KAJ je struktura in ne KAKO jo predstaviti

Opis strukture structure ime strukture begin declare opis funkcij where opis aksiomov end

Pomembnejše strukture sklad vrsta drevo tabela graf ...

Prostorska in časovna zahtevnost količina sredstev, ki jih potrebujemo za rešitev problema odvisnost od obsežnosti (velikosti) problema kaj meriti pogosto le ocenimo zahtevnost red velikosti

Prostorska in časovna zahtevnost najslabša možnost zgornja meja zahtevnosti najboljša možnost spodnja meja zahtevnosti pričakovana zahtevnost meritve

Časovna zahtevnost O notacija O(n2), O(n log(n)), O(2n) polinomski algoritmi (P) razred NP nedeterministični algoritem v polinomskem času P <> NP ???

Zakaj je časovna zahtevnost pomembna Urejanje z mehurčki: (n2 - n)/2 primerjav Vsaka primerjava: 0.001 sekunde 10 stevil: 0.05 sek 100 stevil: 5 sek 1000 stevil: 500 sek 100000 stevil (urejamo tel. imenik) 5000000 sek = 1400 ur = slaba dva meseca

Primeri s := a[1]; for i := 2 to n do s := x*s + a[i]; podatki: ai, n, x prostorska zahtevnost časovna zahtevnost po posameznih operacijah

časovna zahtevnost prostorska zahtevnost

časovna zahtevnost dol := length(niz); je_pali := true; i := 1; while (je_pali and (i < dol div 2)) do begin je_pali := (niz[dol-i+1] = niz[i]); i := i + 1; } časovna zahtevnost najslabša najboljša pričakovana

Trije algoritmi za isti problem Dano je zaporedje celih števil a1, a2, …, an. Naj bo Si,j = vsota ak, k = i, …, j Poišči Sopt = maksimalna vsota 8, -6, 10, -14, 13, -5, 7, -9, 18, -3, 2 rešitev 13, -5, 7, -9, 18 (24)

A- vse vsote! opt := 0; for i :=1 to n do { i - kje zacnem } for j := i to n do begin { j - kje neham } s := a[i]; for k := i + 1 to j do s := s + a[k]; if (s > opt) then opt := s; end;

B - upoštevaj prejšnje vsote Si,j = Si,j-1 + aj opt := 0; for i := 1 to n do begin s := a[i]; if (s > opt) then opt := s; for j := i + 1 to n do begin s := s + a[j]; end

C - ali vzamemo zraven j-tega Sj = Sj-1 + aj ali 0 opt := 0; s := 0; for i := 1 to n do begin { i - kje se konca! } t := s + a[i]; if (t > 0) then { ce je vsota "se > 0, se i-tega splaca vzeti } s := t else { drugace raje zacnemo na novo } if (s > opt) then opt := s; end;

Obsežnost nalog

Obsežnost nalog

Obsežnost nalog

Obsežnost nalog

Obsežnost nalog

Obsežnost nalog

Obsežnost nalog

Hitrost računalnika

Hitrost računalnika

Hitrost računalnika

Hitrost računalnika

Hitrost računalnika

Hitrost računalnika

Algoritmi za sortiranje

O sortiranju Kaj urejamo Kje so podatki Različne metode datoteke notranji pomnilnik Različne metode če vemo za maksimalni podatek: urejanje s koši vstavljanje, izbiranje, urejanje z mehurčki, urejanje s kopicami, hitro urejanje, zlivanje, ...

Časovna in prostorska zahtevnost Kaj štejemo Pogosto odločilni faktor primerjave: števila zapisi/strukture/objekti slike Včasih zahtevna zamenjava

Lastnosti dobrega algoritma za urejanje pravilnost hitrost stabilnost - urejenih elementov ne zamenjuje več ključev naravnost - urejene elemente naj uredi hitro morda predpriprava

5, 2, 11, 7, 9, 36, 45, 1, 24

Urejanje z vstavljanjem urejeni del / neurejeni del 2 5 11 : 7 * * * * * * 2 5 7 11 : 9 * * * * * … vzemi naslednji element in ga vstavi na pravo mesto

Urejanje z vstavljanjem na vrsti je a-ti elt. pogledamo a-1 tega če je ta manjši od njega, ta-1 prestavimo za eno mesto nazaj pogledamo a-2 ega … t := tabela[a]; b := a - 1; while (b >= 1 and t < tabela[b]) do begin tabela[b + 1] := tabela[b]; b := b - 1; end; tabela[b + 1] := t; m m m _ v v v v

Urejanje z vstavljanjem procedure vstavljanje(var tabela: tabl; koliko: integer) { { urejanje z vstavljanjem } { urejamo cela stevila } var a, b, t: integer; begin for a := 2 to koliko do begin t := tabela[a]; b := a - 1; { do kam so ze urejeni } while (b >= 1 and t < tabela[b]) do begin { kam spada a-ti } tabela[b + 1] := tabela[b]; b := b - 1; end; tabela[b + 1] := t; end vstavi.c

