قسم الرياضيات ورشة عمل للصف الحادي عشر علمي الوحدة التاسعة ( 9-1) وزارة التربية الإدارة العامة لمنطقة العاصمة التعليمية ثانوية العصماء بنت الحارث بنات ورشة عمل للصف الحادي عشر علمي الوحدة التاسعة ( 9-1) بأشراف الموجهه الأولى أ/ حصة العلي الموجه الفني أ/ عبد الوهاب نور الدين رئيسة القسم عنها أ/ أمل الكعبي مديرة المدرسة أ / خيال الابراهيم

أعداد وتنسيق : أ / نيفين غطاس تقديم : أ / بدر عزت

تطبيقات على حساب المثلثات Applications of Trigonometry الوحدة التاسعة تطبيقات على حساب المثلثات Applications of Trigonometry مشروع الوحدة : الموجات الصوتية

1 – مقدمة المشروع : أنت تسمع في الإذاعات عن تردد الموجات الصوتية وقياساتها وكيف تصل إلى مسامعك من خلال موجات متتالية لها قوانين ووحدات قياس معرفة . 2 – الهدف : قياس بعض الموجات البسيطة . 3 – اللوازم : ورق رسم بياني – آلة حاسبة علمية . 4 – أسئلة حول التطبيق : نربط خيطاً مطاطياً من طرفيه بوتدين ثابتين . إذا ضغطنا على الخيط عمودياً ، ثم تركناه نلاحظ أنه يهتز محدثاً موجات صوتية متتالية وخفيفة . لنفرض أنه لا يوجد أي احتكاك أو صدى ، يمكن نمذجة هذه الموجات بالمعادلة : Y = ym sin (kx – wt) ، حيث ym هي السعة بالأمتار ((m ؛ k و w هما كميتان ثابتتان ؛ t هو الزمن ؛ x هي المسافة من أحد طرفي الخيط إلى نقطة الضغط . يتأثر تردد الموجة الصوتية بالمسافة x وبالزمن t ، لذلك للموجة حركتان أفقية وعمودية عبر الزمن . لنأخذ المعادلة : Y = 0.00421 sin ( 68.3x – 2.68t ) a – ماسعة الموجة ym ؟ وما الثابت w بالراديان في الثانية ؟ b – إن تردد الموجات الصوتية هو عدد الأهتزازات في الثانية ويعطى بالقانون w = f

ووحدته هرتز Hertz . أوجد تردد الموجة أعلاه . c – طول الموجة الصوتية هو أقصر مسافة تتكرر فيها الموجة في فترة زمنية محددة t . يعطى طول الموجة بالقانون : فما طول الموجة أعلاه ؟ d – مثل بيان الدالة إذا كانت = 1 m e – تتردد موجتان معاً على الخيط نفسه . وينمذج تردد الموجتين معاً بالمعادلة : + = ، حيث :(k - wt) ym sin = y ، ) + wt – (k y =ym sin حيث تمثل الفرق بين الموجتين بإزاحة أفقية ثابتة مستخدماَ المتطابقات المثلية اكتب : + = كناتج ضرب. ] إرشاد: ( ) cos ( ) 2sin = sin q+[sin p f – أوجد y ، y ثم y في حالة ym = 0.0045 m , = 2.5 radians , = 0.09 m , = 2.3 hertz مثل بيان كل من y ، y ، y في نظام إحداثي واحد ، علماَ أن 1 m= = f k P+q p-q f 5 – التقرير : اكتب تقريراَ مفصلاَ يبين خطوات العمل التي قمت بها وأشر إلى المتطابقات المثلثية التي استعنت بها . أرفق تقريرك بالتمثيلات البيانية الملونة .

الأهداف السلوكية 1 – يذكر الطالب المتطابقات المثلثية الأساسية ( متطابقات القسمة – متطابقات المقلوب – متطابقات فيثاغورث ) 2 – يذكر الطالب أي الدوال المثلثية زوجية أيها فردية 3 – يبسط الطالب المقادير المثلثية عن طريق استخدام المتطابقات المثلثية الأساسية 4 – يستخدم الطالب المتطابقات المثلثية لتبسيط مقادير تتضمن كسوراَ 5 – يحلل الطالب المقادير المثلثية 6 – يحل الطالب مسائل متنوعة الأفكار على ماسبق

يتم تقسيم بند ( 9-1) الى ثلاثة حصص 1 – الحصة الأولى المتطابقات المثلثية الأساسية 2 – الحصة الثانية تستخدم المتطابقات المثلثية لتبسيط مقادير تتضمن كسوراً 3 – الحصة الثالثة متطابقات الدوال المثلثية الزوجية أو الفردية

