תורת ההחלטות

תורת ההחלטות עוסקת בזיהוי ערכים להחלטות שונות בתנאי אי ודאות במטרה להגיעה לקבלת החלטה אופטימלית בתנאי אי ודאות התוצאות של כל החלטה אינן ידועות הן תלויות בגורם חיצוני (טבע, גורל) עליו אין למקבל החלטות שליטה אולם התרחשות מצבי טבע אפשריים ניתן להעריך בכלים הסתברותיים בהתבסס על ההסתברויות שמצבי הטבע שונים יתרחשו ניתן לחשב תוחלת רווח או עלות להצגה וניתוח של החלטות בתנאי אי ודאות משתמשים בעץ החלטות כאשר צומת מרובע מיצג נקודה בה יש לקבל החלטה צומת עיגול מייצג נקודה בה תוצאות לא ודאיות

מהי מדיניות ההחלטה האופטימלית? פתרו בעזרת עץ החלטות חברה פיתחה סוג חדש של נרות בריח שוקולד ושוקלת לייצרן באופן מסחרי אם המוצר החדש יצליח בקרב הלקוחות, תרווח החברה 50,000 ש"ח אם המוצר החדש ייכשל, תפסיד החברה 35,000 ש"ח מנתוני העבר ידוע כי הסתברות להצלחת מוצרים דומים בשוק הינה 0.6 בעלות של 2,000 ש"ח ניתן לבצע בדיקה ניסיונית לפני ההחלטה על יצור מסחרי תוצאות הבדיקה יכולות להיות מעודדות או מאכזבות אם תוצאות הבדיקה מעודדות, אז בסיכוי של 75% הנרות בריח שוקולד יצליחו בשוק אם תוצאות הבדיקה מאכזבות, אז סיכוי לכישלון המוצר הוא 2/3 יש סיכוי של 64% שתוצאות הבדיקה תהיינה מעודדות מהי מדיניות ההחלטה האופטימלית? פתרו בעזרת עץ החלטות מהו המחיר המקסימלי שהחברה תהיינה מוכנה לשלם עבור הבדיקה הניסיונית? חשבו את ערך המידע המלא

50,000 48,000 הצלחה הצלחה 0.6 0.75 0.4 0.25 16,000 35,000- 37,000- כשלון 26,750 כשלון לשווק לשווק 26,750 ממצאים מעודדים לא לשווק 2,000- 0.64 לבצע בדיקה ניסיונית 16,400 16,400 0.36 הצלחה 48,000 ממצאים מאכזבים לשווק 1/3 8,667- 2,000- 2/3 לא לשווק לא לשווק כשלון 37,000- 2,000-

המדיניות האופטימלית הינה לבצע בדיקה ניסיונית אם ממצאי הבדיקה מעודדים, נשווק את הנרות בריח שוקולד אם ממצאי הבדיקה מאכזבים, לא כדאי לשווק את המוצר ערך המידע החלקי EVSI=Expected Value of Sample Informationמחושב כך: תוחלת הרווח עם המידע החלקי (לפני ששולם עליו, אם בכלל) פחות תוחלת הרווח ללא המידע תוחלת הרווח עם בדיקה ניסיונית היא 16,400 ללא בדיקה ניסיונית תוחלת הרווח היא 16,000 לכן ערך המידע של בדיקה ניסיונית הינו 16,400+2,000 – 16,000 = 2,400 וזהו המחיר המקסימלי שהחברה תהיינה מוכנה לשלם עבור הבדיקה

EVPI ערך המידע המלא 50,000 הצלחה 0.6 50,000 0.4 16,000 35,000- כשלון לשווק לשווק 50,000 לא לשווק הצלחה 0.6 מידע מלא 30,000 30,000 0.4 כשלון לשווק 35,000- לא לשווק לא לשווק