Lastnosti pravilnost naravnost stabilnost hitrost

Zahtevnost število primerjav najboljše najslabše: (n2+n)/2 - 1 urejeno zaporedje n - 1x, na vsakem prehodu: 1 primerjanje n - 1, Tb = O(n) najslabše: (n2+n)/2 - 1 obratno urejeno 1 korak: 1 primerjava, 2 korak: 2, …, n-1 (zadnji): n-1 n(n-1)/2, Tw = O(n2)

O(n2) Zahtevnost število zamenjav povprečno najboljše: 2(n-1) zahtevnejša analiza vse možne razporeditve (n2+n-2)/4 Ta = O(n2) število zamenjav najboljše: 2(n-1) povprečno: (n2 + 9n - 10)/4 najslabše: (n2 + 3n - 4)/2 O(n2)

Prostorska zahtevnost O(1) dodatnega prostora

Urejanje z izbiranjem poišči najmanjšega zamenjaj s prvim od 2 do n poišči najmanjšega zamenjaj z drugim ...

Poišči najmanjšega function poisci_najmanjsega (tab: tabela; od_kje, do_kam: integer): integer; (* poisce najmanjsega v tabeli tab od od_kje dalje *) var i_najm: integer; /* indeks trenutno najmanjsega */ i: integer; begin i_najm := od_kje; for i := od_kje + 1 to do_kam do if (tab[i] < tab[i_najm]) then i_najm := i; poisci_najmanjsega := i_najm; end;

Končni program procedure izbiranje(var tabela: tab; koliko: integer); (* urejanje z izbiranjem *) (* urejamo cela stevila *) var a, : integer; kje_najm: integer; (* indeks najmanjsega *) for a := 1 to koliko - 1 do begin kje_najm := poisci_najmanjsega(tabela,a,koliko); (* zamenjamo *) t := tabela[a]; tabela[a] := tabela[kje_najm]; tabela[kje_najm] := t; end end;

Lastnosti pravilnost naravnost stabilnost hitrost

Zahtevnost število primerjav vedno enako 1 korak: n - 1 2 korak: n - 2 n*(n-1)/2 primerjav

O(n2) Zahtevnost število zamenjav najboljše najslabše povprečno urejeno zaporedje n -1 elementov premaknemo: 3 3n - 3 najslabše n2/4 + 3(n-1) povprečno n(ln n + 0.577216…) O(n2)

Urejanje z mehurčki najlažji element splava na površje plavanje - zamenjave 3 4 2 1 5 3 4 1 2 5 3 1 4 2 5 1 3 4 2 5 1 3 2 4 5 1 2 3 4 5

Urejanje z mehurčki procedure mehurcki(var tabela: tab; koliko: integer); (* urejanje z mehurcki *) (* urejamo cela stevila *) var a, b: integer; t: integer; begin for a := 1 to koliko - 1 do for b := koliko - 1 downto a do if (tabela[b-1] > tabela[b]) then begin (* zamenjamo *) t := tabela[b-1]; tabela[b-1] := tabela[b]; tabela[b] := t; end

Lastnosti pravilnost naravnost stabilnost hitrost

O(n2) Zahtevnost število primerjav vedno enako 1 korak: n - 1 n - 1 korak: 1 n*(n-1)/2 primerjav O(n2)

O(n2) Zahtevnost število zamenjav najboljše najslabše povprečno urejeno zaporedje nobenega ne premaknemo: 0 najslabše 3(n2-n)/2 povprečno 3(n2-n)/4 O(n2)

Urejanje 10000 elementov

Hitro urejanje Izberi si delilni element razdeli na dva dela <=x >=x z istim postopkom uredi oba dela

procedure qs_r(var t: tabela; l, d: integer) { (* hitro uredi t od l do d *) (* urejamo cela stevila *) var i, j, x: integer; el: integer; i := l; j := d; (* iskalca *) x = t[l]; (* delilni element *) while (i <= j) do begin while (t[i]<x and i<d) do i := i + 1; (* poisci prvega, ki ni manjsi *) while (t[j]>x and j>l) do j := j - 1; (* poisci prvega, ki ni vecji *) if (i<=j) then begin (* zamenjaj *) el := t[i]; t[i] := t[j]; t[j] := el; i := i - 1; j := j - 1; end; if (l<j) qs_r(t,l,j); (* uredimo levo polovico *) if (i<d) qs_r(t,i,d); (* uredimo desno polovico *)

Analiza zahtevno pričakovana zahtevnost: O(n log n) na majhnih zaporedjih običajno nehamo in uporabimo kaj drugega metoda lahko tudi O(n2) časa - če delilni element vedno največji ena najbolj uporabljanih metod