الحصة الأولى

دعنا نفكر و نتناقش المتطابقة هي معادلة تمثل عبارة صحيحة لجميع قيم المتغير ما عدا القيم التي يكون فيها أي طرف من طرفي المعادلة غير معرف

المتطابقة المثلية هي متطابقة تتضمن تعبيراً مثلياً باستخدام نظرية فيثاغورث ودائرة الوحدة ، يمكن أن نكتب : إذا عوضنا عن بـ cos وعن بـ sinنحصل على cos + sin = 1 لكل قيم . cos + sin = 1 : هي من متطابقات فيثاغورث المعادلة

cos , sin )) ( و )

نستخدم المتطابقات المثلية الأساسية لتحويل المقادير المثلية إلى شكل أبسط . المتطابقات المثلية الأساسية Trigonometric Identities متطابقات القسمة ( الظل وظل التمام ) Quotient Identities (Tangent and Cotangent) Sin cos tan = cot = Sin cos

متطابقات المقلوب Reciprocal Identities cos 1 , 1 sin , 1 sec = csc = cot = tan متطابقات فيثاغورث Pythagorian Identities sin 2 = 1 cos + , 1 + tan = sec 2 , 1 + cot 2 = csc

الحل مثال (1) بسط المقدار : sin - sin Sin عامل مشترك 3 بسط المقدار : sin - sin الحل Sin عامل مشترك 2 3 sin - sin = sin ( 1 – sin ) متطابقة فيثاغورث 2 sin cos=

الحل حاول أن تحل متطابقة فيثاغورث بأخذ 3 عامل مشترك 1 - بسط المقادير التالية : - 2 2 ( a ) 3cos + 3sin الحل متطابقة فيثاغورث بأخذ 3 عامل مشترك 2 2 3 (cos + sin ) = 3 × = 3 1

الحل متطابقة فيثاغورث متطابقة المقلوب بأخذ cos عامل مشترك 2 2 2 ( b ) cos + tan cos الحل متطابقة فيثاغورث بأخذ cos عامل مشترك 2 2 2 cos (1 + tan ) = 2 2 sec = 0 = cos متطابقة المقلوب 1 2 1 cos = 1 2 cos 1

باستخدام متطابقتي المقلوب وناتج القسمة مثال 2 بسط التعبير المثلثي التالي : csc tan الحل باستخدام متطابقتي المقلوب وناتج القسمة csc tan = 1 sin sin cos أضرب = 1 sin sec = sin cos 1 بسط = 1 cos

الحل = 2 – بسط التعبير المثلثي التالي : sec cot متطابقة المقلوب حاول أن تحل 2 – بسط التعبير المثلثي التالي : sec cot الحل متطابقة المقلوب sec cot 1 cos cos 1 = = cos sin sin cos 1 1 = = csc sin

الحصة الثانية

تستخدم المتطابقات المثلثية لتبسيط مقادير تتضمن كسوراً

مثال 3 الحل = sin cos cos 1 – sin cos cos sin (1 – sin ) أوجد مقاماً مشتركاً (1- sin )cos cos (1 – sin ) 2 = cos - ( sin ) (1 – sin ) أطرح البسط ( 1 – sin ) cos = 2 2 cos - sin + sin متطابقة فيثاغورث ( 1 – sin ) cos 1 1 1 – sin متطابقة المقلوب = = sec = (1 – sin ) cos cos 1

الحل حاول أن تحل متطابقة فيثاغورث متطابقة المقلوب = 3- بسط المقادير التالية : - 2 2 ( a ) cos (1 + tan ) متطابقة فيثاغورث الحل 2 2 cos (1 + tan ) = متطابقة المقلوب 2 2 cos sec = 2 1 1 2 cos cos = = 1 2 2 cos cos 1

الحل ( b ) 1 – cos sin + 1 – cos متطابقة فيثاغورث sin sin sin (1 – cos 2 2 متطابقة فيثاغورث 1 – 2cos + cos +sin = sin (1 – cos ) 2 – 2cos = sin (1 – cos ) 1 2 (1- cos ) 2 = = = csc 2 sin (1 – cos ) sin 1

إن إحدى طرق تبسيط المقادير المثلثية هي تحويلها إلى مقادير مثلثية بدلالة جيب وجيب التمام

متطابقتا القسمة والمقلوب مثال 4 بسط المقدار : sin tan - sec الحل متطابقتا القسمة والمقلوب sin tan - sec sin sin 1 = cos cos = 2 sin - 1 متطابقة فيثاغورث cos = 2 = - cos - cos cos