ערך המידע המלא EVPI=Expected Value of Perfect Informationמחושב כך: תוחלת הרווח עם המידע המלא (ללא תשלום עבור המידע) פחות תוחלת הרווח ללא המידע ללא מידע מלא תוחלת הרווח הינה 16,000 עם מידע מלא תוחלת הרווח הינה 30,000 לכן ערך מידע מלא הינו 30,000 – 16,000 = 14,000 מידע מלא יאמר לנו בודאות האם מצב טבע מסוים יתרחש: אם המוצר יצליח בשוק, נדע זאת בודאות אם המוצר לא יצליח, נדע זאת בודאות

בנו עץ החלטות ותארו מדיניות האופטימלית שמטרתה מקסימום תוחלת הרווח סוחר רוכש ממפעל חולצות הארוזות בחבילות של 100 ומוכר אותן לחנויות. החבילות מסווגות לחבילות סוג א' ולחבילות סוג ב' כאשר חבילה מסוג א' מכילה 60% חולצות לבנות, 30% חולצות ירוקות ויתר אפורות וחבילה מסוג' ב' מכילה 30% חולצות לבנות, 40% חולצות ירוקות ויותר אפורות. הרווח ממכירת חולצות לבנה מסתכם ב-8 ש"ח, ממכירת חולצה ירוקה ב-6 ש"ח וממכירת חולצה אפורה ב-5 ש"ח. ניסיון העבר מורה כי 70% מהחבילות הן חבילות מסוג א'. לפני המכירה באפשרותו של הסוחר לדגים חולצה מתוך חבילה ע"מ לראות את צבעה. בהתבסס על תוצאות הדגימה יחליט הסוחר האם הוא מחליף את החבילה. החבילה החדשה שיקבל הסוחר היא מסוג א' בהסתברות של 80%. בנו עץ החלטות ותארו מדיניות האופטימלית שמטרתה מקסימום תוחלת הרווח מהו ערך המידע של דגימת החולצה? הסוחר מעוניין לשלם תשלום מיוחד ע"מ לדעת בודאות האם החבילה היא מסוג א'. מהו התשלום המקסימלי שכדאי לסוחר לשלם עבור מידע מלא?

עץ הסתברות עבור תוצאות הדגימה חבילה 0.7 0.3 סוג א' סוג ב' חולצה 0.6 0.3 לבן ירוק אפור 0.1 חולצה 0.3 0.4 לבן ירוק אפור

חישובי רווח לחבילה מסוג א‘: 60x8 + 30x6 + 10x5 = 710 לחבילה מסוג ב‘: 30x8 + 40x6 + 30x5 = 630 אם מחליפים חבילה אז החבילה החדשה היא מסוג א' בהסתברות 0.8 לכן תוחלת הרווח לחבילה החדשה: 0.8x710 + 0.2x630 = 694

מכירה סוג א' 0.82 710 695.6 לבן 695.6 0.51 630 החלפה סוג ב' 0.18 694 694.8 0.33 ירוק דגימה מכירה סוג א' 0.64 710 0.16 681.2 694 החלפה 630 סוג ב' 0.36 694.8 694 מכירה אפור סוג א' 686 710 מכירה סוג א' 0.44 0.7 710 665.2 694 0.3 630 החלפה סוג ב' 0.56 סוג ב' 630 694

המדיניות האופטימלית: לבצע דגימת החולצה אם מקבלים חולצה לבנה, למכור את החבילה אם מקבלים חולצה ירוקה או אפורה, לחליף את החבילה תוחלת הרווח עם דגימה היא 694.8 תוחלת הרווח ללא דגימה היא 686 לכן ערך המידע של הדגימה הינו 694.8 - 686 = 8.8 אם הדגימה כן אפשרית כדי לקבל בודאות חבילה מסוג א' נשלם לכל היותר 710 – 694.8 = 15.2 אם הדגימה לא אפשרית כדי לקבל בודאות חבילה מסוג א' נשלם לכל היותר 710 – 686 = 24

מפעל רוכש לוחות חשמל במנות של 100 פריטים מפעל רוכש לוחות חשמל במנות של 100 פריטים. ידוע כי 80% מהמנות טובות והן מכילות 10% פריטים פגומים. 20% מהמנות נחשבות גרועות כיוון שהן מכילות 40% פריטים פגומים. ספק ח"ג מוכר גם מנות שעברו ביקורת איכות קפדנית אך דורש עבור מנה כזו 170 ש"ח יותר מאשר עבור מנה רגילה. מנות שעברו ביקורת איכות קפדנית הן בוודאי טובות. כאשר המפעל משתמש בפריט תקין הוא מרווח 20 ש"ח לפריט. שימוש בפריט פגום גורם להפסד של 8 ש"ח לכל פריט פגום. בפני המפעל 3 אפשרויות: לרכוש מנה שעברה ביקורת איכות קפדנית לרכוש מנה רגילה ולהשתמש בה ללא בדיקה נוספת לרכוש מנה רגילה ולדגים ממנה פריט ואז להחליט האם להשתמש בה או להחליפה במנה שעברה ביקורת איכות קפדנית בנו עץ החלטות ותארו מדיניות החלטה אופטימלית מהו ערך המידע החלקי (ערך של דגימת הפריט)?

עץ הסתברות עבור תוצאות הדגימה מנה 0.8 0.2 טובה גרועה פריט 0.9 0.1 תקין פגום פריט 0.6 0.4 תקין פגום

חישובי רווח עבור מנה טובה: במנה טובה 90 פריטים תקינים המניבים רווח של 90x20 = 1800 ו-10 פריטים גרועים הגורמים להפסד של 10x8 = 80 לכן רווח כולל ממנה טובה הינו 1800 – 80 = 1720 עבור מנה גרועה: במנה גרוע 60 פריטים תקינים המניבים רווח של 60x20 = 1200 ו-40 פריטים גרועים הגורמים להפסד של 40x8 = 320 לכן רווח כולל ממנה הגרוע הינו 1200 – 320 = 880 עבור המנה שעברה ביקורת איכות קפדנית: מנה שעברה ביקורת איכות קפדנית היא בודאות מנה טובה המניבה רווח של 1720 אולם על מנה זו יש תוספת עלות של 170 לכן רווח למנה שעברה ביקורת איכות קפדנית הינו 1720-170 = 1550

שימוש טובה 0.86 1720 1602.4 תקין 1602.4 0.84 880 החלפה גרועה 0.14 1594 1550 0.16 פגום שימוש טובה 0.5 1720 1300 דגימת פריט 1550 החלפה 880 גרועה 0.5 ביקורת איכות קפדנית 1550 1594 1550 המדיניות האופטימלית: לבצע דגימת פריט אם מקבלים פריט תקין, נשתמש במנה אם מקבלים פריט פגום, יש להחליף את המנה במנה שעברה ביקורת איכות קפדנית ללא בדיקה טובה 1552 1720 0.8 0.2 גרועה 880 ערך המידע של הדגימה:1594 – 1552 = 42

לאחר דגימת הפריט הראשון ניתן לדגום פריט שני מהו המחיר המקסימלי שתהיו מוכנים לשלם עבור דגימת הפריט השני אם הפריט הראשון שדגמתם תקין? הפריט הראשון שדגמתם פגום? פריט ראשון תקין 0.86 0.14 טובה גרועה פריט שני 0.1 פגום תקין 0.9 פריט שני 0.4 פגום תקין 0.6

אם פריט ראשון תקין ערך דגימת פריט נוסף הינו 1624 -1602.4 = 21.6 שימוש טובה 0.9 1720 1636 תקין 1636 0.86 880 החלפה גרועה 0.1 1624 1550 0.14 פגום שימוש טובה 0.6 דגימת פריט שני 1720 1384 1550 החלפה 880 גרועה 0.4 שימוש 1550 1624 1602.4 החלפה אם פריט ראשון תקין ערך דגימת פריט נוסף הינו 1624 -1602.4 = 21.6 1550