يمكننا أن نتحقق من نتيجة مثال ( 4 ) بيانياً وذلك بتمثيل الدالة y1= sin tan - sec وكذلك تمثيل بيان الدالة y2 = - cos في المستوى الأحداثي نفسه وسنلاحظ أن التمثيلين البيانيين للدالتين منطبقان ( يمكن استخدام الة الحاسبة البيانية )

حاول أن تحل الحل بسط المقدار : tan cot - sin متطابقة القسمة sin cos ــ 2 بسط المقدار : tan cot - sin الحل متطابقة القسمة 2 sin cos ــ sin = cos sin 1 1 cos sin ــ 2 sin = متطابقة فيثاغورث cos sin 1 1 2 2 1 – sin = cos =

الحصة الثالثة

متطابقات الدوال المثلثية الزوجية أو الفردية Even-Odd Trigonomertric Identities تعلمت سابقاً أن دالة الجيب دالة فردية ودالة جيب التمام دالة زوجية . بدراسة الأشكال التالية أكمل الجدول التالي :

M(cos ,sin ) M(cos ,sin ) N(cos( ),sin( )) N(cos( ),sin( ))

تذكر : تكون الدالة ( ) f = y والتي مجالها D بشرط : D دالة زوجية إذا وفقط إذا كان : ( ) f = ( -) f (2) دالة فردية إذا وفقط إذا كان : ( ) - f = ( -) f

الدالة نوعها المتطابقة sec( )= دالة الجيب دالة فردية sin( )= - sin دالة جيب التمام دالة زوجية cos( )= cos دالة الظل دالة tan( )= -tan دالة قاطع التمام csc( )= دالة القاطع sec( )= دالة ظل التمام cot( )= فردية -csc فردية sec زوجية -cot فردية

sin ( - ) – cos ( - ) sin ( - ) – cos ( - ) = = = = مثال 5 2 2 sin ( - ) – cos ( - ) بسط المقدار التالي: sin ( - ) – cos ( - ) الحل 2 sin ( - ) – cos ( - ) 2 = sin ( - ) – cos ( - ) 2 cos ) ) ( - sin ) - 2 2 2 sin - cos = - sin – cos - ( sin + cos ) 1 sin +cos ) )sin - cos )) = sin + cos )) - 1 sin + cos - =

الحل بسط المقدار التالي : حاول أن تحل sec ( - ) – tan ( - ) sec ( - ) 2 2 sec ( - ) – tan ( - ) sec ( - ) 2 2 ( sec ) - (-tan ) الحل = sec 2 2 sec(- )=sec tan(- )=- tan 1+tan = sec sec - tan = sec 2 2 sec - (sec -1 ) = 2 2 sec 2 2 sec - sec +1 1 cos = = = sec sec

تحليل المقادير المثلثية Factorising Trigonometric Expressions يمكن تحليل المقادير المثلثية وذلك بكتابتها بدلالة دالة مثلثية واحدة

مثال 6 الحل اكتب 1 + cos - sin في صورة ناتج ضرب عوامل . 2 اكتب 1 + cos - sin في صورة ناتج ضرب عوامل . الحل 2 2 بسبب عدم إمكانية التحليل نستبدل sin بـ 1 - cos متطابقة فيثاغورث 2 2 sin =1 + cos - (1 – cos ) - 1 + cos 2 = 1 + cos - 1 + cos 2 = cos + cos = cos ( 1 + cos )

الحل حاول أن تحل sin ( sin – 1 ) sin ( sin + 1 ) ( sin - 1 ) = 4 2 اكتب sin - sin في صورة ناتج ضرب عوامل . الحل 2 2 sin ( sin – 1 ) 2 = sin ( sin + 1 ) ( sin - 1 )

مثال 7 الحل حلل المقدار : sec + tan - 3 2 حلل المقدار : sec + tan - 3 الحل 2 2 نستبدل sec بـ ( 1 + tan ) ليكون المقدار بدلالة دالة مثلثية واحدة 2 2 - 3 sec + tan - 3 = 1 + tan + tan 2 بسط - 2 = tan + tan حلل ( + 2 = ( tan - 1 ) ( tan

الحل حاول أن تحل حلل المقدار : sin - sin + ( sin - ) (sin - ) 5 3 4 8 2 4 الحل 8 ( sin - ) (sin - ) 1 3 2 4

شكراً جزيلاً لكم مع تحيات قسم الرياضيات =