פריט ראשון פגום טובה גרועה פריט שני 0.1 פגום תקין 0.9 פריט שני 0.4 0.5 טובה גרועה פריט שני 0.1 פגום תקין 0.9 פריט שני 0.4 פגום תקין 0.6

אם פריט ראשון פגום ערך דגימת פריט נוסף הינו 1550 -1550 = 0 שימוש טובה 0.6 1720 1384 תקין 1550 0.75 880 החלפה גרועה 0.4 1550 1550 0.25 פגום שימוש טובה 0.2 דגימת פריט שני 1720 1048 1550 החלפה 880 גרועה 0.8 שימוש 1550 1550 1300 החלפה אם פריט ראשון פגום ערך דגימת פריט נוסף הינו 1550 -1550 = 0 1550

תארו את הבעיה בעזרת עץ החלטות יצחק מנהל מלון בוטיק בורנה והוא חייב לטוס לבולגריה בשבוע הבא. לשם כך נדרש לרכוש כרטיס טיסה מת"א לורנה. היום ניתן לרכוש כרטיס רגיל במחיר 400$ אותו אי-אפשר לבטל ולקבל החזר או כרטיס מיוחד במחיר של 450$ עבור ביטולו ניתן לקבל החזר של 430$. יצחק יודע שמחירי כרטיסי טיסה עומדים להשתנות בשבוע הבא: בהסתברות p ניתן יהיה לרכוש כרטיס במחיר 300$ ובהסתברות 1-p ניתן לרכוש כרטיס במחיר 600$. תארו את הבעיה בעזרת עץ החלטות מהי מדיניות האופטימלית עבור יצחק כפונקציה של פרמטר p?

320$ מחיר יורד p 450-130p 1-p מחיר עולה כרטיס מיוחד 450$ אם יצחק רכש כרטיס מיוחד הניתן להחזרה ובשבוע הבא המחיר ירד יצחק יחזיר את הכרטיס בהפסד של 20$ וירכוש כרטיס מוזל ב-300$ כך שסך העלות היא 320$. אם יצחק רכש כרטיס מיוחד ובשבוע הבא המחיר יעלה הוא יישאר עם הכרטיס שנרכש תמורת 450$ כרטיס רגיל 400$

אם מחיר כרטיס רגיל קטן או שווה מתוחלת העלות ברכישת כרטיס מיוחד נעדיף כרטיס רגיל דהיינו נרכוש כרטיס רגיל עבור ערכי p המקיימים: 400 < 320p + (1-p)450 400 < 320p – 450p + 450 400 < 450 - 130p 130p < 50 p < 0.38 אם p < 0.38 יצחק ירכוש כרטיס רגיל אם p > 0.38 עדיף לרכוש כרטיס מיוחד הניתן להחלפה במידת הצורך

A ו- B שני מאורעות שהסתברותם בהתאמה נוסחת ההסתברות של בייס A ו- B שני מאורעות שהסתברותם בהתאמה אם ידועה ההסתברות של A בתנאי B, דהיינו אזי ההסתברות המותנה של B בתנאי A (ההסתברות למאורע B כאשר ידוע שקרה מאורע A) נתונה ע"י נוסחת בייס: ההסתברות המותנה של B בתנאי A ההסתברות המותנה של A בתנאי B נוסחת בייס מאפשרת לחשב הסתברות מותנית של מאורע כאשר יודעים ההסתברויות המותנות ההפוכות

B1, B2 מאורעות זרים (החיתוך בין 2 מאורעות מהווה קבוצה ריקה) נוסחת ההסתברות השלמה B1, B2 מאורעות זרים (החיתוך בין 2 מאורעות מהווה קבוצה ריקה) נניח שההסתברויות הן בהתאמה אז הסתברות למאורע A הינה: נוסחת ההסתברות השלמה נותנת הסתברות של מאורע שתלוי במאורעות אחרים